Prova de Álgebra Linear - A2 - Uva

UVA\nMEMBRO DA REDE ILUMNO\nFOLHA DE QUESTÕES\nCURSO: BÁSICO DAS ENGENHARIAS\nDISCIPLINA: Álgebra Linear\nASS.: NOME:\nProfessor: Lucimá Barros da Rocha\nDATA: N° de ordem: GRAU: PROVA: TURMA: MATRÍCULA:\n A2\n1ª questão: (2.0 pontos) Aplicando seus conhecimentos de modelar e resolver sistemas lineares, resolver o problema abaixo:\nO latão é uma liga metálica composta basicamente de cobre e zinco. Em geral, a porcentagem de zinco na liga varia de 20 a 35%, dependendo das características que se quer dar ao latão. Uma empresa possui em estoque dois grandes lotes de latão, sendo um lote de quatro toneladas de latão com 23% de zinco na sua composição e um lote de cinco toneladas de latão com 33% de zinco. Essa empresa foi consultada sobre a possibilidade de fazer uma entrega de latão, de modo que no total a porcentagem de zinco fosse 25%.\na) (1.0) Para cada tonelada com 25% de zinco, quantos quilos de cada tipo de latão que a empresa tem em estoque serão necessários?\nb) (1.0) Qual será o número máximo de entregas que podem ser feitas, nas mesmas condições considerando o estoque existente?\n\n2ª questão: (3.0 pontos) Vimos que toda transformação linear de R^n em R^m pode ser apresentada através de uma matriz A (n x m). Uma transformação do plano no plano ε, portanto uma transformação T: R^2 → R^2 que pode ser apresentada através de uma matriz de ordem 2. Entre as transformações lineares no plano podemos destacar a contração e a expansão T(x, y) = f(x, y), a reflexão em torno da origem, T(x, y) = (-x, -y).\na) (1.0) Crie uma matriz que produza uma expansão de 5 unidades em um vetor e, simultaneamente produza uma reflexão em torno da origem.\nb) (1.0) Aplique a transformação, através da matriz, ao vetor (-2, 3).\n\n3ª questão: (1.5) Seja T: R^2 → R^3 então:\na) (0.5) qual é a imagem de (0,0) pela transformação T?\nb) (0.5) Sendo T(x, y) = (x-2y, x + y, -x), determine a imagem de (-3,1).\nc) (0.5) Qual seria a matriz correspondente a esta transformação?\n\n4ª questão: (2.0 pontos) Sejam B1 = {(-1,3), (2,1)} e B2 = {(1,1), (-2,1)} dois subconjuntos dos do R^2\n\na) (0.5) O que garante que os dois conjuntos acima são bases de R^2?\nb) (0.5) Escreva cada vetor de B1 como combinação linear dos vetores de B2.\nc) (0.5) Escreva a Matriz mudança de Base, de B1 para B2.\nd) (0.5) Escreva a matriz mudança de base de B2 para B1.\n\n5ª questão:\na) (0.5) Achar o subespaço gerado pelos vetores {(1, -1, 2), (2, 1, 3)}.\nb) (1.0) Achar autovalores e os respectivos autovetores da matriz [-3 4]\n [1 -2] Considere um raio luminoso incidindo em um espelho plano na direção AO onde A = (-3,5) e O = (0,0). Faça um esquema ilustrando o fenômeno e determine o vetor que fornece a direção do raio refletido.\n\n3ª questão: (1.5) Seja T: R^2 → R^3 então:\na) (0.5) qual é a imagem de (0,0) pela transformação T?\nb) (0.5) Sendo T(x, y) = (x-2y, x + y, -x), determine a imagem de (-3,1).\nc) (0.5) Qual seria a matriz correspondente a esta transformação?\n\n4ª questão: (2.0 pontos) Sejam B1 = {(-1,3), (2,1)} e B2 = {(1,1), (-2,1)} dois subconjuntos dos do R^2\n\na) (0.5) O que garante que os dois conjuntos acima são bases de R^2?\nb) (0.5) Escreva cada vetor de B1 como combinação linear dos vetores de B2.\nc) (0.5) Escreva a Matriz mudança de Base, de B1 para B2.\nd) (0.5) Escreva a matriz mudança de base de B2 para B1.\n\n5ª questão:\na) (0.5) Achar o subespaço gerado pelos vetores {(1, -1, 2), (2, 1, 3)}.\nb) (1.0) Achar autovalores e os respectivos autovetores da matriz [-3 4]\n [1 -2]