Quadro - Campos Escalares - Análise Vetorial 2021-2

Campo Escalares. f: Ω ⊂ R^n → R uma função que a cada vetor de Ω associa um número real. Ex: f : R^2 → R f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} = ||(x, y)|| comprimento de (x, y) Ex: g : R^2 \ {(0, 0)} → R g(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2} Ex: h : R^3 → R h(x, y, z) = xyz + \cos{x} Obs: Notemos que um campo escalar é uma função de várias variáveis. Limites Dado um campo escalar f : Ω ⊂ R^n → R podemos pensar f como uma função de várias variáveis, logo podemos definir naturalmente . Lim x → a f(x) x, a ∈ R^n Ex: Lim (x, y) → (0, 0) \frac{x + y}{1 + x^4 + y^4} = 0 Ex: Lim (x, y) → (0, 0) \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0 x ≤ \sqrt{x^2 + y^2} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} ≤ 1 Ex: Lim (x, y) → (0, 0) \frac{1}{x \cdot y} ≠ x = y x = -y Continuidade: Seja g : Ω ⊂ R^n → R um campo escalar dizemos que g é contínua em P ∈ R^n se: Lim x → P g(x) = g(P). Obs: Como no caso de limite, na continuidade podemos utilizar todas as ferramentas do cálculo. Conjuntos de Nível. Seja f: Ω⊂ℝ^n→ℝ um campo escalar, definimos o conjunto de nível de f no nível c ∈ℝ: f⁻¹(c) = {(x₁,x₂,⋯,xₙ)∈Ω / f(x₁,x₂,⋯,xₙ)=c}. Ex: f: ℝ²→ℝ f(x,y) = x²+y². Dado c∈ℝ f⁻¹(c) = {(x,y)∈ℝ² / f(x,y)=c} = {(x,y)∈ℝ² / x²+y²=c} • c<0 ⇒ f⁻¹(c) = ∅ • c=0 ⇒ f⁻¹(0) = {(x,y)∈ℝ²/ x²+y²=0} = {(0,0)} • c>0 ⇒ f⁻¹(c) = {(x,y)∈ℝ²/ x²+y²=(√c)²} → circunferência com o centro em (0,0) e raio √c Ex: f(x,y) = y/x² f: Ω → ℝ, Ω = {(x,y)∈ℝ² / x≠0}. c=0 f⁻¹(0) = {(x,y)∈Ω / f(x,y)=0} = {(x,y)∈Ω / y = 0} c=1 f⁻¹(1) = {(x,y)∈Ω / f(x,y)=1} = {(x,y)∈Ω / y = x²} c=2 f⁻¹(2) = {(x,y)∈Ω / y = 2x²} c=-1 f⁻¹(-1) = {(x,y)∈Ω / y = -x²} c∈ℝ f⁻¹(c) = {(x,y)∈Ω / y = c⋅x²} Ex: f(x,y) = 3x/y c∈ℝ f: Ω → ℝ Ω = {(x,y)∈ℝ² / y≠0} f⁻¹(c) = {(x,y)∈Ω / f(x,y)=c} = {(x,y)∈Ω / 3x/y = c} = {(x,y)∈Ω / 3x = c⋅y} y = 3/c ⋅ x Ex f(x,y,z)=x^2+y^2 f: R^3 -> R c ∈ R f^{-1}(c) = {(x,y,z) ∈ R^3 / x^2+y^2 = c} • c < 0 f^{-1}(c) = ∅ • c = 0 f^{-1}(0) = {(x,y,z) ∈ R^3 / x^2+y^2 = 0} = {(0,0,z) ∈ R^3} • c > 0 f^{-1}(c) = {(x,y,z) ∈ R^3 / x^2+y^2 = √c^2} c = 1 f^{-1}(1) = {(x,y,z) ∈ R^3 / x^2+y^2 = 1} f^{-1}(c) = {(x,y,z) ∈ R^3 / x^2+y^2 = 5c} Ex h(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2} h: R^3 -> R c ∈ R => h^{-1}(c) = {(x,y,z)∈R^3 / e^{x^2+y^2+z^2} = c} c ≤ 0 => h^{-1}(c) = ∅ c > 0 h^{-1}(c) = {(x,y,z)∈R^3 / e^{x^2+y^2+z^2} = c} e^{x^2+y^2+z^2} = c x^2+y^2+z^2 = ln c h^{-1}(c) = ∅ • c < 1 => h^{-1}(c) = ∅ • c = 1 => h^{-1}(1) = {(x,y,z)∈R^3 / x^2+y^2+z^2 = ln 1 = 0} = {(0,0,0)} • c > 1 => h^{-1}(c) = {(x,y,z)∈R^3 / x^2+y^2+z^2 = ln c} esfera com centro na origem e raio √ln c Obs (Notação) • n = 2 os conjuntos de nivel são ditos curvas de nivel • n = 3 superficies de nivel. Obs: Os conjuntos de nivel não tem interseção. f: Ω⊂R^n -> R, sejam r,s∈R r ≠ s . então: f^{-1}(r) ∩ f^{-1}(s) = ∅ se p∈f^{-1}(r) ∩ f^{-1}(s) => p∈f^{-1}(r) e p∈f^{-1}(s) => f(p) = r f(p) = s => r = s impossível. f(x, y) = x^2 + y^2 f: R^2 -> R z = c Ex: f(x, y) = x^2 + y^2 f(x, y) = y/x^2 f(x, y) = 3x/y f(x, y, z) = x^2 + y^2 No exemplo da aula passada vamos utilizar o GeoGebra para esbocar as curvas de Nível. f^-1(c) = { (x, y) ∈ Ω / f(x, y) = c } Seja f: Ω ⊂ R^n -> R um campo escalar, como já falamos anteriormente pensamos f como uma função de várias variáveis. Logo naturalmente podemos calcular as derivadas parciais de f. ∂f/∂x_1, ∂f/∂x_2, ..., ∂f/∂x_n Lembrar: Def: ∀ a ∈ Ω, ∂f/∂x_i (a) = lim (h -> 0) [f(a + h*e_i) - f(a)] / h = lim (h -> 0) [f(a_1, a_2, ..., a_i + h, a_{i+1}, ..., a_n) - f(a)] / h f(x,y,z) = xz + x^2 cos y + z sen x \frac{\partial f}{\partial x} = yz + 2x \cos y + z \cos x. \frac{\partial f}{\partial y} = xz - x^2 \sen y \frac{\partial f}{\partial z} = xy + \sen x \{ \frac{\partial f}{\partial x} = D_{e_1}f \quad e_1=(1,0,0) Derivada direcional f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} Seja \; \vec{u} \in \mathbb{R}^n \;?> um vetor unitario \; (\ ||\vec{u}||=1) D_{\vec{u}} f(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f ( a + h \; \vec{u}) - f(a)}{h} \vdots \neq 0 \Rightarrow \vec{u} = \frac{v}{||v||} D_{\vec{u}} f(a) Funções diferenciaveis f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} é diferenciavel em a \in \Omega \; se \; existe \; uma \; T:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \; t. linear \; talque Se v \epsilon \mathbb{R}^n, v\epsilon \Omega \quad f(a + v) = f(a) + T\cdot v + r(v) \quad talque \; \quad \lim_{v \to 0} \frac{r(v)}{||v||} = o Obs: Se \; f \; é \; diferenciavel \; em \; a \in \Omega \Rightarrow D_{v_{\omega}}f(a)\; existem. Teorema: \; Seja \; f: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \; um \; campo \; escalar \; diferenciavel em a \in \Omega. \; Então \; D_{\vec{u}} f(a) \exists \; para \; qualquer \; \vec{u} \in \mathbb{R}^n \; unitario e \; além \; disso: D_{\vec{u}} f(a) = u_1 \cdot \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) + u_2 \cdot \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) + \cdots + u_n \cdot \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \vec{u} \cdot \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right) f: Ω ⊂ ℝ^n → ℝ uma campo escalar diferencial. grad(f)(p) = ▽f(p) = ( ∂f/∂x₁(p), ∂f/∂x₂(p), ..., ∂f/∂xₙ(p) ) [Rectangle] Dᵤf(p) = grad(f)(p) • u f: Ω ⊂ ℝ^2 → ℝ um campo escalar C¹ (as derivadas parciais não funções continua). grafico f = { (x,y,f(x,y)) ∈ ℝ^3 / (x,y) ∈ Ω } ---------------- \ \ | | | \ \ | | | \ \ | \ \ | \ S C z = c f⁻¹(c) = { } (x,y) ∈ Ω / f(x,y)= c { Supondo que podem parametrizar a curva S i.e. α : I → ℝ² / α é uma "Im α = S " α(t) = (x(t),y(t)) α(t₀) = Q. α'(t₀) é o vetor tangente à S no ponto Q. f(α(t)) = c, ∀ t ∈ I [ f(α(t)) ]' = 0 grad f(α(t)) • α'(t) = 0 grad f(Q) • α'(t₀) = 0 ∴ grad f(Q) é ortogonal ao conjunto de nível f⁻¹(c), Q ∈ f⁻¹(c) Campo Vetorias Um campo vetorial é uma função F: Ω ⊂ ℝⁿ → ℝⁿ que associa a cada vetor x∈Ω um vetor F(x) ∈ ℝⁿ Ex: F: ℝ² → ℝ², F(x,y) = (1,0) F(0,0) = (1,0) • (3,1) • ⇨ ⇨ ⇨ ⇨ "Representamor o campo F: om