Erros em Regime Permanente-2023-2

CONTROLE 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Erros em Regime Permanente (Erros estacionários) Introdução • Definição: Erro Estacionário É a diferença entre uma entrada de teste e a saída quando o tempo tende ao infinito. • O estudo é limitado aos sistemas estáveis. • Exemplos de erros: Entrada Degrau: Saída 1: erro nulo; Saída 2: erro finito. Entrada Rampa: Saída 1: erro nulo; Saída 2: erro finito; Saída 3: erro infinito. Considere o sistema com realimentação unitária e a FT de malha-aberta G(s): A FT contém o termo s^N no denominador, G = \frac{K(T_as+1)(T_bs+1)...(T_ms+1)}{s^N(T_1s+1)(T_2s+1)...(T_ps+1)} Classifica-se o sistema com base no n.º de integradores – 1/s na FT de malha-aberta, G(s). O sistema é do Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2, ..., se N = 0, N = 1, N = 2, ... , respectivamente. A classificação é diferente da que se refere à ordem do sistema: G = \frac{1}{s(s-1)(s+3)} \text{ordem 3} \text{Tipo 1} G = \frac{s+8}{s^3(s+4)(s-5)} \text{ordem 5} \text{Tipo 3} Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas agrava a estabilidade do sistema. Erro Estacionário em Termos de G(s) Temos: E = R - C Ainda, C = EG Resolvendo para E(s): E = \frac{R}{1+G} O Erro do sistema de MF depende da referência e do sistema de MA Aplicando o Teorema do Valor Final, admitindo que o sistema de malha-fechada seja estável, obtém-se: • O cálculo do erro pode ser aplicado erroneamente aos sistemas instáveis. • Assim, deve-se verificar a estabilidade do sistema. 0 ( ) li ( ( m ) 1 ) s e s R s G s → + ∞ = 1º Teste - Entrada Degrau: R = 1/s Para entrada degrau: e(∞) = lim s→0 1/s 1/1+G = 1/1+lim G s→0 Define-se a constante de erro Kp: Kp = lim G s→0 O erro em função de Kp é: e(∞) = 1/1+Kp Para erro nulo: Kp = lim G s→0 = ∞ Para um sistema do Tipo 0: Kp = lim G s→0 = lim K(Tas+1)(Tbs+1).../s0 (T1s+1)(T2s+1)... = K Neste caso, não existem integrações (1/s), N = 0, e conduz a um erro finito (erro constante): e(∞) = 1/1+Kp = 1/1+K Para um sistema do Tipo 1 ou maior: Kp = lim G s→0 = lim K(Tas+1)(Tbs+1).../sN (T1s+1)(T2s+1)... = ∞, para N ≥ 1 Neste caso, existe pelo menos uma integração (1/s) e conduz a um erro nulo: e(∞) = 1/1+Kp = 1/1+∞ = 0 Conclui-se que um sistema do Tipo 0 pode seguir uma entrada em degrau com erro finito. Já, sistemas de Tipo 1 ou maior podem seguir uma entrada em degrau com erro nulo. • 2º teste - Entrada Rampa: R = 1/s² para entrada rampa: lim s → 0 (s² + 1/G) = lim s → 0 (s + sG) = 1/lim sG Define-se a constante de erro Kv : Kv = lim sG O erro em função de Kv é: e(∞) = 1/Kv Para erro nulo: Kv = lim sG = ∞ Para um sistema do Tipo 0: Kv = lim s → 0 (sG) = lim s (Ks^0 (Ta s + 1)(Tb s + 1)... / (T1 s + 1)(T2 s + 1)...) = 0 Neste caso, não há integrações (1/s), N = 0 , e conduz a um erro infinito: e(∞) = 1/Kv = 1/0 = ∞ Para um sistema do Tipo 1: Kv = lim s → 0 (sG) = lim s (Ks^1 (Ta s + 1)(Tb s + 1)... / (T1 s + 1)(T2 s + 1)...) = K Neste caso, há uma integração (1/s), N = 1 , e conduz a um erro finito: e(∞) = 1/Kv = 1/K Para um sistema do Tipo 2 ou maior: Kv = lim s → 0 (sG) = lim s (Ks^N (Ta s + 1)(Tb s + 1)... / (T1 s + 1)(T2 s + 1)...) = ∞, para N ≥ 2 