Compensadores e Controladores-Projeto e Aplicações-Controles II

Controles II Profa Milena Faria Pinto Dra Introdução ao Projeto de Compensadores Introdução o Compensador também conhecido como Controlador tem o objetivo de compensar características ruins do sistema original Usualmente empregamos Compensadores Controladores em malha fechada com o sistema original Empregamos técnicas apropriadas de modo que o Compensador altere a configuração do sistema de modo a satisfazer especificações de projeto Margem de Ganho e Margem de Fase Margem de Ganho dB é a quantidade obtida na frequencia de cruzamento do ângulo de fase igual a 180𝑜𝑜 Margem de fase 𝜑𝜑𝑝𝑝𝑝𝑝 é a quantidade do angulo correspondente a 0 dB Margem de Ganho e Margem de Fase Em sistemas de 2a Ordem podemos usar a fórmula 𝜉𝜉 001 𝜑𝜑𝑝𝑝𝑝𝑝 quando 0 𝜉𝜉 0707 Isso significa que a margem de fase altera significativamente o Máximo Overshoot do sistema Então projetamos 𝜑𝜑𝑝𝑝𝑝𝑝 para ter um bom desempenho do Máximo Overshoot Margem de Ganho e Margem de Fase Os compensadores são utilizados para alterar alguma característica do sistema em malha fechada 1 Avanço de fase lead 2 Atraso de fase lag 3 Avancoatraso de fase leadlag 4 PID caso especial de Leadlag 5 PD comportase como o avanço de fase 6 PI atua como o atraso de fase Compensadores Compensador em Avanço Vantagem Aumento da margem de fase lembrando que para sistemas padrão de 2ª ordem ζ ϕₘ100 com ϕₘ em graus pode ocorrer uma melhoria no desempenho em regime transitório Desvantagem Aumento do ganho em altas frequências o que é contrário ao objetivo de loop shaping Compensador em Avanço É um Compensador em Avanço quandozp Isso implica que em sistema estável o pólo está localizado à esquerda do zero no Gráfico Planos 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝐾𝐾 𝑠𝑠 𝑧𝑧 𝑠𝑠 𝑝𝑝 Compensador em Avanço Resposta em frequência de um Compensador em Avanço Compensador em Avanço Se p 1 𝜏𝜏 e z 1 𝛼𝛼𝜏𝜏 A função de Transferência FT será 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑐𝑐 1 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠 𝛼𝛼1 𝛼𝛼𝑠𝑠 A frequência onde ocorre a fase máxima do avanço ocorre no meio entre as frequências do pólo e zero ou seja O valor do ângulo de avanço máximo é 𝜔𝜔𝑝𝑝 𝑧𝑧𝑝𝑝 1 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙𝑝𝑝 1 𝛼𝛼 𝛼𝛼 1 Projetando um Compensador em Avanço via Diagrama de Bode Passoapasso Compensador em Avanço via Diagrama de Bode 1 Faça a constante de erro erro estacionário estar no valor desejado no projeto 2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema sem o uso de Compensador Obtenha a margem de fase 𝜙𝜙𝑝𝑝 3 Determine a quantidade adicional de avanço de fase 𝜙𝜙𝑝𝑝 necessário para que o sistema de controle resultante atenda a especificação de projeto Tome esse valor e adicione entre 1𝑜𝑜 a 10𝑜𝑜 graus para gerar uma folga 4 Faça 𝜙𝜙𝑝𝑝 folga graus Determine 𝛼𝛼 a partir da equação 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜙𝜙𝑝𝑝 1 𝛼𝛼 𝛼𝛼 1 5 Calcule 10log𝛼𝛼 e determine a frequência onde a curva de magnitude não compensada é igual a 10log𝛼𝛼 dB Isso decorre do fato de que o Compensador provê um ganho de 10log𝛼𝛼 em 𝜔𝜔𝑝𝑝 então essa frequencia 𝜔𝜔𝑝𝑝 é a nova frequência de crossover 0 dB e 𝜔𝜔𝑝𝑝 simultaneamente Compensador em Avanço via Diagrama de Bode 6 Calcule 𝑝𝑝 𝜔𝜔𝑝𝑝 𝛼𝛼 e 𝑧𝑧 𝑝𝑝𝛼𝛼 7 Desenhe o Diagrama de Bode resultante do sistema acoplando o Compensador e veja se a margem de fase resultante satisfaz a especificação de projeto Em caso negativo refaça os passos anteriores adotanto outros valores por exemplo altere 𝜙𝜙𝑝𝑝 Exemplo 1 Compesador em Avanço Objetivo do projeto de controle Diminuir pela metade o tempo de acomodação do sistema para uma resposta ao degrau deixar o sistema mais rápido 0 1 2 3 4 5 6 0 02 04 06 08 1 12 14 Step Response Time seconds Amplitude 60 40 20 0 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 45 0 Phase deg Bode Diagram Frequency rads 𝐺𝐺𝑠𝑠 10 𝑠𝑠2 2𝑠𝑠 10 Exemplo 1 Solução Sabemos que um aumento na Margem de Fase 𝜑𝜑𝑝𝑝 provavelmente conduzirá a uma diminuição do tempo de acomodação Avaliando a margem de fase do sistema temse 𝜑𝜑𝑝𝑝 45𝑜𝑜 com 𝜔𝜔𝑐𝑐 4 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠 Exemplo 1 Solução Aumentaremos a margem de fase para 𝜑𝜑𝑝𝑝 53𝑜𝑜 com 𝜔𝜔𝑐𝑐 4 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠 Usando um compensador em avanço projetado para que a defasagem estabilizante contribua para aumentar 𝜑𝜑𝑝𝑝 podemos escolher 𝜔𝜔𝑧𝑧 04 rads e 𝜔𝜔𝑧𝑧 40 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠 com um ganho proporcional 𝑘𝑘𝑝𝑝 01 que ainda mantém a mesma frequência de cruzamento original 𝐺𝐺𝑐𝑐 01 𝑠𝑠 04 1 𝑠𝑠 