x o vela F(x) parindo deo x" Ex Ex Campo Radial. F(x,y) = (x,y). F(1,1) = (1,1) p f(p) F(p) Ex G: R^2 -> R^2 G(x,y) = (-y,x) G(1,0) = (0,1) G(0,1) = (-1,0) G(-1,0) = (0,-1) G(0,-1) = (1,0) (𝑥,𝑦) ⊥ (-𝑦,𝑥) Ex F: R^2 \ {0,0} \rightarrow R^2 F(x,y) = \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) F(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x,y) = \frac{1}{\| (x,y) \|} \cdot (x,y). Def: Seja F: Ω⊂R^n → R^n um campo vetorial, F(p) = (F1(p),F2(p),...,Fn(p)), onde Fi: Ω → R são funções do "n" variáveis. Dizemos que o campo é contínuo quando cada um dos Fi é uma função contínua. Def: Um campo vetorial F: Ω⊂R^n→R^n é dito campo conservativo, quando existe f: Ω→R campo escalar diferenciável tal que: F = grad(f). A função f: Ω→R é chamada função Potencial de F. Ex: F: R^2 → R^2, F(x,y) = (x,y) é um campo conservativo? Sim. Podemos achar f: R^2 → R tal que F = grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) f = ? { ∂f/∂x = x ⇒ ∫x = x^2/2 ∂f/∂y = y ⇒ ∂f/∂y = A'(y) A'(y) = y ⇒ A(y) = y^2/2 + C ∴ f(x,y) = x^2/2 + y^2/2 + C grad f = F Ex: G(x,y) = (y,x) G: R^2 → R G é um campo conservativo? Estamos procurando g: R^2 → R tal que grad(g) = G G = ? { ∂g/∂x = y ∂g/∂y = x f (x,y) = yx + A(y) ∂g/∂y: x + A'(y) = x ⇒ A'(y) = 0 ⇒ A(y) = c ∴ g(x,y) = xy + c grad(g) = (y, x) = G. → G é conservativo e uma função potencial é g(x,y) = xy + c Campos Conservativos F: Ω⊂R^n → R^n é conservativo quando podemos achar f : Ω → R campo escalar diferenciável tal que F = grad(f). "f" é chamada função potencial de F. Ex: F: R^2 → R^2, F(x,y) = (1 + y e^xy, 2y + x e^xy) F é um campo conservativo? f : R^2 → R tal que F = grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) f = ? { ∂f/∂x = 1 + y e^xy ⇒ f(x,y) = x + e^xy + C(y) ← ∫y e^xydx = y·e^xy/y ∂f/∂y = 2y + x e^xy ⇒ 0 + x e^xy + C'(y) = 2y + x e^xy ⇒ C'(y) = 2y C(y) = y^2 + k ∴ f(x,y) = x + e^xy + y^2 + k F é conservativo e f é a função potencial grad f = (1+y e^xy, x e^xy + 2y) Ex: G: R^2 -> R^2 G(x,y) = (e^x cos y , e^x sen y) G é conservativo? NÃO. g: R^2 -> R \\ talque \\ G = grad(g) { ∂g/∂x = e^x cos y ∂g/∂y = e^x sen y } g(x,y) = e^x cos y + A(y) -e^x sen y + A'(y) = e^x sen y A'(y) = 2e^x sen y ∫ e^x cos y dx = cos y ∫ e^x dx = cos y e^x + A(y) A'(y) é uma função que depende somente de "y" Portanto não podemos achar tal "g" e logo G não é conservativo. Ex: \overrightarrow{F}: R^2 -> R^3 \overrightarrow{F}(x,y,z) = (yz, xz, xy + z^2) \overrightarrow{F} é conservativo? Achar f: R^3 -> R dif. \talque \overrightarrow{F} = grad(f) = \nabla f = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z ) { ∂f/∂x = yz ∂f/∂y = xz ∂f/∂z = xy + 2z } f(x,y,z) = xyz + A(y,z) = xyz + B(z) ... (1) xz + ∂A/∂y = ∂f/∂y = xz \Rightarrow ∂A/∂y = 0 \Rightarrow A(y,z) = B(z) xy + B'(z) = ∂f/∂z = xy + 2z \Rightarrow B'(z) = 2z Substituindo em 1: f(x,y,z) = xyz + z^2 + c ∴ \overrightarrow{F} é um campo conservativo, f(x,y,z) = xyz + z^2 + c é a função potencial. Ex: \overrightarrow{H}: R^3 -> R^2 \overrightarrow{H}(x,y,z) = (e^z, 2yz, xe^z + y^2) H é um campo conservativo? Achar h: R^3 -> R \talque \overrightarrow{H} = grad(h) = ( ∂h/∂x, ∂h/∂y, ∂h/∂z ) { ∂h/∂x = e^z ∂h/∂y = 2yz ∂h/∂z = xe^z + y^2 } h(x,y,z) = xe^z + A(y,z) ... (1) ∂A/∂y = ∂h/∂y = 2yz \Rightarrow ∂A/∂y = 2yz ⇒ A(y,z) = y^2 z + B(z) h(x,y,z) = xe^z + y^2 z + B(z) xe^z + y^2 + B'(z) = ∂h/∂z = xe^z + y^2 ⇒ B'(z) = 0 ⇒ B(z) = c = kte. ∴ h(x,y,z) = xe^z + y^2 z + c \overrightarrow{H} é conservativo e \overrightarrow{H} = grad(h) 𝒲 = F·d. ∫ F·dδ = ∫ F·dβ F conservativo Integral de Linha Seja \( \vec{F}: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \) um campo vetorial. \( \mathcal{F}(x_1, x_2, ... , x_n) = \left( F_1(x_1, x_2, ... , x_n), F_2(x_1, x_2, ... , x_n), ... , F_n(x_1, x_2, ... , x_n) \right) \) \( F_i: \Omega \to \mathbb{R} \) um campo escalar , \(i = 1 , ... , n\) Podemos definir: \( \lim_{{x \to p}} \mathcal{F}(x) = \left( \lim_{{x \to p}} F_1(x) , \lim_{{x \to p}} F_2(x) , ... , \lim_{{x \to p}} F_n(x) \right) \) \( p \in \Omega , \quad F \text{ contínua em } p \text{ quando} \) \( \lim_{{X \to p}} F(X) = F(p) \) F = (F_1, F_2, ... , F_n) \(\frac{\partial F}{\partial x_1} = \left(\frac{\partial F_1}{\partial x_1}, \frac{\partial F_2}{\partial x_1}, ... , \frac{\partial F_n}{\partial x_1}\right)\) \(\frac{\partial F}{\partial x_2} = \left(\frac{\partial F_1}{\partial x_2}, \frac{\partial F_2}{\partial x_2}, ... , \frac{\partial F_n}{\partial x_2}\right)\) \(...\) \(\frac{\partial F}{\partial x_i} = \left(\frac{\partial F_1}{\partial x_i}, \frac{\partial F_2}{\partial x_i}, ... , \frac{\partial F_n}{\partial x_i}\right)\) Ex: \( G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) \( G(x, y) = \left(e^x\cos{y}, \ e^x\sin{y}\right)\) \(\frac{\partial G}{\partial x} = \left(e^x\cos{y}, \ e^x\sin{y}\right)\) \(\frac{\partial G}{\partial y} = \left(-e^x\sin{y}, \ e^x\cos{y}\right)\) Ex: \vec{H} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \quad \vec{H}(x,y,z) = (e^z,\ 2yz,\ xe^z + y^z) \frac{\partial \vec{H}}{\partial x} = (0, 0, e^z) \frac{\partial \vec{H}}{\partial y} = (0, 2z, 2y) \frac{\partial \vec{H}}{\partial z} = (e^z, 2y, xe^z) \frac{\partial \vec{H}}{\partial x} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \vec{H}}{\partial x}\right) = (0, 0, 0) \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\partial \vec{H}}{\partial x}\right) = (0, 0, e^z) \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial z \partial x} 7. Escreva as equações da reta tangente e da reta normal à curva \sigma(t) = (t, 1 - t^2, 1) no ponto (0, 1, 1) Operadores. Operador Gradiente: Seja f : \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} um campo escalar diferenciável. definimos o operador gradiente de f: grad f (p) = \nabla f (p) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(p), \frac{\partial f}{\partial x_2}(p), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(p) \right) grad (f) : \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \quad é um campo vetorial Campos escalares Campos vetoriais