Resolução de Desafios sobre Tensões Elásticas em Lajes

1 paz e bem AULA 05 CONCRETO PROTENTIDO RESOLUÇÃO DO DESAFIO TENSÕES ELASTICAS D PROFESSOR MURILO MONFORT REFERENCIAS ROBERTO CHUST WALTER PFEIL PAULO CEZAR BASTOS Exemplo Tensões Elásticas em Laje Estudar as tensões devido ao momento fletor máximo nos bordos superior e inferior da seção transversal em uma laje simplesmente apoiada com os seguintes dados Altura h 30 cm altura útil da armadura passiva ds 27 cm Concreto C50 fck 50 MPa Tensão efetiva máxima permitida na armadura de protensão fpef 1400 MPa Aço da armadura passiva CA50 fyd 435 MPa Tensão de compressão máxima permitida no concreto fcmáx 25 MPa Vão L 10 m Peso específico do concreto γconcr 25 kNm3 Carga variável sobre a laje de 85 kNm2 A laje será calculada tomandose uma faixa igual à altura b 100 cm ver Figura 163 de modo que as quantidades de armadura que serão calculadas são relativas à largura de 100 cm Figura 163 Dimensões cm da seção transversal da laje Resolução Devido a Carga permanente Peso próprio e momento fletor Mg na faixa b 100 cm 𝑔 𝛾𝑐𝑜𝑛 𝑘𝑁𝑚3 𝐴𝑐𝑚2 25010 03 750 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑔 𝑔 𝐿2 8 751002 8 9375𝑘𝑁𝑚 93750 𝑘𝑁𝑐𝑚 Tensões normais nas fibras superior e inferior da seção não fissurada sem coeficiente de segurança ponderação 𝜎𝑠𝑢𝑝𝑖𝑛𝑓 𝑀𝑔 𝑦 𝐼𝑐 𝑀𝑔 ℎ 2 𝑏 ℎ3 12 6 𝑀𝑔 𝑏 ℎ2 693750 100302 0625 𝑘𝑁 𝑐𝑚2 625 𝑀𝑃𝑎 compressão negativa na fibra superior e tração positiva na inferior b 10 cm 0 s 27 h 30 d 27 V ão 10 0 m 2 paz e bem Devido a carga acidental Carga variável e momento fletor Mq na faixa b 100 cm 𝑞 85 𝑘𝑁𝑚2 10𝑚 850 𝑘𝑁𝑚 𝑀𝑞 𝑔 𝐿2 8 851002 8 10625𝑘𝑁𝑚 106250 𝑘𝑁𝑐𝑚 Tensões normais nas fibras superior e inferior da seção não fissurada sem coeficiente de segurança ponderação 𝜎𝑠𝑢𝑝𝑖𝑛𝑓 𝑀𝑞 𝑦 𝐼𝑐 𝑀𝑞 ℎ 2 𝑏 ℎ3 12 6 𝑀𝑞 𝑏 ℎ2 6106250 100302 0708 𝑘𝑁 𝑐𝑚2 708 𝑀𝑃𝑎 compressão negativa na fibra superior e tração positiva na fibra inferior Vamos estudar os seguintes casos para o dimensionamento da laje 1 Laje não armada aula 04 2 Laje de concreto armado aula 04 3 Laje com protensão aplicada no CG da seção transversal aula 04 4 Laje com protensão aplicada no limite inferior do Núcleo Central de Inercia aula 04 5 Desafio Calcular a excentricidade 𝑒𝑝 e a força de protensão P que gera tensões finais de i Compressão na fibra superior igual a gerada pelas cargas permanente acidental ii Tração na fibra inferior de 𝑓𝑐𝑡𝑓 428 MPa 5 Laje em Concreto Protendido Protensão excêntrica Cálculo de ep e P Para se ter tensão final na fibra superior igual a 133 MPa 𝟏 𝟑𝟑 𝒌𝑵 𝒄𝒎𝟐 a de protensão tem que ser zero 000 Para se ter tensão final na fibra inferior igual a 428 MPa 𝟎 𝟒𝟐𝟖 𝒌𝑵 𝒄𝒎𝟐 a de protensão tem que ser zero 000 Figura 173 Tensões normais MPa devido a força de protensão permanente acidental 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 𝑒𝑝 P 133 𝑃 𝐴𝑐 428 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 133 428 133 133 3 paz e bem Igualando as tensões devido somente a protensão i Fibra superior 𝑃 𝐴𝑐 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 000 𝑃 30100 𝑒𝑝𝑃 30 2 100303 12 000 333 104𝑃 667 105𝑒𝑝𝑃 000 𝐼 ii Fibra inferior 𝑃 𝐴𝑐 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 0428 133 𝑃 30100 𝑒𝑝𝑃 30 2 100303 12 0428 133 333 104𝑃 667 105𝑒𝑝𝑃 0902 𝐼𝐼 𝐼 333 104𝑃 667 105𝑒𝑝𝑃 000 𝐼𝐼 333 104𝑃 667 105𝑒𝑝𝑃 0902 Resolvendo temos 𝑃 1353 𝑘𝑁 𝑒𝑝 500 𝑐𝑚 Área da armadura de protensão Ap 𝑓𝑝𝑒𝑓 𝑃 𝐴𝑝 𝐴𝑝 𝑃 𝑓𝑝𝑒𝑓 𝐴𝑝 13530 𝑘𝑁 1400 𝑘𝑁 𝑐𝑚2 966 𝑐𝑚2 𝑚 A Tabela apresenta um resumo dos resultados numéricos obtidos para os casos analisados Unidades tensões 𝜎 MPa força de protensão P kN áreas das armaduras A 𝑐𝑚2 Situações 𝜎𝑐𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑐𝑚𝑎𝑥 P AS e Ap 1 Não armada laje rompeu 133 133 X x 2 CA Concreto armado X X X 261 31 CP protensão no CG tração nula 266 00 39900 281 32 CP protensão no CG limite de compressão 250 083 35010 251 4 CP protensão no limite do NCI 133 00 19950 1425 5DESAFIO 133 428 13530 966 4 paz e bem 6 Estudar a tensão final de compressão na fibra superior e o valor de P para uma excentricidade ep 12 cm limite com tensão de tração na fibra inferior igual a 00 Figura 173 Tensões normais MPa devido a força de protensão permanente acidental Igualando as tensões atuando na fibra inferior devido somente a protensão 𝑃 𝐴𝑐 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 133 𝑃 30100 12𝑃 30 2 100303 12 133 333 104𝑃 800 104𝑃 133 𝑃 133 333 800 104 117353 𝑘𝑁 Resolvendo temos 𝑃 11735 𝑘𝑁 Área da armadura de protensão Ap 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 𝑒𝑝 12𝑐𝑚 P 𝑃 𝐴𝑐 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 133 133 5 paz e bem Outra forma 𝜎𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑃 𝐴𝑐 𝑒𝑝𝑃ℎ 2 𝐼𝑐 𝑃 𝑏ℎ 𝑒𝑝𝑃 ℎ 2 𝑏ℎ3 12 𝑃 𝑏ℎ 12𝑒𝑝𝑃ℎ 2𝑏ℎ3 𝑃 𝑏ℎ 6𝑒𝑝𝑃 𝑏ℎ2 𝜎𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑃 𝑏ℎ 1 6𝑒𝑝 ℎ 𝑃 𝑏ℎ 𝜎𝑝 𝑠𝑢𝑝 1 6𝑒𝑝 ℎ 𝑃 𝜎𝑝 𝑠𝑢𝑝𝑏ℎ 1 6𝑒𝑝 ℎ 𝑃 𝜎𝑝 𝑠𝑢𝑝𝑏ℎ 1 6𝑒𝑝 ℎ 𝑘𝑁 𝑐𝑚2 𝑐𝑚𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑐𝑚 𝑘𝑁 𝑃 13310030 1 612 30 11735𝑘𝑁