Slide Sistemas de Segunda Ordem-2022 1

P R O F . C A R O L I N A R I B E I R O R O D R I G U E S Controle 1 Sistemas de Segunda Ordem Resumo Conteúdo do Curso  Sistemas de Segunda Ordem: Introdução;  Análise transitória de sistemas de segunda ordem:  Sistemas de segunda ordem subamortecidos Um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas. As variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta. Sistemas de Segunda Ordem: Introdução  Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Caso 1: Resposta Superamortecida. Para a entrada degrau, temos A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; Possui dois polos reais provenientes do sistema; A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 7,854 1,146 9 9 C s s s s s s s       7,854 1,146 1 2 3 ( ) t t c t K K e K e      Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Resposta Superamortecida: diagrama de polos e resposta ao degrau Observe que os polos nos dizem a forma da resposta sem o calculo tedioso da transformada inversa de Laplace. Sistemas de Segunda Ordem: Introdução       2 9 9 ( ) 2 9 1 8 1 8 C s s s s s s i s i           1 1 2 3 ( ) cos 8 sin 8 t c t K e K t K t     Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Resposta Subamortecida: diagrama de polos e resposta ao degrau Observe que os polos nos dizem a forma da resposta sem o calculo tedioso da transformada inversa de Laplace. Sistemas de Segunda Ordem: Introdução A resposta transitória consiste: Sistemas de Segunda Ordem: Introdução  Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Caso 3: Resposta Não Amortecida. Para a entrada degrau, temos A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; Possui dois polos imaginários provenientes do sistema; A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 0 3 0 3 9 C s s s i s i s s          1 2 3 ( ) cos3 sin3 c t K K t K t    Sistemas de Segunda Ordem: Introdução  Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Caso 4: Resposta Criticamente Amortecida. Para a entrada degrau, temos A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; Possui dois polos reais iguais provenientes do sistema;  uma exponencial e;  uma exponencial multiplicada pelo tempo. A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 3 3 6 9 C s s s s s s s       3 3 1 2 3 ( ) t t c t K K e K te      Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Resposta Criticamente Amortecida : diagrama de polos e resposta ao degrau Essas respostas são as mais rápidas possíveis sem ultrapassagem, que é uma característica da resposta subamortecida. Sistemas de Segunda Ordem: Introdução Respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento: Sistemas de Segunda Ordem: Introdução • O caso criticamente amortecido é o divisor entre os casos superamortecidos e subamortecidos. • Também é a resposta mais rápida sem ultrapassagem.  2 2 2 2 ( ) ( ) 2 n n n K G Kb G s s as b s s s           Análise Transitória de Sistemas de Segunda Ordem  2 2 2 ( ) 2 n n n K G s s s       2 1,2 1 n n s            2 2 2 2 1,2 1,2 2 2 1,2 1,2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n s s s s                               Análise Transitória de Sistemas de Segunda Ordem A equação anterior revela que os diversos casos de resposta de segunda ordem são uma função de . Análise Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Análise Transitória de Sistemas de Segunda Ordem  Análise Transitória de Sistemas de Segunda Ordem  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos    2 2 3 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 n n n n n K s K K C s s s s s s s                    2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 n n n n s C s s s                  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Aplicando a inversa de Laplace, resulta em 2 2 2 ( ) 1 cos 1 sin 1 1 nt n n c t e t t                       Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Resumo: Resposta subamortecida de segunda ordem. Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  1 2,16 0,60 r n T     Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 1 p n T      1 2 1 M pt e       Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  1 2 % 100 % UP e       % 100 % M pt fv UP fv    Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 2 ln % 100 % ln 100 UP UP                  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  4 s n T   Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Resumo: Resposta subamortecida de segunda ordem. Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 100 ( ) 15 100 G s s s    Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 1 p n d T         4 4 s d n T     Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 1 ( ) J G s D K s J s J    Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Determinação Experimental de Funções de Transferência de Segunda Ordem Exemplo: Considere a resposta ao degrau, obtenha a função de transferência. Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  13,82 11,03 % 100 1 2 00 5, % 11 3 3 ,0 M pt fv UP fv        2 2 0,4 ln 100 ln 10 25,3 25 0 ,3                   4 4 0, 2,62 3,82 4 s n n n T         Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Ainda, sabemos que E, uma vez que (teorema do valor final) Logo, substituindo todos os valores, temos 2 2 2 ( ) 2 n n n K G s s s       2 n K  2 n  11,03 11,03 fv K     2 2 2 11,03 3,822 ( ) 2 0,4 3,82 3, 160,95 3,056 14,59 82 G s s s s s          Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Exercício 4: Considere a resposta ao degrau, obtenha a função de transferência. Resp.: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 6 Step Response Time (seconds) Amplitude Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 2 12 ( ) 0,5 4 G s s s     Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 2 ln 100 l 4,3 4, n 100 3 0,707                   4 4 1 s n n T      Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos  2 ( ) ( ) Y s K R s s ps K    2 2 2 2 2 2 2 2 n n n s s s s         Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos