Cinética do Movimento Plano de um Corpo Rígido - Força e Aceleração - Momento de Inércia

slide 1 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados slide 1 Capítulo 17 Cinética do movimento plano de um corpo rígido força e aceleração slide 2 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Introduzir os métodos usados para determinar o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações cinéticas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações dessas equações para corpos sofrendo translação rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral Objetivos do capítulo slide 3 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados A integral do segundo momento em relação a um eixo de todos os elementos de massa dm que compõem o corpo Por exemplo Momento de inércia de massa slide 4 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Se o corpo consiste de um material tendo uma densidade variável ρ ρ x y z o momento de inércia do corpo é então calculado utilizando elementos de volume para a integração ou seja No caso especial de ρ ser uma constante Momento de inércia de massa slide 5 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Elemento de casca Se um elemento de casca tendo uma altura z raio r y e espessura dy é escolhido para integração então o volume é dV 2πy zdy Este elemento pode ser usado para determinar o momento de inércia Іz do corpo em relação ao eixo z visto que o elemento inteiro por sua finura encontrase à mesma distância perpendicular r y do eixo z Procedimento para análise slide 6 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Elemento de disco Se um elemento de disco tendo um raio y e uma espessura dz é escolhido para integração então o volume é dV πy2dz Este elemento é finito na direção radial e consequentemente suas partes não se encontram todas à mesma distância radial r do eixo z Como resultado as equações anteriormente apresentadas não podem ser usadas para determinar Іz diretamente Em vez disso para realizar a integração é necessário primeiro determinar o momento de inércia do elemento em relação ao eixo z e em seguida integrar esse resultado Procedimento para análise slide 7 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Este teorema pode ser derivado considerandose o corpo mostrado na Figura abaixo Por conseguinte o momento de inércia em relação ao eixo z pode ser escrito como Teorema dos eixos paralelos slide 8 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Tratase de uma propriedade geométrica que tem unidades de comprimento Quando conhecemos esse raio e a massa m do corpo o momento de inércia é determinado pela equação Corpos compostos Se um corpo consiste de certo número de formas simples como discos esferas e barras o momento de inércia do corpo em relação a qualquer eixo pode ser determinado somando algebricamente os momentos de inércia de todas as formas que o compõem calculadas em relação ao eixo Raio de giração slide 9 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Equação de movimento translacional As forças externas atuando sobre o corpo na Figura abaixo representam o efeito de forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato entre corpos adjacentes Equações da cinética do movimento plano slide 10 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Diagrama de corpo livre da iésima partícula Equação de movimento rotacional slide 11 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Se a partícula tem uma massa mi e sua aceleração é ai então seu diagrama cinético é mostrado na Figura abaixo Equação de movimento rotacional slide 12 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Os momentos em relação a P também podem ser expressos em termos da aceleração do ponto P Equação de movimento rotacional slide 13 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Se o ponto G está localizado em então pelo teorema dos eixos paralelos Temos simplificando temos Equação de movimento rotacional slide 14 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Quando os momentos cinéticos ΣмkP são calculados Figura abaixo os vetores maGx e maGy são tratados como vetores deslizantes isto é eles podem atuar em qualquer ponto ao longo de sua linha de ação Equação de movimento rotacional slide 15 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Três equações escalares independentes podem ser escritas para descrever o movimento plano geral de um corpo rígido simétrico Ou Aplicação geral das equações de movimento slide 16 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Quando há translação todas as partículas de um corpo têm a mesma aceleração Equações de movimento translação slide 17 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Quando um corpo é submetido à translação retilínea todas as partículas do corpo placa se deslocam ao longo de trajetórias retilíneas paralelas Translação retilínea slide 18 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Quando um corpo rígido é submetido à translação curvilínea todas as partículas do corpo se deslocam ao longo de trajetórias curvas paralelas Translação curvilínea slide 19 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Diagrama de corpo livre Estabeleça o sistema de coordenadas inercial x y ou n t e construa o diagrama de corpo livre a fim de levar em consideração todas as forças externas e momentos de binário que atuam sobre o corpo A direção e o sentido da aceleração do centro de massa do corpo aG devem ser estabelecidos Procedimento para análise slide 20 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Diagrama de corpo livre Identifique as incógnitas no problema Se for decidido que a equação de movimento rotacional ΣMP Σ мkP deve ser usada na solução então considere traçar o diagrama cinético visto que ele leva em consideração graficamente as componentes maGx maGy maGt maGn e é portanto conveniente para visualizar os termos necessários no momento da soma ΣмkP Procedimento para análise slide 21 