Lista Módulo 3 Resolvida-2022 1

Módulo 03 _____________________________________________________________________________ Questão 01 – A função de transferência de um sistema em malha fechada é T(s). Determine a faixa de K1 e K2 para que o sistema seja estável. Qual é a relação entre K1 e K2 para a estabilidade. (Desenhe o gráfico de K1 x K2 no MATLAB): _____________________________________________________________________________ Questão 02 – Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária, mostrado na figura, para as seguintes funções de transferência: Dica: verificar o lugar das raízes com ajuda do MATLAB _____________________________________________________________________________ Questão 03 – Considere o sistema com J = 1kgm2 e B = 1Nm/rad/s: a) Determine os valoresde K e Kh de modo que a máxima ultrapassagem percentual da resposta ao degrau seja 20% e o tempo de pico 1s. Resp.: K=12,46 N/m e Kh = 0,178 s b) Obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação Resp.: TR1 = 0,45s e TS = 2,485 s _____________________________________________________________________________ Questão 04 – Considere o sistema de controle com realimentação. a) Determine a função de transferência em malha fechada G(s)=Y(S)/R(S) Resp.: ( ) 1 2 1 2 1 ( ) 1 K G s s K K s K = + + + b) Determine os valores de 1 K e 2 K de modo que a resposta em malha fechada para uma entrada em degrau seja criticamente amortecida com dois polos em 1,2 10 s = − . Resp.: 1 100 e 2 0,19 K K = = c) O valor final, ( ) Y s , quando a entrada, ( ) R s , for submetida a um degrau unitário. Resp.: 1 VF = Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Cornélio Procópio Coordenação de Eletrotécnica UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR Experimento – Projeto de estabilidade via Routh-Hurwitz (Simulação) Prof. Emerson Ravazzi Pires da Silva 1. Objetivo Projetar a faixa de valores de ganhos na qual um determinado sistema realimentado seja estável, instável e marginalmente estável utilizando a tabela de Routh-Hurwitz, bem como obter a resposta temporal considerando os ganhos projetados, através da ferramenta computacional Matlab®/Simulink®. 2. Simulação 1 Considere o sistema de controle mostrado na figura. As propriedades de estabilidade estão em função do ganho de realimentação proporcional, 𝐾. Utilizando a tabela de Routh-Hurwitz, determine os valores de 𝐾 para os quais o sistema é estável, instável e marginalmente estável. Considere 𝐾 > 0. Dentre os valores obtidos, escolha um único valor de 𝐾 que satisfaça as condições da tabela. Obtenha a resposta transitória, 𝑦, para as três condições abaixo. Considere a entrada, 𝑟, um degrau unitário. Resposta de malha fechada Valor de 𝐾 Polo de malha fechada 𝑝1 Polo de malha fechada 𝑝2 Polo de malha fechada 𝑝3 Estável Marginalmente Estável Instável Dica: Utilize o comando abaixo para achar os