Slide Erro de Regime Permanente-2022 1

P R O F . C A R O L I N A R I B E I R O R O D R I G U E S Controle 1 Erro de Regime Permanente  Introdução – Erros em Regime Permanente (Erros estacionários)  Classificação dos Sistemas de Controle  Erros Estacionários  Erro Estacionário em Termos de 𝑇(𝑠)  Erro Estacionário em Termos de 𝐺(𝑠)  Especificações de Erro em Regime Permanente  Erro para Sistema com Realimentação Não Unitária  Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados Resumo  Erro Estacionário O erro em regime permanente é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste prescrita quando o 𝑡 → ∞ Introdução  A nossa discussão é limitada aos sistemas estáveis, nos quais a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende ao infinito.  Os sistemas instáveis representam perda de controle em regime permanente e são absolutamente inaceitáveis para utilização. Introdução Entrada Degrau: Saída 1: erro nulo; Saída 2: erro finito. Entrada Rampa: Saída 1: erro nulo; Saída 2: erro finito; Saída 3: erro infinito. Exemplos de Erros em Regime Permanente  Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores:  Alterações na entrada de referência,  Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito estático,  Folga e mau funcionamento de amplificadores,  Desgaste ou deterioração do sistema.  Qualquer sistema de controle físico apresenta, inerentemente, erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas.  Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não-nulo a uma entrada rampa. Exemplos de Erros em Regime Permanente  Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola, etc.  Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte função de transferência de malha aberta 𝐺(𝑠):  A função de transferência contém o termo 𝑠𝑁 no denominador, 1 2 ( 1)( 1)...( 1) ( ) ( 1)( 1)...( 1) a b m N p K T s T s T s G s s T s T s T s        Classificação dos Sistemas de Controle  A classificação será realizada com base no número de integrações (integradores – 1/𝑠) indicadas pela função de transferência de malha aberta,  Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2, ... , se 𝑁 = 0, 𝑁 = 1, 𝑁 = 2, ... , respectivamente,  Note que a classificação é diferente da que se refere à ordem do sistema,  Conforme 𝑁 aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava a estabilidade do sistema,  É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade. Classificação dos Sistemas de Controle Considere a figura abaixo: Neste caso temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) C s G s T s R s G s    Erro Estacionário em Termos de T(s) Para o sistema (𝑎), temos: Mas, Substituindo a equação acima na primeira, resulta em  Aplicando o Teorema do Valor Final, pois estamos interessados no valor final do erro, 𝑒(∞) , tem-se: ( ) ( ) ( ) C s R s T s    ) ( ) ) ( 1 ( R s E s T s     0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ( ) ) 1 ( ) lim t s s e e t s e E s s R s T s          ( ) ( ) ( ) E s R s C s   Erro Estacionário em Termos de T(s)  Exemplo 1: Determine o erro em regime permanente para o sistema (𝑎), ilustrado anteriormente, para uma entrada em degrau unitário. Considere 2 5 ( ) 7 10 T s s s    Erro Estacionário em Termos de T(s) Solução: Temos que 𝑅 𝑠 = 1/𝑠. Substituindo 𝑇(𝑠) e 𝑅(𝑠) na equação de erro, obtemos:  Uma vez que 𝑇(𝑠) é estável e, subsequentemente, 𝐸(𝑠) não tem polos no semiplano da direita, nem polos 𝑗𝜔 que não estejam na origem, podemos aplicar o teorema do valor final.   