Prova de Álgebra Linear 2

Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E Justifique sua resposta a W xyz R3 x z2 onde E R3 b W a b c d M2 a b c d 0 onde E M2 2 30 pontos Seja S 3a 4b 4c 2a 4b 6c 2a 4b 2c a b c R um subespaço de R3 a Determine um conjunto de geradores para S b Determine uma base para S 3 10 pontos Encontre uma transformação linear T R2 R3 tal que o vetor 12 pertence ao núcleo de T e vetor 123 pertença a imagem de T 4 40 pontos Se T R3 R2 é uma transformação linear tal que T111 06 T101 21 e T121 03 Observem que os vetores 111 101 121 formam uma base ortogonal de R3 a Encontrar a expressão de Txyz b Determinar ImT imagem de T e uma base para esse subespaço c Determinar NT núcleo de T e uma base para esse subespaço d T é injetora T é sobrejetora Justifique Não é pois não é fechado pela soma Para ser base não podemos ter vetores linearmente depen dentes entre si nos geradores Vemos que o vetor 322 é combinação linear dos outros dois portanto podemos tirar ele do conjunto gerador para termos uma base Encontre uma transformação linear T R2 R3 tal que o vetor 12 pertence ao núcleo de T e vetor 123 pertença a imagem de T Tome Txy 2xy 4x2y 6x 3y T12 212 41 22 61 32 000 logo 12 Núcleo Agora T01 201 40 21 60 31 123 Logo 123 Imagem a Tom v xyz como existe abc tal que xyz a111 b101 c121 logo Txyz aT111 bT101 cT121 06 21 03 Por ser ortogonal a 111xyz 111 xyz3 b 101xyz 101 xz2 c 121xyz 121 x2yz6 Txyz 06xyz3 2xz2 xz2 03x2yz6 2zx 23xyz 22zx 62x2yz b Para isso escrevemos Txyz x223 22 62 y0236 z 2 23 22 62 w Logo Im T combinação linear de u v w como não são paralelos geram o IR² Logo ImT IR² Base 01 10 c Quero Txyz 00 2zx 23xyz 22 zx 62 x2yz 00 zx0 zx Logo 23 2xy 62 x7y 0 y236 x436 y x436236 Logo x x436236 x gerador 1 436236 1 Logo NucT espaço gerado por 1 436236 1 Uma base é 1 436236 1 É sobrejetora pois o nosso conjunto imagem é o próprio contradomínio Não é injetora pois seu Núcleo tem dimensão 1 para ser injetora deve ser zero