polos de malha fechada: roots([coeficientes do denominador]) % raízes do denominador No Simulink®: 3. Simulação 2 Utilizando a tabela de Routh-Hurwitz, encontre os valores possíveis para os ganhos do controlador (𝐾, 𝐾𝐼) tal que o sistema realimentado com um controlador PI (Proporcional-Integral) seja estável, instável e marginalmente estável. Considere 𝐾 > 0 e 𝐾𝐼 > 0. Dentre os valores obtidos, escolha um único valor de 𝐾 e 𝐾𝐼 que satisfaça as condições da tabela. Obtenha a resposta transitória, 𝑌, para as cinco condições abaixo. Considere a entrada, 𝑅, um degrau unitário. Resposta de malha fechada Valor de 𝐾 Valor de 𝐾𝐼 Polo de malha fechada 𝑝1 Polo de malha fechada 𝑝2 Polo de malha fechada 𝑝3 Estável com 𝐾 ≠ 0 𝑒 𝐾𝐼 = 0 0 ------------------ Estável com 𝐾 = 0 𝑒 𝐾𝐼 ≠ 0 0 Estável com 𝐾 ≠ 0 𝑒 𝐾𝐼 ≠ 0 Marginalmente Estável Instável Dica: Utilize o comando abaixo para achar os polos de malha fechada: roots([coeficientes do denominador]) % raízes do denominador No Simulink®: 4. Resultados As tabelas preenchidas, os diagramas Simulink® e as respostas obtidas no Scope deverão ser apresentados no Moodle (anexados). T(s) = \frac{s^2 + K_1 s + K_2}{s^4 + K_1 s^3 + K_2 s^2 + 5s + 1} 1- Condição necessária mas não suficiente: os coeficientes do polinômio característico devem ser positivos: K_1 > 0, K_2 > 0 2- Aplicando o critério de Routh-Hurwitz: s^4 1 K_2 1 s^3 K_1 5 0 s^2 \frac{K_1 K_2 - 5}{K_1} 1 0 \Rightarrow I K_1 K_2 - 5 > 0 .\:. K_1; K_5 > 5 s^1 \frac{(5K_1 K_2 - 25)/K_1 - K_1}{(K_1 K_2 - 5)/K_1} \frac{K_1 K_2 = 5 ,\: logo, o denominador é positivo}{pelo condição I, \: K_1 K_2 = 5 ,\: logo, o denominador é positivo} \Rightarrow II 5K_1 K_2 - 25 - K_1^2 > 0 \:. 5K_1 K_2 - 25 - K_1 ^2 > 0 \:. K_1^2 < 5K_1 K_2 - 25 K_1 \ # < \sqrt{5K_1 K_2 - 25 } Para estabilidade, estas duas condições devem ser atendidas: K_1 K_2 \geq 5, K_1 < \sqrt{5K_1 K_2 - 25} Essas condições podem ser reescritas de modo que {K_1 = f(K_2)} para que seja possível plotar o gráfico {K_1 \times K_2}. A partir da condição II: 5K_1 K_2 - 25 - K_1^2 > 0 \:. K_1^2 -(5K_2)K_1 + 25 < 0 y(K_1) Analisando y(K_1) < 0: K_1 = \frac{5}{2} ( K_2 + \sqrt{K_2^2 - 4} ) K_1' = \frac{5}{2} ( K_2 - \sqrt{K_2^2 - 4} ) \underbrace{\text{Umas que, como $K_1$ é um número real, então é preciso que $K_2 > 2$.}} Umas que y(K_1 ) está na forma y(x) = ax^2 + bx + c em que a > 0. Logo, y(K_1 ) é uma parábola com concavidade voltada para cima. Assim, para que a condição y(K_1 ) < 0 seja atendida, é preciso que K_1 esteja dentro da faixa pintada de azul, isto é: \frac{5}{2} ( K_2 - \sqrt{K_2^2 - 4} ) < K_1 < \frac{5}{2} ( K_2 + \sqrt{K_2^2 - 4} ) Há duas condições sobre o valor mínimo de K_1: Cond 1: \: K_1 K_2 > 5 \:. K_1 > \frac{K_2}{5} Cond 2: \: K_1 > \frac{5}{2} ( K_2 - \sqrt{K_2^2 - 4} ) Plotando essos dois curvas, é fácil notar que a segunda é sempre maior ou igual à primeira, e conforme $K_2 \rightarrow \infty$, o dois curvas tendem a se igualarem. Logo, a interseção dessas duas condições é: K_1 < \frac{5}{2} (K_2 - \sqrt(K_2^2 - 4)) Finalmente, as condições para estabilidade do sistema são: K_1 > 0,\:K_2 > 2,\: \: \frac{5}{2} (K_2 - \sqrt{K_2^2 - 4}) < K_1 < \frac{5}{2} (K_2 + \sqrt(K_2^2 - 4}) U plot K_1 \times K_2 está anexado. 