Função de Transferência ft Pt 2-2023-2

• Circuito elétrico simples Exemplo 1: Determine a FT que relaciona a tensão no capacitor, V_C(s) (saída), à tensão V(s) (entrada). Objetivo FT = \frac{saída}{entrada} \Rightarrow \frac{v_C(t)}{v(t)} \Rightarrow G(s) = \frac{V_C(s)}{V(s)} Circuito RLC. V(s) = \left( Ls + R + \frac{1}{Cs} \right) I(s) \iff V(s) = \left( \frac{LCs^2 + RCs + 1}{Cs} \right) I(s) Fazendo a relação saída pela entrada, temos: Diferente do Objetivo \frac{I(s)}{V(s)} = \frac{Cs}{LCs^2 + RCs + 1} G(s) = \frac{V_C(s)}{V(s)} É preciso substituir I(s). Modelos dinâmicos Modelo dinâmico \frac{\theta'(s)}{U(s)} = \frac{\text{m}_p\text{l}}{(I + \text{m}_p\text{l}^2) - \text{m}_p^2\text{l}^2\text{s}^2 - \text{m}_pg(\text{m}_t + \text{m}_p)}. Esquema Segway (dicíclo) Análise/projeto Aplicação do sistema de controle Pêndulo Invertido Linear- Quanser® Fonte: https://cnx.org/contents/ccW6dpb3@4/LabVIEW- 3D-Control-Simulation-using-SolidWorks-3D-Model Fonte: https://www.quanser.com/pro ducts/linear-servo-base-unit- inverted-pendulum/ Respostas do pêndulo invertido Simulada e Real • Definição Formal: FT é a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída e do sinal de entrada, considerando todas condições iniciais nulas. • As FTs são comumente utilizadas para caracterizar sistemas SISO (acrônimo inglês para Single Input Single Output). • A FT não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema, isto é, as funções de transferência de diversos sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas. Função de Transferência de Circuitos Elétricos • Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3 componentes passivos: resistor, capacitor e indutor. Impedância (Ω): é a oposição que um circuito elétrico faz à passagem de corrente quando é submetido a uma tensão. Somando as tensões ao longo da malha, e pela tabela, temos: 0 ( 0 0 ( ( ) 1 ( ) ) ) t t L di t Ri t i t dt v t dt n s C e sõe − + = − → = − ∑ ∫ ( ) ( ) ( ) VC s G s V s = Objetivo Aplicando a transformada de Laplace, tem-se: 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 t L i t Ri t i t v t C dt d dt − − − + = ∫ ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) tensões de alimentação impedâncias ( ) 1 1 V s L I s RI s I s C V s L R s s s I C s s I s = + + × ⇔   + +     = ∑ ∑ I(s) / V(s) = Cs / (LCs^2 + RCs + 1) Diferente do Objetivo G(s) = VC(s) / V(s) Substituindo I(s) pela equação de Impedância: Z(s) = V(s) / I(s) ⇒ I(s) = VC(s) / (1 / Cs) Substituindo I(s), temos: G(s) = VC(s) / V(s) = 1 / (LCs^2 + RCs + 1) Impedância Z(s) = V(s)/I(s): 1/Cs R Ls Diagrama de blocos de circuito elétrico RLC em série. I(s) / V(s) = Cs / (LCs^2 + RCs + 1) Mudando o Objetivo G(s) = VR(s) / V(s) substituindo I(s) pela equação de Impedância: Z(s) = V(s) / I(s) ⇒ I(s) = VR(s) / R Substituindo I(s), temos: G(s) = VR(s) / V(s) = RCs / (LCs^2 + RCs + 1) Impedância Z(s) = V(s)/I(s): 1/Cs R Ls Depois façam para: G(s) = VL(s) / V(s) • Exemplo 2: Considere o circuito elétrico de duas malhas: Objetivo G(s) = I2(s) / V(s) Converter para impedâncias e no domínio s. Admitir o sentido das correntes e escrever as equações de tensões. Na malha 1, temos Na malha 2: ( ) 1 1 1 1 2 1 2 ) ( ) (s) (s) (s 0 ( ) (s) (s ) V s R I LsI R V s Ls I Ls Ls I I + − − − = + + = 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 (s) (s) (s) ( 0 s (s) (s) ) 0 L s LsI L I R I C sI Ls s s R I C I = +   + + − − −   − − − =  + - - - - + + + Organizando as malhas 1 e 2 na forma matricial, 2 1 2 1 ) ( ) (s (s 0 ) 1 R I s Ls L Ls L s I V R s s C         =     − +         − − − ( ) 1 1 2 ( ) (s) (s) V s R Ls I LsI = + − 1 2 2 1 (s) (s) 0 LsI Ls R Cs I   + + − − − =     [ \begin{array}{cc} \begin{array}{c} R_1 + Ls \\ Ls \end{array} & \begin{array}{c} -Ls \\ -Ls - R_2 - \frac{1}{Cs} \end{array} \end{array} ] \begin{array}{c} I_1(s) \\ I_2(s) \end{array} = \begin{array}{c} V(s) \\ 0 \end{array} Pela \textcolor{cyan}{\text{Regra de Cramer}}, I_2(s) = \frac{\det\begin{bmatrix} \Delta_b \end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix} \Delta \end{bmatrix}} = \frac{\det \begin{bmatrix} \begin{array}{cc} R_1 + Ls & V(s) \\ Ls & 0 \end{array} \end{bmatrix}}{-R_1Ls - R_1R_2 - \frac{R_1}{Cs} - L^2 s^2 - R_2Ls - \frac{Ls}{Cs} + L^2 s^2} I_2(s) = \frac{-V(s)Ls}{-R_1Ls - R_1R_2 - \frac{R_1}{Cs} - R_2Ls - \cancel{\frac{Ls}{Cs}} + \cancel{L^2 s^2}} Organizando a função de transferência, Logo, chega-se em: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 ( ) (s) Ls I R R LCs R R C L s R V s s C =   + + + +   − −   2 2 1 2 1 2 1 2(s) ( ) ( ) ( ) ( ) I G LCs R R LCs R R C L s R s V s = + + + = + Objetivo ( ) ( ) ( ) 2I s G s = V s