2 2 2 1 5 7 5 1 7 1 ( 0 7 10 ) s s s s s s s s E s                  2 2 0 7 5 ( ) lim 0,5 7 10 s s s e s s s s         Erro Estacionário em Termos de T(s)  Verificação com a ajuda do MatLab® Erro de 0,5 para uma entrada em degrau unitário Erro Estacionário em Termos de T(s) Considere o sistema (𝑏) ilustrado anteriormente. Temos que Mas, Resolvendo para 𝐸(𝑠), resulta em Logo, 𝐸(𝑠) é o erro entre a entrada, 𝑅(𝑠), e a saída, 𝐶(𝑠). ( ) ( ) ( ) E s R s C s   ( ) ( ) ( ) C s E s G s  ) ( ) ) ( 1 ( R s E s G s   Erro Estacionário em Termos de G(s) Aplicando o Teorema do Valor Final e admitindo que o sistema de malha fechada seja estável, obtemos  Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada, 𝑅(𝑠), aplicado no sistema e do sistema de malha aberta, 𝐺(𝑠); 0 ( ) li ( ( m ) 1 ) s e s R s G s     Erro Estacionário em Termos de G(s)  1º Entrada Degrau: 𝑅(𝑠) = 1/𝑠 O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau é: A constante de erro estático de posição 𝐾𝑝 é definida como: 0 0 1 ( ) lim 1 ( ) 1 lim / ) 1 ( s s e s G s s G s        0 lim ( ) (0) P s K G s G    Erro Estacionário em Termos de G(s) Logo, o erro estacionário em função de 𝐾𝑝 é dado por Para termos erro nulo em regime permanente, 0 lim ( ) P s K G s     1 ( ) 1 p e K    Erro Estacionário em Termos de G(s) Sistema Tipo 0 erro finito Sistema Tipo 1 ou maior erro nulo 0 0 0 1 2 ( 1)( 1)... lim ( ) lim ( 1)( 1)... a b P s s K T s T s K G s K s T s T s          1 1 ( ) 1 1 p e K K      0 0 1 2 ( 1)( 1)... lim ( ) lim , para 1 ( 1)( 1)... N a b P s s K T s T s K G s N s T s T s            1 1 ( ) 0 1 1 p e K        Erro Estacionário em Termos de G(s)  CONCLUSÃO:  Sistemas Tipo 0, em regime estacionário, podem seguir a entrada em degrau com um erro finito.  Sistemas Tipo 1 ou maior podem seguir uma entrada em degrau, em regime estacionário, com erro nulo. Erro Estacionário em Termos de G(s)  2º Entrada Rampa: 𝑅(𝑠) = 1/𝑠2 O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em rampa é: A constante de erro estático de velocidade 𝐾𝑣 é definida como: 2 0 0 0 1 1 ( ) lim lim 1 ( ) ( ) lim ( 1 ) / s s s e s G s s sG s G s s s          0 lim ( ) v s K sG s   Erro Estacionário em Termos de G(s) Logo, o erro estacionário em função de 𝐾𝑣 é dado por Para termos erro nulo em regime permanente, 0 lim ( ) v s K sG s     1 ( ) v e K   Erro Estacionário em Termos de G(s) Sistema Tipo 0 erro infinito Sistema Tipo 1 erro finito 0 1 2 0 0 ( 1)( 1)... lim ( ) lim 0 ( 1)( 1)... a b v s s K T s T s K sG s s s T s T s          1 1 ( ) 0 v e   K    0 0 1 2 1 ( 1)( 1)... lim ( ) lim , ( 1)( 1)... a b v s s K T s T s K sG s s K s T s T s          1 1 ( ) v e K K    Erro Estacionário em Termos de G(s) Sistema do Tipo 2 ou maior erro nulo 0 0 1 2 ( 1)( 1)... lim ( ) lim , para 2 ( 1)( 1)... N a b v s s K T s T s K sG s s N s T s T s            1 1 ( ) 0 v e   K    Erro Estacionário em Termos de G(s)  CONCLUSÃO:  Um sistema do Tipo 0 é incapaz de seguir, em regime estacionário, uma entrada em rampa.  Um sistema de Tipo 1 com realimentação unitária pode seguir a entrada em rampa com um erro finito.  Já um sistema de Tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa, em regime estacionário, com erro nulo. Erro Estacionário em Termos de G(s)  3º Entrada em Parábola: 𝑅(𝑠) = 1/𝑠3 O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em parábola é: A constante de erro estático de aceleração 𝐾𝑎 é definida como: 3 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) lim lim 1 ( ) ( ) lim / ) 1 ( s s s e s G s s s s G s s G s          2 0 lim ( ) a s K s G s   Erro Estacionário em Termos de G(s) Logo, o erro estacionário em função de 𝐾𝑎 