2 a) G(s) = \frac{K(s+2)(s+6)}{s^2 + 8s + 25} \Rightarrow G(s) = \frac{K(s+2)(s+6)}{(s+4 + j3)(s+4 - j3)} 1- Localização dos polos e zeros sobre o eixo real e o lugar dos reis sobre em eixos: \{\ } 2- Não há assimtotas! 3- Localização dos demais polos e zeros e esboço do lugar das raízes: jw + j σ o jw -polos! σ o - j * * * d) G(s)= K / (s+1)^3 * (s+4) 1- Localização dos polos e zeros no eixo real e bodização do lugar dos raízes no eixo: jw -3 polos σ o -4 -1 * * * 2- Há 4 polos finitos e nenhum zero finito, logo, há 4 assíntotas. Ponto de partida do eixo real: Equação característica: G(s)+1=0 ⇔ K / (s+1)^3 * (s+4) + 1 = 0 ⇔ K = -(5s^4 + 7s^3 + 15s^2 + 30s + 13) ⇒ dK/ds = 0 ⇔ 4s^3 + 21s^2 + 30s + 13 = 0 S_1 = 3,25, z = -1 S_3 = -2,25 * * * Ângulos de partida dos assíntotas: Θ_a = 180°(m+1)/4 - η1 - η3 + η0 n = 0 Θ_a = 45° n = 1 Θ_a = 135° n = 2 Θ_a = 225° - (-135°) n = 3 Θ_a = 315°- (-45°) 3- Esboço do lugar dos raízes: σ -4 -1 wc -3,25 3 polos σ o 45° 45° 45° 45° * * * 3) a) R(s) -- summation -- | -- block -- | Ks / JS+B | -- block -- | 1/s | C(s) | | | | | | | | ---------------- | / | | -> | K_h | ----------------<- ____________________________________ ----- R(s) -- summation -- | -- block -- | Ks / JS+B | -- block -- | 1/s | C(s) | | | --------- | | | | ------------------ | | | -> | s-k_h | --------------------------------<- _________________ G(s) = K / (JS+B) = (s / JS) +K/K_h Js^2 + (B+K_h)s * * * C(s) / R(s) = K / Js^2 + (B+K_h)s + K tp = 1s * * * Mp = e^{-πζ/√1-ζ²} ζ = 0,4559 Mp = 20% = 0,2 * * * Considerando a função de transferência na forma C(s)/R(s) = √[ω_d²/ω_n²] / [s² + 2ζω_ns + ω_n²] sobreamortecidos (Mp) e o tempo de pico tp são dados por: ζ = 0,4559, ω_n = 3,5593 rad/s * * * t_p = π/w_d = π / [ω_n√1-ζ²] own = π /2ζP√1-ζ² ζ = 0,94598 Comparando a função de transformação padrão com a função de transferência do sistema, e sendo que J = 1kg.m² B = 1Nm/rad.ls * * * K = 12,4558 B+KKh / J = 2ζω_n 2ζω_nJ Kh = 0,1781 τ_a = π-θ/w_d τ_a = r-cos⁻¹(ζ)/ω_n√1-ζ² ζ = 0,4559 τ_s = 4/σ = 4/gω_n τ_s = 7,8853 C(s) / R(s) = s / (s+1) Pode-se comparar o gráfico. a) Dois polos em s = -10 L(polinômio característico): (s+10)(s+10) = s² + 20s + 100 K_1 = 100 G(s) = K/(JS+B) Kh K_1 = 100 K_1 + K_2 = 20 K_1, K_2 K1 = 0,19 c) Degrau unitário: R(s) = \frac{1}{s} Teorema do Valor Final: c(\infty) = \lim_{s\to0} s \cdot C(s) \cdot R(s) = \lim_{s\to0} \frac{s \cdot \frac{K_1}{s^2 + (1+K_1K_2)s + K_1} \cdot \frac{1}{s}}{R(s)} = \frac{K_1}{K_1} = 1 \therefore c(\infty) = \boxed{1}