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Engenharia de Controle e Automação ·

Controle Contínuo

· 2023/2

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CONTROLE 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Análise de resposta transitória e de regime estacionário (ou regime permanente) • Análise transitória de sistemas de Primeira Ordem • Vários processos podem ser representados pela dinâmica de 1º ordem, exemplo: controle de tanque de pressão Fonte: https://learnchannel-tv.com/closed-loop-controls/controlled-systems/ • Exemplo: controle de nível Fonte: https://sc01.alicdn.com/kf/HTB1cFo_aIfrK1RkSmLyq6xGApXaw/222490347/HTB1cFo_aIfrK1RkSmLyq6xGApXaw.jpg • Exemplo: controle de temperatura Fonte: https://colab.research.google.com/github/APMonitor/learn_python/blob/master/TCLab_B.ipynb Introdução - Análise transitória e estacionária • Determinado o modelo matemático, podemos analisar o desempenho do sistema a partir de sua resposta. • As funções: degrau, rampa e senoide, são sinais típicos para analisar a resposta de um sistema. Aqui vamos utilizar a função de transferência • Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle constituída por duas partes: • Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial ao estado final. • Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de saída à medida que o tempo tende ao infinito. • Em projetos de sistemas de controle, a estabilidade é o objetivo principal. Caso o projeto não consiga obter a estabilidade, o sistema será instável. • O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta em regime apresenta um erro em relação ao sinal de entrada. • Por fim, a resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural. Veja o exemplo. Exemplo: Polos e zeros de um sistema de 1º ordem. Dada a FT, G(s), de 1º ordem R(s) = \frac{1}{s} \frac{s+2}{s+5} G(s) C(s) Existe um polo em s = -5 e um zero em s = -2. Estão representados graficamente no plano s complexo. eixo Im Plano s eixo real Para determinar a resposta ao degrau, multiplique a FT pela função degrau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 5 5 (inversa de La 5 2 1 5 2 1 5 5 2 1 5 1 1 2 5 3 5 2 5 place) ) 3 2 3 5 ( 1 5 5 5 S S t s C s R s G s C s s s s A s s s A B C s s s s B s s s C s c t e s s − → →− − + = ⇒ = + +  = =  +  = +  + +  = =  + +  = + ⇒ = + + L Logo, c(t) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} e^{-5t} Polo da entrada \frac{1}{s} Plano s Zero do sistema \frac{s+2}{s+5} Polo do sistema \frac{1}{s+5} Transformada da saída C(s) = \frac{2/5}{s} + \frac{3/5}{s+5} Resposta no tempo da saída c(t) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} e^{-5t} Resposta forçada Resposta natural Resposta de c(t) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} e^{-5t} Neste caso, a amplitude de valor 1 acontece quando t = 0. Neste caso, \frac{2}{5} é a resposta forçada, e acontece quando t \to \infty. Algumas conclusões: • Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial da forma e^{-at}, em que -a é a posição do polo no eixo real. • Assim, quanto mais à esquerda um polo estiver no eixo real negativo, mais rápido a resposta transitória exponencial decairá para zero. Veja a próxima figura. Resposta de C(s) = \frac{s+b}{s(s+a)} para alguns valores de a. Sistemas de 1º Ordem Considere o sistema de 1º ordem sem zeros Plano s - diagrama do polo Para uma entrada em degrau unitário, temos a saída C(s) C(s) = R(s)G(s) = \frac{1}{s}\frac{a}{s+a} C(s) = R(s) G(s) = \frac{1}{s} \frac{a}{(s+a)} Resposta geral, que depende de a A inversa de Laplace é dada por c(t) = c_f(t) + c_n(t) = 1 - e^{-at} O polo da entrada na origem gerou a resposta forçada c_f(t) = 1, e o polo do sistema -a gerou a resposta natural c_n(t) = -e^{-at}. Neste caso, a é o único parâmetro necessário para descrever a resposta transitória. Considere: F = \frac{1}{T} ou T = \frac{1}{F} frequência exponencial Logo: t = \frac{1}{a} (constante de tempo) Tempo necessário para a resposta ao degrau atingir 63,2% de seu Valor Final. Assim: c(t)\bigg|_{t=\frac{1}{a}} = 1 - e^{-at} = 1 - e^{-\frac{a}{a}} = 1 - e^{-1} = 1 - 0,368 = 0,632 \ ou\ 63,2% t = \frac{2}{a} \Rightarrow 86,47% t = \frac{3}{a} \Rightarrow 95,02% Resposta da equação c(t) Inclinação inicial = \frac{1}{a} constante de tempo Resposta de sistema de primeira ordem a um degrau unitário. 63% do valor final em t = uma constante de tempo 98,17% do valor final em t = 4 constantes de tempo. 99,33% do valor final em t = 5 constantes de tempo. T_r = Tempo de subida e T_s = Tempo de acomodação. • Quanto mais afastado o polo estiver do eixo imaginário, mais rápida será a resposta transitória (relacionada à velocidade com a qual o sistema responde a uma entrada em degrau). Tempo de Subida, '( É definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 10% a 90% de seu Valor Final. 2,2 rT = a Tempo de Acomodação, ') É definido como o tempo para que a resposta alcance e fique em uma faixa de 2% em torno de seu Valor Final. 4 sT = a Determinação Experimental de FT de Primeira Ordem (identificação de sistemas) • Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a FT de um sistema. • Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente. • Podemos determinar a FT destes sistemas por meio da relação entre a entrada e saída, sem a necessidade de conhecer a construção interna da planta. • Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordem podemos determinar a constante de tempo e o valor de regime permanente. Assim, considere um sistema de primeira ordem G(s) = \frac{K}{(s+a)} Cuja resposta ao degrau é C(s) = R(s) G(s) = \frac{1}{s} \frac{K}{(s+a)} • Caso possamos identificar K e a a partir de ensaios laboratoriais, podemos obter a FT do sistema. Exemplo: Considere a resposta ao degrau ≅ 0,72 Passo 1: A partir da resposta, medimos a constante de tempo, isto é, o tempo para a amplitude atingir 63% de seu Valor Final. Valor Final (valor de regime permanente) ≅ 0,72 A constante de tempo é determinada onde a curva atinge 63% de 0,72, ou seja, 0,63 × 0,72 = 0,45, ou cerca de 0,13 s, logo 7 1 1 (constante de tempo) 1 7 0, 3 , t a a = ⇔ = = Passo 2: Obter K. Para isso, verificamos que a resposta forçada atinge um valor em regime permanente de \frac{K}{a} = 0,72, como abaixo: Teorema do Valor Final (TVF) = \lim_{s \to 0} s R(s) G(s) TVF = \lim_{s \to 0} s \frac{1}{s} \frac{K}{s+a} \Rightarrow VF = \frac{K}{a} ∴ \frac{K}{a} = 0,72 \Leftrightarrow \frac{K}{7,7} = 0,72 \Leftrightarrow K = 5,54 Assim, a FT identificada é É interessante observar que a resposta foi gerada utilizando a FT: 5,54 7 7 ( , ) s G s + = 7 ( 5 G s) = s +