é dado por Para termos erro nulo em regime permanente, 2 0 lim ( ) a s K s G s     1 ( ) a e K   Erro Estacionário em Termos de G(s) Sistemas Tipo 0 ou Tipo 1 erro infinito Sistemas Tipo 2 erro finito 2 2 0 0 1 2 ( 1)( 1)... lim ( ) lim 0, para 0 ou 1 ( 1)( 1)... N a b a s s K T s T s K s G s s N s T s T s           1 1 ( ) 0 a e   K    0 1 2 2 2 2 0 ( 1)( 1)... lim ( ) lim ( 1)( 1)... a b a s s K T s T s K s G s s K s T s T s          1 1 ( ) a e K K    Erro Estacionário em Termos de G(s) Sistema do Tipo 3 ou maior erro nulo 2 2 0 0 1 2 ( 1)( 1)... lim ( ) lim para 3 ( 1)( 1)... N a b a s s K T s T s K s G s s N s T s T s            1 1 ( ) 0 a e   K    Erro Estacionário em Termos de G(s)  CONCLUSÃO:  Os sistemas do Tipo 0 ou Tipo 1 são incapazes de seguir, em regime estacionário, uma entrada em parábola.  O sistema de Tipo 2 com realimentação unitária pode seguir a entrada em parábola com um erro finito .  Já o sistema de Tipo 3 ou maior pode seguir uma entrada em parábola, em regime estacionário, com erro nulo. Erro Estacionário em Termos de G(s) As constantes de erro estático são:  𝐾𝑃 constante de posição (entrada degrau)  𝐾𝑣 constante de velocidade (entrada rampa)  𝐾𝑎 constante de aceleração (entrada parábola)  Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário. Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exemplo 2: Determine os erros em regime permanente para as entradas de 5𝑢(𝑡), 5𝑡𝑢(𝑡) e 5𝑡2𝑢(𝑡) para o sistema. A função 𝑢(𝑡) é o degrau unitário. ( ) Tipo 0 G s Erro Estacionário em Termos de G(s) Solução: Primeiro foi verificado que o sistema de malha fechada é estável. Portanto, podemos analisar os erros estacionários.  Para 5𝑢 𝑡 → 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 → 5/𝑠 1 2 2 120 240 ( ) , 124,98 e 2,02 127 252 s T s p p s s         0 0 5 5 5 ( ) lim 1 ( ) 1 lim ( ) 1 1 5 / 20 2 s s e s G s G s s           Erro Estacionário em Termos de G(s)  Para 5𝑡𝑢 𝑡 → 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 → 5/𝑠2  Para 5𝑡2𝑢(𝑡) → 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 → 10/𝑠3 0 0 2 0 5 5 5 ( ) lim lim 1 ( ) ( ) lim ( ) 5 / 0 s s s e s G s s sG s sG s s             2 2 2 0 0 3 0 10 10 10 ( ) lim lim 10 / 1 ( ) ( ) lim ( ) 0 s s s e s G s s s G s s G s s             Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exercício 1: Determine os erros em regime permanente para as entradas de 5𝑢(𝑡), 5𝑡𝑢(𝑡) e 5𝑡2𝑢(𝑡) para o sistema. A função 𝑢(𝑡) é o degrau unitário. Tipo 1 Resposta: 𝑒(∞)𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 = 0; 𝑒(∞)𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 = 1 20; 𝑒(∞)𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = ∞. ( ) G s Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exercício 1: Verificação com a ajuda do MatLab®  Entrada Degrau Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exercício 1: Verificação com a ajuda do MatLab®  Entrada Rampa Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exercício 1: Verificação com a ajuda do MatLab®  Entrada Parábola Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exercício 2: Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente: a) Determine os erros em regime permanente para as entradas de 15𝑢(𝑡), 15𝑡𝑢(𝑡) e 15𝑡2𝑢(𝑡). b) Repita para Resposta: a) 𝑒(∞)𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 = 0; 𝑒(∞)𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 = 2,1875; 𝑒(∞)𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = ∞. b) O sistema em malha fechada é instável. Os cálculos não podem ser realizados.       