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Equações de movimento Aplique as três equações de movimento de acordo com a convenção de sinais estabelecida Para simplificar a análise a equação de momento ΣMG 0 pode ser substituída pela equação mais geral ΣMP ΣмkP onde o ponto P está normalmente localizado na interseção das linhas de ação das tantas forças incógnitas quanto possível Se o corpo está em contato com uma superfície áspera e ocorre deslizamento use a equação de atrito F μk N Lembrese de que F sempre atua sobre o corpo de maneira a se opor ao movimento do corpo em relação à superfície que ele faz contato Procedimento para análise slide 22 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Cinemática Utilize a cinemática para determinar a velocidade e a posição do corpo Para translação retilínea com aceleração variável Para translação retilínea com aceleração constante Para translação curvilínea Procedimento para análise slide 23 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Considere o corpo rígido ou placa mostrado na Figura ao lado que está restrito a girar no plano vertical em torno de um eixo fixo perpendicular à página e passando pelo pino em O Equações de movimento rotação em torno de um eixo fixo slide 24 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Os diagramas cinéticos e de corpo livre para o corpo são mostrados na Figura ao lado Equações de movimento rotação em torno de um eixo fixo slide 25 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados As equações de movimento que se aplicam ao corpo podem ser escritas na forma Equações de movimento rotação em torno de um eixo fixo slide 26 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Diagrama de corpo livre Estabeleça o sistema de coordenadas inercial n t e especifique a direção e o sentido das acelerações aGn e aGt e a aceleração angular α do corpo Lembrese de que aGt tem de atuar em uma direção que está de acordo com o sentido rotacional de α enquanto aGn sempre atua em direção ao eixo de rotação o ponto O Construa o diagrama de corpo livre para considerar todas as forças externas e momentos de binário que atuam sobre o corpo Procedimento para análise slide 27 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Diagrama de corpo livre Determine o momento de inércia ІG para ІO Identifique as incógnitas no problema Se for decidido que a equação de movimento rotacional ΣMP Σ мkP deve ser usada ou seja P é um outro ponto diferente de G ou O então considere traçar o diagrama cinético a fim de ajudar a visualizar os momentos desenvolvidos pelas componentes maGn maGt e ІGα quando escrevendo os termos para a soma dos momentos ΣмkP Procedimento para análise slide 28 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Equações de movimento Aplique as três equações de movimento de acordo com a convenção de sinais estabelecida Se os momentos são somados em relação ao centro de massa do corpo G então ΣMG ІGα visto que maGt e maGn não geram momento algum em relação a G Procedimento para análise slide 29 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Equações de movimento Se momentos são somados em relação ao pino apoio O sobre o eixo de rotação então maGn não gera momento algum em relação a O e pode ser mostrado que ΣMO ІOα Utilize a cinemática se uma solução completa não pode ser obtida estritamente a partir das equações de movimento Se a aceleração angular é variável use Procedimento para análise slide 30 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Equações de movimento Se a aceleração angular é constante use Procedimento para análise slide 31 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados O corpo rígido ou placa mostrado na Figura abaixo está submetido ao movimento plano geral causado pelo sistema de forças e momentos de binário aplicado externamente Equações de movimento movimento plano geral slide 32 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Os diagramas cinéticos e de corpo livre para o corpo são mostrados na Figura ao lado Se um sistema de coordenadas inercial x e y é estabelecido como mostrado as três equações de movimento são Equações de movimento movimento plano geral slide 33 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Em alguns problemas pode ser conveniente somar os momentos em relação a outro ponto P em vez de G a fim de eliminar tantas forças incógnitas quanto possível do somatório de momentos Quando usadas neste caso mais geral as três equações de movimento são Equações de movimento movimento plano geral slide 34 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Diagrama de corpo livre Estabeleça o sistema de coordenadas inercial x y e construa o diagrama de corpo livre para o corpo Especifique a direção e o sentido da aceleração do centro de massa aG e da aceleração angular α do corpo Determine o momento de inércia IG Identifique as incógnitas no problema Se ficar decidido que a equação de movimento rotacional ΣMP Σ мkP deva ser usada então considere traçar o diagrama cinético a fim de ajudar a visualizar os momentos desenvolvidos pelas componentes maGx maGy e ІG α quando escrevendo os termos na soma dos momentos ΣмkP Procedimento para análise slide 35 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Equações de movimento Aplique as três equações de movimento de acordo com a convenção de sinais estabelecida Quando o atrito está presente há a possibilidade de movimento sem deslizamento ou tombamento Cada possibilidade de movimento deve ser considerada Procedimento para análise slide 36 2011 Pearson Prentice Hall Todos os direitos reservados Cinemática Utilize a cinemática se uma solução completa não puder ser obtida estritamente das equações de movimento Se o movimento do corpo for restringido em virtude de seus suportes equações adicionais podem ser obtidas utilizando aB aA aBA que relacionam as acelerações de quaisquer dois pontos A e B sobre o corpo Quando uma roda disco cilindro ou bola rola sem deslizar então aG αr Procedimento para análise