Integrais de Superfície e Teorema de Stokes em Campos Vetoriais

TAREFA 3 VETORIAL 1 Dê uma interpretação física da integral de superfície de um campo vetorial de preferência a do fluxo de F através de S 2 Calcule os seguintes integrais de superfície de função escalares a x²y²dy onde S é a esfera x²y²z²a² a0 R 8πa⁴3 b xyzdy onde S é o Δ de vértices 100 010 e 001 R V3120 c Fmdy com Fxyzxyz² e S é a superfície do cilindro x1²y1²1 entre os planos z0 e z4 com vetor normal apontando para fora de S DICA Parametrize por meio de coordenadas cilíndricas R 8π 3 Calcule Fmdy onde a Fxyzyzxz e S é a superfície do sólido W onde Wxyzℝ³x²y²z1 com vetor normal exterior R 0 Fxyzx²xy2xz através da superfície Sxyzℝ³x²z²2ty 0y1 referente a normal n como segunda componente negativa R 8π Fxyzyxz e S soa referindose do plano 15x3yz15 que estamos no 1º octante Calcule também área de S R 452 e 2592 ua Calcule Fm dy onde Fxyzyzxzxy² e S é a superfície de revolução obtida girandose o segmento de reta que liga os pontos 101 e 003 em torno do eixo z onde o vetor normal n tem componente z não negativa R π2 6 Uso Teorema de Stokes para mostrar que a C ydx zdy xdz 2π2 onde C é a curva definida como interseção do plano xy2 com a esfera x²y²z²2xy b C 3yzdx x4ydy 2xydz 32πa²4 onde C é a curva definida como interseção da esfera x²y²z²a² com o plano yza c C yzdx zxdy xydz 0 onde C é a interseção do plano yz com o cilindro x²y²2y 7 Calcule rot FndS onde Fxyz 2xy 0 xz e S é a superfície sob o elipsoide x²4 y²9 z²16 1 R 0 8 Calcule rot FndS onde Fxyz xx²z³ y³z²y x²yxz e S é qualquer superfície cuja borda é uma curva fechada no plano xy R 0 9 Considere a superfície S xyz ℝ³ z x²y² 2z calcule a a área de S b o fluxo de rot F onde Fx y z x1x2y2z2 y1x2y2z2 z1x2y2z2 atrás do segundo a normal m com a 3ª componente negativa R a π6 1717 1 b 0 10 Usei o Teorema de Stokes para calcular a integral de Fx y z x2y2 y2 z2 sobre a fronteira de ΔS de vértices 000 020 e 002 percorrida no sentido positivo quando vista do cima R 103 11 calcule Fmds onde Fxyz xyx1 e é a projeção do plano xyz0 situado no interior da a Mostreque o fluxo do rotacional de Fxyzy2x2z3 através de S1 segundo m igual ao fluxo de not F através de S1 segundo m DICA Teorema de Stokes invertido b Calcule o fluxo de F através de S1 segundo m usando o Teorema de Gauss R 32π 1 Calcule FdS onde S a Fxyzx3y3z3 e S só a esfera x2y2z21 usando o Teorema de Gauss R 12π5 b Fxyzxyy2z2 e S é a superfície do sólido que fica entre os cilindros x2y21 x2y24 e limitada pelos planos z1 e z3 R 27π 1 Use o Teorema da Divergência para calcular FdS aqui o fluxo de F ao longo de S onde Fxyzyz2y2xy S é a superfície do sólido limitada pelo cilindro x2y29 e os planos z0 e zy3 R 81π2