10 20 30 ( ) , 25 35 s s G s s s s             2 10 20 30 ( ) , 25 35 50 s s G s s s s s       Erro Estacionário em Termos de G(s)  Exercício 3: Para o sistema, calcule as constantes de erro estático, 𝐾𝑃, 𝐾𝑣 e 𝐾𝑎, e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau, em rampa e em parábola. Resp.: 𝐾𝑃 = ∞, logo 𝑒(∞)𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 = 0; 𝐾𝑣 = ∞, logo 𝑒(∞)𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 = 0; 𝐾𝑎 = 875, logo 𝑒(∞)𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = 1,14 × 10−3. Erro Estacionário em Termos de G(s)  As constantes de erro estático, 𝐾𝑃, 𝐾𝑣 e 𝐾𝑎 podem ser utilizadas como especificações para os erros em regime permanente de sistemas de controle. Por exemplo, se considerarmos 𝐾𝑣 = 1000, podemos tirar diversas conclusões: 1. O sistema é estável; 2. O sistema é do Tipo 1, uma vez que apenas esses sistemas possuem 𝐾𝑣 com um valor constante finito; 3. Uma entrada em rampa é o sinal de teste. Como 𝐾𝑣 é especificado como uma constante finita e o erro em regime permanente para uma entrada em rampa é inversamente proporcional a 𝐾𝑣, sabemos que o sinal de teste é uma rampa; 4. O erro estacionário para a entrada rampa é 1/𝐾𝑣. Especificações de Erro em Regime Permanente  Exemplo 3: Projeto de ganho para Atender a uma Especificação de Erro em Regime Permanente. Dado o sistema de controle, determine o valor de 𝐾 de modo que haja um erro de 10% em regime permanente. Solução: O sistema é do Tipo 1 (1 integrador - 1/𝑠). Apenas uma rampa leva a um erro finito em um sistema do Tipo 1. Assim,   1 ( ) 0,1 10% v e   K  Especificações de Erro em Regime Permanente Portanto,  Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, verificamos que o sistema é estável com este ganho.  Embora este ganho atenda aos critérios de erro em regime permanente e estabilidade, ele pode não resultar em uma resposta transitória desejável. 0 5 10 lim ( ) 6 7 8 672 v s K K sG s K         Especificações de Erro em Regime Permanente Erro de 0,1 Entrada Saída  Exercício 4: Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente: Determine o valor de 𝐾 para resultar em um erro de 10% em regime permanente. Resposta: 𝐾 = 189 Resolvendo no MatLab®: numg=[1 12]; % Define o numerador de G(s). deng=poly([-14 -18]); % Define o denominador de G(s). G=tf(numg,deng) ; % Cria G(s). Kpdk=dcgain(G); % Calcula Kpdk=numg/deng para s=0. estep=0.1; % Erro de 10%. K=(1/estep-1)/Kpdk % Calcula K. T=feedback(G,1); % Calcula sist. malha fechada. poles=pole(T) % Polos de T(s)      12 ( ) , 14 18 K s G s s s     Especificações de Erro em Regime Permanente Em sistemas de controle podemos observar frequentemente realimentações que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um sistema de controle generalizado é ilustrado a seguir. Deslocando 𝐺1(𝑠) para o lado direito do somatório, temos: sendo: 1 2 ( ) ( ) ( ) G s G s G s  1 1 ( ) ( ) ( ) H s H s G s  Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária Na figura anterior podemos facilmente verificar que a realimentação não é unitária, pois existe um 𝐻(𝑠) no ramo de retroação. O procedimento para reorganizar o diagrama de blocos objetivando-se que o sistema tenha realimentação unitária é descrito a seguir: 1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema conforme abaixo: Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária 2) Simplifica-se 𝐻(𝑠) com a realimentação negativa conforme descrito a seguir: 3) Simplifica-se 𝐻(𝑠) − 1 com 𝐺(𝑠) de acordo com a ilustração abaixo, e obtenha a realimentação