Neste caso, existem pelo menos duas integrações (1/s) e conduz a um erro nulo. e(∞) = 1/Kv = 1/∞ = 0 • Conclui-se que um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir uma entrada rampa. • Sistema de tipo 1 pode seguir a entrada rampa com erro finito. • Já, sistemas de tipo 2 ou maior podem seguir uma entrada rampa com erro nulo. • 3º Teste - Entrada em Parábola: R = 1/s^3 para entrada parábola: e(∞) = lim[s→0] s (1/s^3) - (1/(1+G)) = lim[s→0] (1/s^2) + (s^2G) = (1/lim[s→0] s^2G) Define-se a constante de erro K_a: K_a = lim[s→0] s^2G O erro em função de K_a é: e(∞) = (1/K_a) Para erro nulo: K_a = lim[s→0] s^2G = ∞ Para sistemas do Tipo 0 ou Tipo 1: K_a = lim[s→0] s^2G = lim[s→0] s^2(K(T_a s+1)(T_b s+1).../s^N (T_1 s+1)(T_2 s+1)...) = 0, para N = 0 ou 1 Neste caso, existe apenas 1 ou nenhuma integração (1/s) e conduz a um erro infinito: e(∞) = (1/K_a) = 1/0 = ∞ Para sistema do Tipo 2: K_a = lim[s→0] s^2G = lim[s→0] s^2(K(T_a s+1)(T_b s+1).../s^2 (T_1 s+1)(T_2 s+1)...) = K Neste caso, existem 2 integrações (1/s), N = 2 e conduz a um erro finito: e(∞) = (1/K_a) = 1/K Para sistema do Tipo 3 ou maior: K_a = lim[s→0] s^2G = lim[s→0] s^2(K(T_a s+1)(T_b s+1).../s^N (T_1 s+1)(T_2 s+1)...) = ∞ para N ≥ 3 Neste caso, existem 3 ou mais integrações (1/s) e conduz a um erro nulo: e(∞) = (1/K_a) = 1/∞ = 0 • Conclui-se que sistemas do tipo 0 ou 1 são incapazes de seguir uma entrada parábola. • Sistema de tipo 2 pode seguir a entrada parábola com erro finito. • Já, sistemas de tipo 3 ou maior podem seguir uma entrada parábola com erro nulo. Exercício 1: Determine os erros para as entradas: 5u(t), 5tu(t) e 5t^2u(t). Solução: Verifica-se que o sistema de malha-fechada é estável. Logo, pode-se analisar os erros estacionários. • Degrau: 5u(t) → Laplace → 5/s • Rampa: 5tu(t) → Laplace → 5/s^2 • Parábola: 5t^2u(t) → Laplace → 10/s^3 Verificação: • Entrada Degrau • Entrada Rampa Input-green, Output-blue Amplitude Time(secs) X: 0.15 Y: 0.75 X: 0.15 Y: 0.704 • Entrada Parábola Input-green, Output-blue Amplitude Time(secs) • Erro para Sistema com Realimentação Não Unitária Considere: R(s) Ea(s) G(s) H(s) C(s) H(s) ≠ 1 A ideia é reorganizar o diagrama anterior para que o sistema tenha realimentação unitária. 1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema: 2) Simplifica-se H(s) com a realimentação negativa: 3) Simplifica-se H(s) - 1 com G(s), e obtenha a realimentação unitária: • Exemplo 4: Determine o tipo do sistema, a constante de erro associada ao tipo e o erro estacionário para uma entrada degrau unitário. Solução: Primeiro foi verificado que o sistema é estável. Para este exemplo, temos: 100 1 , ( 10) ( 5) G H s s s = = + + Convertendo o sistema para G_e: G_e = \frac{G}{1+GH-G} = \frac{100s+500}{s^3+15s^2-50s-400} Logo, o sistema é do Tipo 0, i.e., não possui nenhuma integração na malha direta. Assim, a constante de erro apropriada é K_p, cujo valor é: K_p = \lim_{s\to0} G_e = \frac{-500}{-400} = \frac{5}{4} Logo, o erro, !(∞), é O valor negativo implica que a saída está acima do degrau de entrada. Erro de −4 para uma entrada em degrau unitário ( ) 1 1 ( ) 4 5 / 4 1 1 p e ∞ = + K − = + − = Atenção: 3 2 5 1 3 7 15 Ge G GH s s s = = + + + +