Lista 1 - Análise Vetorial 2021-2

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ANÁLISE VETORIAL 1ra. Lista de Exercícios Prof. Claudio Plínio 1. Determine o dominio das funções vetoriais. a) r(t) = (t^2, \sqrt{t - 1}, \sqrt{5 - t}) b) r(t) = \left(\ln t, \frac{t}{t - 1}, e^{-t}\right) 2. Calcule os limites: a) \lim_{t \to 0^+} (\cos t, \sin t, t \ln t). b) \lim_{t \to 0} \left(\frac{e^t - 1}{t}, \sqrt{1 + t} - 1, \frac{e}{t + 1}\right). c) \lim_{t \to 1} \left(\sqrt{t + 3} \, i + \frac{t - 1}{t^2 - 1} \, j + \frac{\tan t}{t} \, k\right) 3. Determine r(t), se r'(t) = (\sin t, \cos t, 2t) e r(0) = (1, 1, 2) 4. Para cada um dos itens abaixo determine o dominio de r(t) (\text{Dom } r), r'(t) e r''(t). a) r(t) = (\sqrt{t - 1}, \sqrt{2 - t}) . b) r(t) = \left(\frac{1}{t^2}, \sin(2 - t)\right) . c) r(t) = (\sqrt{t}, e^t, t). d) r(t) = (\ln (1 - t), \sin t, t^2). e) r(t) = (t^2, \tan t, 3). 5. Se u(t) = (1, 2t^2, 3t^3) e v(t) = (t, \cos t, \sin t), determine \frac{d}{dt} [u \cdot v] e \frac{d}{dt} [u \times v]. 7. Escreva as equações da reta tangente e da reta normal à curva \sigma(t) = (t, 1 - t^2, 1) no ponto (0, 1, 1) 8. Seja \alpha : ]0, 2[ \to \mathbb{R}^3 a curva parametrizada \alpha(t) = \left(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, 1\right) Mostre que o angulo entre \alpha(t) e \alpha'(t) é constante, isto é, independe de t. 9. Um haste presa na origem do plano xy, ocupa a posição da reta que faz um angulo de \theta radianos com o eixo positivo dos x. A haste intercepta a reta y = 2a no ponto A e a circunferencia x^2 + (y - a)^2 = a^2 no ponto B. Quando \theta varia, o vertice P do triângulo APQ descreve uma curva chamada a Curva de Agnesi. a) Mostre que \sigma(\theta) = (2a \cdot \cotan \theta, 2a \cdot \sin^2 \theta), 0 < \theta < \pi, é uma parametrização da curva de Agnesi. b) Esboce a curva. c) Determine a equação cartesiana. Gabarito Lista 2 1. a) \alpha(t) = \left(t, \frac{2t - 3}{5}\right), t \in \mathbb{R} b) \alpha(t) = \left(t, \frac{2t^2}{3a}\right), t \in \mathbb{R} c) \alpha(t) = (h + r \cos t, k + r \sin t), t \in [0, 2\pi] d) Feito na aula. e) \alpha(t) = (3t + 1, 5t, 2t + 4), t \in \mathbb{R} 2. a) y = 2x b) y = x + 1 c) x^2 + y^2 = 1 d) Feito na aula. e) 2y^2 = 1 - x 3. \sigma(t) = \left(\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}, t + \frac{\sin(2t)}{2}\right) 4. Feito na aula. 5. Feito na aula. 6. Feito na aula. 7. Reta Tangente: L : (0, 1, 1) + s (1, 0, 0), s \in \mathbb{R}. Reta Normal: Não possui reta Normal. 8. Dica: Utilize a fórmula: \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \, ||\vec{v}||} onde \theta = \angle_{\vec{u}, \vec{v}} Verifique que \alpha e \alpha' possuem o mesmo angulo para qualquer t. 9. a) b) c) y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2} UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ANÁLISE VETORIAL 3ra Lista de Exercícios Prof. Claudio Plínio 1. Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso. a) r(t) = (a(1 - \cos t), a(t - \sin t)), 0 \leq t \leq 2\pi, a > 0. b) r(t) = (e^t \cos t, e^t \sin t), 0 \leq t \leq 2. c) r(t) = a(\cos t + \sin t)\vec{\imath} + a(\sin t - \cos t)\vec{\jmath}, 0 \leq t \leq 2\pi, a > 0. d) r(t) = a(\sinh t - t)\vec{\imath} + a(\cosh t - 1)\vec{\jmath}, 0 \leq t \leq T, a > 0. e) r(t) = \sin t\vec{\imath} + t\vec{\jmath} + (1 - \cos t)\vec{k}, 0 \leq t \leq 2\pi. f) r(t) = t\vec{\imath} + 3t^2\vec{\jmath} + 6t^3\vec{k}, 0 \leq t \leq 2. g) r(t) = t\vec{\imath} + \ln(\sec t)\vec{\jmath} + \ln(\sec t + \tan t)\vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}. h) r(t) = a \cos \omega t\,\vec{\imath} + a \sin \omega t\,\vec{\jmath} + b \omega t\,\vec{k}, 0 \leq t \leq 2\pi e \omega > 0. i) r(t) = t\vec{\imath} + t\vec{\jmath} + \left(\frac{t^3}{6} + \frac{1}{2t}\right)\vec{k}, 1 \leq t \leq 3. j) r(t) = \left(\frac{t^2}{2} + t\right)\vec{\imath} + \left(\frac{t^2}{2} - t\right)\vec{\jmath} + \frac{\sqrt{2}}{2} \ln t \vec{k}, 1 \leq t \leq 2. k) r(t) = \int_1^t \frac{\cos u}{\sqrt{2u}} \, du\, \vec{\imath} + \int_1^t \frac{\sin u}{\sqrt{2u}} \, du\, \vec{\jmath} + 4\sqrt{t}\vec{k}, 1 \leq t \leq 4. l) r(t) = \int_0^t 2 \cos(\pi u^2) \, du\, \vec{\imath} + \int_0^t 2 \sin(\pi u^2) \, du\, \vec{\jmath} + 3\sqrt{5t}\vec{k}, 1 \leq t \leq \pi. 2. A equação de uma curva é y^2 = x^3. Encontre o comprimento do arco que liga os pontos (1, -1) a (1, 1). 3. Dois pontos A e B sobre um circulo unitario de centro O determinam em ele um setor circular AOB. Prove que o comprimento de arco AB é igual a duas vezes a area do sector. 4. Estabelecer integrais para os comprimentos das curvas cujas equações são a) y = e^x, 0 \leq x \leq 1. b) x = t + \ln t, y = t - \ln t, 1 \leq t \leq e. Provar que o segundo comprimento é o produto do primer comprimento vezes \sqrt{2}. 5. a) Estabelecer a integral que da o comprimento da curva y = \cosh \left( \frac{x}{c} \right) desde x = 0 até x = a, onde a > 0 e c > 0. b) Prove que o produto do comprimento de esta curva vezes c é igual a area da região limitada por y = c \cosh \left( \frac{x}{c} \right), o eixo X, o eixo Y e a reta x = a. c) Calcule esta integral e encontre o comprimento da curva quando a = 2. 6. Demonstrar que o comprimento da curva y = \cosh x que une os pontos (0,1) e (a, \cosh a) é sinh a se a > 0. 7. Utilizando a equação vetorial r(t) = a\sen t\,\vec{\imath} + b\cos t\,\vec{\jmath} onde 0 < b < a, provar que o comprimento L de uma elipse esta dada pela integral L = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-e^2 \sen^2 t}\, dt, onde e = \sqrt{a^2-b^2}/a. O numero e é a excentricidade da elipse. Este é um caso particular de uma integral da forma: E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-k^2 \sen^2 t}\, dt chamada integral elíptica de segunda classe, onde 0 \leq k < 1. Os numeros E(k) estão tabulados para varios valores de k. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ANÁLISE VETORIAL 4ta. Lista de Exercícios Prof. Claudio Plinio 1. Seja o campo escalar Φ(x, y, z) = xy² + yz³. Determine a derivada direcional no ponto (0, 1, 2), na orientação do vetor \( \frac{\vec{u}}{||\vec{u}||} \) onde \( \vec{u} = (1, 2, 1) \). 2. Dado o campo escalar Φ(x, y, z) = xyz² − 4, obter o vetor unitario normal à superfície de nível Φ(x, y, z) = 0 no ponto (1, 1, 2). 3. Seja a função r, a distancia de um ponto (x, y, z) à origem (0, 0, 0). Determinar o gradiente desta função. 4. Dada a função f(x, y) = \( \frac{1}{x² + y²} \), pede-se: a) As curvas de nível. b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto (0, 2). c) Um esboço do gráfico da função. 5. Seja f(x, y) = \( \sqrt{\frac{24 - 6x² - 2y²}{3}} \) a) Determine o dominio da função f, e esboce o seu grafico. b) Encontre a curva de nível C da função f que contém o ponto P = \( \left( \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right) \). c) Calcule o comprimento da reta tangente a curva C no ponto P compreendida entre os eixos coordenados. 6. A temperatura de um ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z) = exp(−x² − 2y² + 3z²) graus. Identifique a superfície de R³ cujos pontos possuem temperatura igual à temperatura do ponto (−1, −1, 1). 7. Represente geometricamente o campo vetorial dado. a) \( \vec{V}(x, y) = (0, x²). \) b) \( \vec{h}(x, y) = (1, 2). \) c) \( \vec{F}(x, y) = (−y, x). \) d) \( \vec{\tilde{V}}(x, y) = \left( \frac{x}{\sqrt{x² + y²}}, \frac{y}{\sqrt{x² + y²}} \right). \) e) \( \vec{\tilde{h}}(x, y) = \left( \frac{-y}{\sqrt{x² + y²}}, \frac{x}{\sqrt{x² + y²}} \right). \) 8. Seja \( \vec{F} = \nabla f \), desenhe \( \vec{F} \) no conjunto A, onde: a) f(x, y) = x − 2y e o conjunto A é x + 2y = 1. b) f(x, y) = y − x² e o conjunto A é y − x². c) f(x, y, z) = x² + y² + z² e o conjunto A é x² + y² + z², x > 0, y > 0 e z > 0. 9. Determine se os seguintes campos vetoriais são conservativos, se for determine a sua função potencial. a) \( \vec{F}(x, y, z) = (x, y, z). \) b) \( \vec{F}(x, y) = (y, x). \) c) \( \vec{F}(x, y, z) = (x − y) \hat{i} + (x + y + z) \hat{j} + z² \hat{k}. \) d) \( \vec{F}(x, y, z) = \frac{x}{(x² + y² + z²)²} \hat{i} + \frac{y}{(x² + y² + z²)²} \hat{j} + \frac{z}{(x² + y² + z²)²} \hat{k}. \) 10. Seja \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) uma função contínua e seja \( \vec{F} \) o campo vetorial central \( \vec{F}(x, y, z) = f(r) \cdot \frac{\vec{r}}{r} \), onde \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) e r = ||\vec{r}||. Prove que \( \vec{F} \) é conservativo. Dica: Verifique que grad \( \varphi = \vec{F} \) onde \( \varphi(x, y, z) = g(\sqrt{x² + y² + z²}) \) sendo g(u) uma primitiva de f(u). 11. Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial: a) \( \vec{F}(x, y) = \left( \frac{y(1 + y²)}{(1 + x² + y²)²}, \frac{x(1 + x²)}{(1 + x² + y²)²} \right). \) b) \( \vec{F}(x, y) = (\ln(y² + 1) + y³ + y, \frac{2y(x − 1)}{y² + 1} + \arctan x ). \) c) \( \vec{F}(x, y) = (\ln(y² + 1), \frac{2y(x − 1)}{y² + 1} ). \) d) \( \vec{F}(x, y, z) = (y + z, z + x, x + y). \) e) \( \vec{F}(x, y, z) = (y + z, x − z, x + y³). \) f) \( \vec{F}(x, y) = (7 + y² − 3x², \exp(y) + 2xy + 1). \) g) \( \vec{F}(x, y, z) = (\cos y + 2xy²z², −x \sin y + \exp(z) + 2y²z², y \exp(z) + 2y²x²z). \) h) Considere o campo \( \vec{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) dado por: \( \vec{F}(x, y) = (8 + y² − 3x², e^y + 2xy + ye^{−2y} ) \) Determine se \( \vec{F} \) é conservativo e encontre todas as funções potenciais associadas a \( \vec{F} \) 12. Calcule o divergente do campo vetorial dado: a) −→ν (x, y) = (−y, x). b) −→u (x, y, z) = (x, y, z). c) −→ F (x, y, z) = (x2 − y2, sin(x2 + y2), arctan z). d) −→η (x, y, z) = (0, 0, (x2 + y2 + z2) arctan(x2 + y2 + z2)). 13. Seja V (x, y) = x2 + y2. Desenhe um campo −→ F (x, y) para o qual se tenha ∇V (x, y) · −→ F (x, y) ≤ 0. 14. Sejam V e −→ F como no exerc´ıcio anterior 7 (obs. somente com a ultima propriedade ∇V (x, y) · −→ F (x, y) ≤ 0). Seja γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ I uma curva tal que, para todo t no intervalo I, γ ′(t) = −→ F (γ(t)). Prove que g(t) = V (γ(t)) ´e decrescente em I. Comclua que se γ(t0), t0 ∈ I, for um ponto da circunferencia x2 + y2 = r2, ent˜ao, para todo t ≥ t0, t ∈ I, γ(t) pertencer´a oa c´ırculo x2 + y2 ≤ r2, interprete geometricamente. 15. Calcule o rotacional: a) −→ F (x, y, z) = (−y, x, z). b) −→ F (x, y, z) = (x, x, xz). c) −→ F (x, y, z) = (yz, xz, xy). d) −→ F (x, y) = (x2 + y2, 0). e) −→ F (x, y) = (xy, −x2). 16. Seja φ : R2 → R. Verifique que o campo −→ F = ∇φ ´e irrotocional. 17. Sejam ⃗F(x, y, z) = sin x⃗i+cos y⃗j+ln z ⃗k, z > 0 e ⃗G(x, y, z) = exp(x) cos y⃗i+exp(x) sin y⃗j. Ache: a) ⃗F + ⃗G. b) ⃗F · ⃗G. c) ⃗F × ⃗G. 18. Sejam ⃗F(x, y, z) = exp(x)cosz⃗i + exp(x) sin z⃗j + ⃗k e ⃗G(x, y, z) = exp(x)cosz⃗i + exp(x) sin z⃗j + exp(2x)⃗k. a) Mostre que ⃗F e ⃗G s˜ao ortogonais para todo (x, y, z). b) Mostre que o campo vetorial ⃗F × ⃗G ´e paralelo ao plano xy. 19. Se ⃗F(⃗r) = rn · ⃗r onde ⃗r = x⃗i + y⃗j + z ⃗k e r = ∥⃗r∥. Ache div ⃗F e mostre que grad(div ⃗F) = n(n + 3)rn−2 · ⃗r 3 20. Sejam \( \vec{F}, \vec{G} : U \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dois campos vetoriais e \( \varphi : U \to \mathbb{R} \) um campo escalar. Prove que: a) \( \text{rot}(\vec{F} + \vec{G}) = \text{rot}(\vec{F}) + \text{rot}(\vec{G}). \) b) \( \text{div}(\vec{F} + \vec{G}) = \text{div}(\vec{F}) + \text{div}(\vec{G}). \) c) \( \text{div}(\varphi \vec{F}) = \varphi \text{div} \vec{F} + \text{grad} \varphi \cdot \vec{F}. \) d) \( \text{rot}(\varphi \vec{F}) = \varphi \text{rot} \vec{F} + \text{grad} \varphi \times \vec{F}. \) e) \( \text{div}(\text{rot} \vec{F}) = 0. \) f) \( \text{rot}(\text{rot} \vec{F}) = \text{grad}(\text{div} \vec{F}) − \nabla^2 \vec{F} \), onde se \( \vec{F} = (P, Q, R) \) então \( \nabla^2 \vec{F} = (\nabla^2 P, \nabla^2 Q, \nabla^2 R). \) 21. Calcule o Laplaciano da função \( \varphi \) dada: a) \( \varphi(x, y) = xy. \) b) \( \varphi(x, y) = \arctan \frac{x}{y}, \quad y > 0. \) c) \( \varphi(x, y) = \ln(x² + y²). \) d) \( \varphi(x, y) = \frac{1}{4} \exp(x² − y²) \) 22. Seja \( \varphi(x, y) = f(x² + y²), \) onde \( f(u) \) é uma função de uma variavel real que possui derivadas até segunda ordem. Suponha que \( \Delta \varphi = 0. \) a) Mostre que \( u \cdot f''(u) = −f'(u), \) para \( u > 0. \) b) Determine uma \( f \) não constante, para que se tenha \( \Delta \varphi = 0. \) 23. Sejam \( \vec{F} \) e \( \vec{G} \) dois campos vetoriais definidos em aberto \( \Omega \subset \mathbb{R}^3 \) cujas componentes admitem derivadas parciais em \( \Omega, \) prove que \( \text{div}(\vec{F} \times \vec{G}) = \vec{G} \cdot \text{rot}(\vec{F}) − \vec{F} \cdot \text{rot}(\vec{G}) \) 24. Seja \( \varphi(x, y) = f \left( \frac{x}{y} \right), \quad y > 0, \) onde \( f(u) \) é uma função de uma variavel derivável até segunda ordem. Suponha \( \Delta \varphi = 0. a) Mostre que \( (1 + u²) \cdot f''(u) + 2u \cdot f'(u) = 0. \) b) Determine uma \( f \) não constante, para que se tenha \( \Delta \varphi = 0. \)