unitária: Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária  Exemplo 4: Considere o sistema, determine o tipo do sistema, a constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário para uma entrada degrau unitário. Solução: Primeiro foi verificado que o sistema é estável. Para este exemplo, temos: 100 1 ( ) , ( ) ( 10) ( 5) G s H s s s s     Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária Convertendo este sistema para um equivalente de retroação unitária O sistema é do Tipo 0, isto é, não possui nenhuma integração na malha direta. A constante de erro estático apropriada é 𝐾𝑝 3 2 ( ) 100( 5) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 15 50 400 e G s s G s G s H s G s s s s         0 100 5 5 lim ( ) 400 4 p e s K G s        Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária O erro em regime permanente O valor negativo para o erro de estado estacionário implica que o degrau de saída é maior do que o degrau de entrada. Erro de −4 para uma entrada em degrau unitário 1 1 ( ) 4 1 1 ( 5 / 4) p e K         Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária Exercício 5: Para cada um dos sistemas, determine: a) O tipo do sistema; b) A constante de erro estático apropriada; c) A forma de onda de entrada que resulta em um erro constante; d) O erro em regime permanente para uma entrada unitária da forma de onda obtida no Item c). Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária Respostas: Sistema 1: a) Tipo 0; b) 𝐾𝑝; c) Entrada degrau; d) 3 4. Sistema 2: a) Tipo 1; b) 𝐾𝑣; c) Entrada rampa; d) 1,02. Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária Analise através do Teorema do Valor Final Considere um sistema com uma função de transferência em malha fechada de entrada única e saída única representado no espaço de estados: A transformada de Laplace do erro é Mas Sendo T(s) a função de transferência em malha fechada. ( ) ( ) ( ) E s R s Y s   ( ) ( ) ( ) Y s R s T s  Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 Substituindo, temos Aplicando o Teorema do Valor Final, temos     1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 E s R s T s E s R s C sI A B             0 1 0 lim ( ) lim ( ) 1 s s sE s s C I A B R s s           Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados  Exemplo 5: Calcule o erro em regime permanente para o sistema para entradas em degrau unitário e em rampa unitária. Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados 𝑥 𝑡 = −5 1 0 0 −2 1 20 −10 1 𝑥 𝑡 + 0 0 1 𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = −1 1 0 𝑥 𝑡 Solução: Substituindo as matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 em   0 3 2 0 3 2 3 2 1 0 ( ) lim ( ) 1 4 ( ) lim ( ) 1 6 13 20 6 12 16 ( ) lim ( 0 0 5 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 ) 6 13 20 20 10 1 1 s s s e sR s s e sR s s s s s s s e sR s s s s s s s                                                                                            Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados Para a entrada em degrau: Para a entrada em rampa: 3 2 3 2 0 6 12 16 16 4 ( ) lim 6 13 20 20 5 1 s s s s e s s s s s                  Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados 3 3 2 2 2 0 6 12 16 16 ( ) lim 6 13 1 20 0 s s s s e s s s s s                   Resolvendo no MatLab® para uma entrada em degrau: syms s A = [-5 1 0; 0 -2 1; 20 -10 1]; B = [0 0 1]'; C = [-1 1 0]; I = eye(3); E = (1/s)*[1-C*[(s*I-A)^-1]*B] % Novo comando: % subs(X, velho, novo); % Substitui velho em X(velho com novo. error = subs(s*E,s,0) Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados