2ª Prova de Álgebra Linear II - Centro Federal Celso Suchow da Fonseca

Centro Federal Celso Suchow da Fonseca 2ª Prova de Álgebra Linear II Todas as páginas entregues DEVEM conter nome legível matrícula e assinatura Pdfs sem identificação não serão corrigidos assim como questões sem as devidas justificativas 1 2 pontos Considere T R³ R³ definida por Tx y z 2x x y z x a Determine a matriz de T em relação à base canônica b Determine uma base para o Núcleo de T c Determine uma base para Imagem de T d Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem e Determine os autovalores de T f Determine os autovetores de T g T possui base de autovetores Se sim qual é a base h Caso possua base de autovetores escreva T em relação a essa base 2 2 pontos Determine uma matriz A para A 8 28 7 29 3 2 pontos Seja v 1α um autovetor da matriz B 0 1 1 1 associado ao maior dos autovalores de B Determine o valor de α Centro Federal Celso Suchow da Fonseca 2ª Prova de Álgebra Linear II Todas as páginas entregues DEVEM conter nome legível matrícula e assinatura Pdfs sem identificação não serão corrigidos assim como questões sem as devidas justificativas 1 2 pontos Considere T R³ R³ definida por Tx y z 2x x y z x a Determine a matriz de T em relação à base canônica b Determine uma base para o Núcleo de T c Determine uma base para Imagem de T d Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem e Determine os autovalores de T f Determine os autovetores de T g T possui base de autovetores Se sim qual é a base h Caso possua base de autovetores escreva T em relação a essa base 2 2 pontos Determine uma matriz A para A 8 28 7 29 3 2 pontos Seja v 1α um autovetor da matriz B 0 1 1 1 associado ao maior dos autovalores de B Determine o valor de α Questão 1 Seja T R³ R³ definida por Tx y z 2x x y z x ω seja β e₁ 100 e₂ 010 e₃ 001 a base canônica de R³ Temos Te₁ 211 2 e₁ 1 e₂ 1 e₃ Te₂ 010 0 e₁ 1 e₂ 0 e₃ Te₃ 010 0 e₁ 1e₂ 0 e₃ logo a matriz de T em relação base canônica é dada por T 2 0 0 1 1 1 1 0 0 b O Núcleo de T é dado pelo conjunto NT xyz R³ Txyz 000 xyz 2x xyz x 000 ou seja 2x 1 xyz 0 2 x 0 3 De 1 e 3 temos x 0 a Lembrando Teorema do Núcleo e da Imagem Dai temos Assim o valor lambda1 0 e o abel valor associado a A1 0 Para lambda2 2 temos left x 3y z 0 right 1 x 2z 0 ext 2 right De 2 temos x 2z ext substituindo valor de x em 1 3y 3z rightarrow y z Logo o vetor v2 2y y z z 2 1 1 eq 0 o vetor associado a lambda2 2 Para lambda3 1 temos left 3x 0 right 1 x z 0 left2right x z 0 left3right right De 1 temos x 0 De 2 e 3 temos z 0 Assim o vetor v3 0 y 0 y0 1 0 ext e o vetor associado a lambda3 1 Pois T0 1 1 0 0 0 Logo os coordenados de T0 1 1 em relação a beta são left T0 1 1 rightbeta left beginarrayc 0 0 0 endarray right T2 1 1 4 2 d Dados omega b c in mathbbR temos 4 d d a0 1 1 b2 1 1 c0 1 0 ext ao invés 2b 4 left1right omega b c d left2right omega b 2 left3right ext De1 b 2 ext De3 omega 0 ext De2 c 0 ext Logo os coordenados de T2 1 1 ext em relação a beta ext é left T2 1 1 rightbeta left beginarrayc 0 2 0 endarray right T010 010 Questão Determine uma matriz A para A 8 2 8 7 2 9 Autovalores Assim o vetor U₂ Y₁ Y γ111 é um autovetor associado a λ₂ 36 Como A é diagonalizável pois possui 2 autovalores distintos e A tem ordem d Então existe uma matriz P invertível tal que A PDP¹ Determinar P e P¹ A matriz P é formada pelos autovetores P 4 1 e P¹ 115 115 115 415 Determinar D D P¹AP 115 415 8 28 4 1 1 0 0 36 D D 1 0 1 0 α1 0 α0 0 α 1 0 α 0 6 Como queremos determinar apenas uma matriz A Considere D 1 0 0 0 Logo A PD P¹ 4 1 1 0 115 415 4 6 115 115 2 4 1 5 Portanto uma matriz A é A 2 4 1 5 Questão 3 Seja B 0 1 1 1 Temos pλ detB λI λ 1 λ1 λ 1 Logo pλ λ² λ 1 Aí está temos 1 5 1 λ₁ 5 12 α λ 5 12 Logo os autovalores de B são λ₁ 5 12 e λ₂ 5 12 Como u 1 α é um autovetor de B associado ao menor dos autovalores de B então é associado à λ₂ 5 12 Então temos Logo α 2 5 1