Lista 2 - Análise Vetorial 2021-2

2» Universidade do Estado do Rio de Janeiro oes Instituto de Matematica e Estatistica % uns & Disciplina: Andlise Vetorial % eM ge Professora: Rosiane Soares Cesar 2? Lista de Exercicios (1) Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma particula que se move ao longo das curvas de equacoes dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo: (a) a(t) = (e' cost, e' sent), 0<t<2. (b) a(t) = (a(cost + tsent) ,a (sent — tcost)), O<t<2n. (c) a(t) = (sent, t, 1 — cost), O<t<2n. (d) a(t) = (t, 30, 6t3), 0<t<2. (e) a(t) = (t, In (sect) , In (sect + tant)), O<t< fF. (f) a(t) = (acos*t, asen’ t), O<t<F. ncontre o comprimento da curva C= C) * C2, onde 2) E t imento d C=C, *C d C, = {(z,y) € RB’; y=, 0<a<1} e Cz = {(x,y) € RB’; Qy+ux2=3, l<a<3h. alcule os comprimentos da curva C’, onde 3) Calcul imentos d C, ond a =4(v,y) € ; i +y =a’, «= OF. (a) C={(e,y) @R2; 2 +y2=e2, w > 0} (b) C={(2,y) €R?; 7? +y=a@, r>0, y> O}. alcule s, onde (4) Calcul | fd d C (a) f(x,y) =x+yeC éa fronteira do triangulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). (b) f(x,y) = 2? —y? e C é a circunferéncia x? + y? = 4. (c) f(x,y) = y? eC parametrizado por a(t) = (t—sent, 1—cost), O<t<2rn. (d) f(x,y, z) = eY* e C parametrizado por a(t) = (1, 2,1”), O0<t<l. (e) f(x,y, z) = yz e C é0 segmento que vai de (0,0,0) para (1,3, 2). eseja-se construir uma peca de zinco que tem a forma da superficie do cilindro 5) Desej trui de zi t f d ficie do cilind x? +y’ = 4, compreendida entre os planos z = 0e r+y+z= 2, z >0. Seo preco do metro quadrado do zinco custa M reais, calcule 0 preco total da pega. (6) Determine | x’yzds, onde C é a parte da retax +y+2z=1, y = z situada no C primeiro octante. 1 (7) | (x + y) ds, onde C = 1M P, onde zm é 0 semiplano e P é 0 paraboldide definidos por mt = {x=y, y>O} P= { (x,y, Z) ER?, z=a2?4+y?, z< 2} (8) Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma fungao potencial (a) F (x,y) = (2xy? — y°, 2x°y — 3xy? + 2) (b) F(x, y, z) = (ze” + e”, xe’ — e*, —ye* + e*) (c) F(2,y,z) = (Qr cosy — 3, —x? sen y — 27, —2yz + 2) (9) Calcule | F.dr, onde C (a) F(x, y) = (a? — 2ry, y? — 2xy) e C: y = x? que vai de (—2,4) a (1,1). Xv ¥Y . . b) F(z,y) = | ————., ——{—-. e C:: x? +: ? = a? percorrida no sentido (b) F(e,y) ( a | antihorario. (c) F(x, y) = (y + 3x,2y — x) e a elipse C : 4x? + y? = 4 percorrida no sentido antihorario. (d) F(a,y) = (2? + y’,2?—y’)eC:y=1-|1—2| que vai de (0,0) a (2,0). (e) F(x, y, z) = (x,y, xz — y) e Co segmento que vai de (0,0,0) para (1, 2, 4). (f) F(x, y, 2) = (yz, xz,x2(y+1)) eC a fronteira do triangulo de vértices (0,0, 0), (1,1, 1) e (—1,1, —1) percorridas nesta ordem. (10) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forgas F(x, y) = (x? —y?, 2xy) ao mover uma particula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = ae y =a (a > 0) no sentido antihorario. (11) Considerando 0 campo vetorial: F (a2,y,2z) = (2re""*4 sen (2x +2) + 2e” +Y cos (2x + z), e” *Y sen (2x 4+ z), e* + cos (2a + z) + 22) (a) Mostre que F’ é conservativo e calcule uma fungao potencial. (b) Calcule | F.dr, onde C' é qualquer curva de classe C'® que vai de A = (0,1, 7) C nm 1 B=("7,-“,0). non B= (5,-.0) (12) Calcule: (a) | y’ dx — x dy, onde C é acurva y? = 4x desde (0,0) até (1,2) C (b) | x’ydx — x? dy, onde C é a fronteira da regido limitada pelas pardbolas C y? = xe x* =y orientada no sentido anti-horario. 2 (c) | (Qry° — y’ cos x) da+ (1 — 2ysenx + 3a7y") dy, onde C' é 0 arco da parabola C 22 = Ty”, de P, = (0,0) a Py = (5. 1) (d) | (206" sen u) dx + (* cos u) dy, onde C' é 0 arco de parabola y = TY C 2 que vai do ponto (0,0) ao ponto (1. ) RESPOSTAS: 1) (a) V2(e?—1). (b) 2n?a. = (c) 2V27.— (d) 50. (e) V2 In (V2 + 1). (f) 3a 2) V2+ V5. 3) (a) ma. (b) 5a. 4) (a)1+ V2. (b)0. (c) 2. (d) 2. (e) 2V14. 5) (8+ 67) M V6 6) OG 13/2 7) a 8) (a) O(a, y) =2*y? — ty’ + 2y +e (b) @(x,y, z) = ze” + re¥ — ye* +¢ (c) d(2,y,2z) =x? cosy — y2* — 324+ 2z4+¢ 9) (a) — 30 (b) 0. (c) —4m. (d) :. (e) 3. (f) 0. 10) 2a°. 11) (a) f(x,y, 2) =e” *Y sen(2Qx + z) + 2. (b) 1 — 7. 4 12 7 Mas, We WD We 3