Slide Aula 5 Controle1-2022 1

P R O F . C A R O L I N A R I B E I R O R O D R I G U E S Controle 1 Aula 5  Redução de subsistemas múltiplos Introdução Diagrama de blocos Movendo blocos Simplificações Exercícios Resumo  Um subsistema individual pode ser representado por um bloco com uma entrada, uma saída e uma função de transferência.  Entretanto, sistemas mais complexos são representados pela interconexão de diversos subsistemas.  Logo, o objetivo é representar subsistemas múltiplos através de uma única função de transferência.  Assim, podemos aplicar as técnicas analíticas e obter as informações da resposta transitória relativa ao sistema como um todo. Introdução Muitos sistemas são constituídos de subsistemas múltiplos, como abaixo: Diagrama de Blocos  Quando vários subsistemas são interconectados, há mais elementos para o diagrama de blocos:  junção de soma ou subtração  pontos de ramificação. Diagrama de Blocos Topologias comuns para interconectar subsistemas  Forma Cascata: Sendo, (𝒂). Subsistemas em cascata; (𝒃). Função de transferência equivalente, e é dada por 3 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) e G s G s G s G s  Diagrama de Blocos  Forma Paralela: Sendo, (𝒂). Subsistemas em paralelo; (𝒃). Função de transferência equivalente, e é dada por 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) e G s G s G s G s     Diagrama de Blocos  Forma com Realimentação: Diagrama de Blocos Sendo, (𝒂). Sistema de controle com realimentação; (𝒃). Modelo simplificado; (𝒄). Função de transferência equivalente; Demonstração: A partir da representação (𝒃), temos Mas, Substituindo, chega-se em ou seja, a função de transferência de malha-fechada. ( ) ( ) ( ) ( ) E s R s C s H s   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C s C s E s G s E s G s    ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) e C s G s G s R s G s H s    Diagrama de Blocos  Movendo Blocos: Álgebra de diagramas de blocos para junções de soma Diagrama de Blocos  Movendo Blocos: Álgebra de diagramas de blocos para pontos de ramificação Diagrama de Blocos  Simplificações: Diagrama de Blocos  Simplificações: Diagrama de Blocos Exemplo: Reduza o diagrama de blocos a uma única função de transferência. Diagrama de Blocos Solução: Primeiro, as três junções de soma podem ser combinadas em uma única junção de soma. Diagrama de Blocos Segundo, perceba que as três funções de realimentação, 𝐻1(𝑠), 𝐻2(𝑠) e 𝐻3(𝑠), estão conectadas em paralelo. A função equivalente é 𝐻1 𝑠 −𝐻2 𝑠 + 𝐻3 𝑠 . Ainda, 𝐺2 𝑠 e 𝐺3 𝑠 estão conectadas em cascata. A função equivalente é 𝐺3 𝑠 𝐺2 𝑠 . Finalmente, o sistema com realimentação é reduzido e multiplicado por 𝐺1 𝑠 . Diagrama de Blocos Exercício 1: Reduza o sistema a uma única função de transferência. Resposta: Diagrama de Blocos Resolvendo o exercício anterior (Exercício 1) com a ajuda do MATLAB: Considere todas as 𝐺𝑖 𝑠 = 1/(𝑠 + 1) e todas as 𝐻𝑖 𝑠 = 1/𝑠. G1=tf(1,[1 1]); % Cria a função de % transferência LTI G1(s). G2=G1; G3=G1; % Cria G2(s) e G3(s). H1=tf(1,[1 0]); % Cria a função de % transferência LTI, H1(s). H2=H1; H3=H1; % Cria H2(s) e H3(s). System=append... (G1,G2,G3,H1,H2,H3); % Reúne todos os subsistemas. input=1; % A entrada está no primeiro % subsistema, G1(s). output=3; % A saída é a saída do terceiro % subsistema, G3(s). To be continued ... Diagrama de Blocos Q=[1 -4 0 0 0 % O subsistema 1, G1(s), obtém sua % entrada do negativo da saída do % subsistema 4, H1(s). 2 1 -5 0 0 % O subsistema 2, G2(s), obtém sua % entrada do subsistema 1, G1(s) e do % negativo da saída do subsistema 5, % H2(s). 3 2 1 -5 -6 % Idem raciocínios anteriores. 4 2 0 0 0 % Idem raciocínios anteriores. 5 2 0 0 0 % Idem raciocínios anteriores. 6 3 0 0 0]; % Idem raciocínios anteriores. T=connect(System,... Q,input,output); % Conecta os subsistemas. T=tf(T); % Cria função de transferência em % malha fechada LTI. T=minreal(T) % Cancela termos comuns. Diagrama de Blocos Exercício 2: Obtenha a função de transferência equivalente, 𝑇(𝑠) = 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠). Resposta: 3 4 2 1 ( ) 2 2 s T s s s s     Diagrama de Blocos Exercício 3: Para o sistema, obtenha o instante de pico, a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação. Utilizando o MatLab®, represente graficamente a resposta de saída para uma entrada em degrau unitário e realize as medições a partir do gráfico. Compare com os cálculos realizados. Resp.: 𝑛= 5,  = 0,5, 𝑇𝑝 = 0,726 s, %𝑈𝑃 = 16,303 e 𝑇𝑠 = 1,6 s. Análise e Projeto de Sistemas com Realimentação Resolvendo o exercício anterior (Exercício 3) com a ajuda do MATLAB: numg=[25]; % Define o numerador de G(s). deng=poly([0 -5]); % Define o denominador de G(s). G=tf(numg,deng) % Cria e exibe G(s). T=feedback(G,1) % Obtém T(s). [numt,dent]=tfdata(T,'v'); % Extrai o numerador e o % denominador de T(s). wn=sqrt(dent(3)) % Obtém a frequência natural. z=dent(2)/(2*wn) % Obtém o fator de amortecimento. Ts=4/(z*wn) % Obtém o tempo de acomodação. Tp=pi/(wn*sqrt(1-z^2)) % Obtém o instante de pico. up=exp(-z*pi/sqrt(1-z^2))*100 % Obtém a ultrapassagem percentual. step(T) % Gera a resposta ao degrau. Análise e Projeto de Sistemas com Realimentação Exercício 4: Determine o valor do ganho, 𝐾, para o sistema de controle com realimentação de modo que o sistema responderá com uma ultrapassagem de 10%. Utilizando o MatLab®, represente graficamente a resposta de saída para uma entrada em degrau unitário e realize as medições a partir do gráfico. Compare com os cálculos realizados. Resp.: 𝐾 = 17,90. Análise e Projeto de Sistemas com Realimentação