40 1 Exemplo 1 Solução 100 50 0 50 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 135 90 45 0 45 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads Exemplo 1 Código em Python import matplotlibpyplot as plt import control as ctrl import numpy as np Sistema original numsistemaoriginal 10 densistemaoriginal 1 2 10 sistemaoriginal ctrlTransferFunctionnumsistemaoriginal densistemaoriginal Controlador numcontrol 1 04 dencontrol 1 40 K 10 controlador ctrlTransferFunctionK numcontrol dencontrol sistema Controlado numcontrolador npconvolvenumcontrol numsistemaoriginal dencontrolador npconvolvedencontrol densistemaoriginal sistemacontrolado ctrlTransferFunctionnumcontrolador dencontrolador Frequências para o gráfico de Bode omega nplogspace1 2 100 Diagrama de Bode para o sistema original e controlado na mesma janela pltfigurefigsize12 6 Sistema original em azul pltsubplot2 1 1 magnitudeoriginal phaseoriginal omegaoriginal ctrlbodesistemaoriginal omega dBTrue HzTrue plttitleDiagrama de Bode Sistema Original Sistema controlado em laranja pltsubplot2 1 2 magnitudecontrolado phasecontrolado omegacontrolado ctrlbodesistemacontrolado omega dBTrue HzTrue plttitleDiagrama de Bode Sistema Controlado plttightlayout pltshow Exemplo 1 Código em Python Diagrama de Bode Sistema Controlado Frequency Hz Magnitude dB Phase deg Exemplo 1 Solução 80 60 40 20 0 20 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 90 0 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads Note que ao utilizar o compensador o sistema teve um aumento da margem de fase para 𝜑𝜑𝑝𝑝 132𝑜𝑜 Entretanto note que o ganho DC foi comprometido 10 vezes menor Note também que um aumento em kp para corrigir isso conduziria a uma diminuição da margem de fase Exemplo 1 Solução Aumentando o ganho 40 20 0 20 40 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 135 90 45 0 45 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads System untitled1 Frequency rads 947 Magnitude dB 023 System untitled1 Frequency rads 897 Phase deg 155 Exemplo 2 Compesador em Avanço Considere o sistema abaixo Determine um Compensador Avanço de Fase de modo que as especificações sejam atendidas a Tempo de assentamento menor ou igual a 4 seg b Máximo overshoot menor ou igual a 21 Exemplo 2 Solução 20 10 0 10 20 30 Magnitude dB 10 0 10 1 181 1805 180 1795 179 Phase deg Bode Diagram Frequency rads Exemplo 2 Solução Para o tempo de assentamento ser inferior a 4s devese Para um Máximo overshoot menor ou igual a 21 faça 𝑀𝑀𝑜𝑜 21 100 e calcule 𝑡𝑡𝑠𝑠 4 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 4 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 1 𝜉𝜉 ln𝑀𝑀𝑜𝑜 𝜋𝜋2 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑀𝑀𝑜𝑜 045 Máximo overshoot menor que 21 implica que 045 𝜉𝜉 1 Vamos adotar 𝜉𝜉 045 E assim podemos fixar 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 1 logo 𝜔𝜔𝑛𝑛222 Estamos lidando com Gs de segunda ordem por isso podemos aproximar a margem de fase desejável para o sistema que seja aproximada por 𝜙𝜙𝑝𝑝 45𝑜𝑜 𝜉𝜉 𝜙𝜙𝑝𝑝 100 𝜙𝜙𝑝𝑝 𝜉𝜉 001 Logo ou Exemplo 2 Solução A margem de fase do sistema não compensado é 0𝑜𝑜 porque um integrador duplo na origem resulta em fase atrasada em 180𝑜𝑜 para todas as frequências possíveis Então devemos adicionar um ângulo de Avanço de 45𝑜𝑜na frequência de crossover 0 dB Faça 𝜙𝜙𝑝𝑝 45𝑜𝑜1𝑜𝑜 46𝑜𝑜 Determine α a partir da equação 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠46𝑜𝑜 𝛼𝛼 1 𝛼𝛼 1 𝛼𝛼 6 Exemplo 2 Solução Note agora que 10log𝛼𝛼 778 dB Voltamos a visualizar o Diagrama de Bode não compensado e marcamos a frequência em que ocorre 778 dB 20 10 0 10 20 30 Magnitude dB 10 0 10 1 181 1805 180 1795 179 Phase deg Bode Diagram Frequency rads System sys Frequency rads 495 Magnitude dB 78 Exemplo 2 Solução A função de transferência do Compensador Avanço é 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 1 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼1 𝛼𝛼 1 6 1 𝑠𝑠2 1 𝑠𝑠12 Faça 𝜔𝜔𝑝𝑝 𝜔𝜔 495 e calcule o pólo e zero usando a fórmula 𝑝𝑝 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝛼𝛼 12 𝑧𝑧 𝑝𝑝 𝛼𝛼 2 Exemplo 2 Solução 100 50 0 50 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 180 90 0 90 Phase deg Contralador Compensado Sem compesador Bode Diagram Frequency rads Compensador em atraso Vantagem Aumento do ganho nas baixas frequências o que é condizente com o objetivo de loop shaping Desvantagem Diminuição da margem de fase ϕm lembrando que para sistemas padrão de 2ª ordem ζ ϕm 100 com ϕm em graus pode ocorrer uma depreciação do desempenho em regime transitório Compensador em atraso É determinado um Compensador em Atraso quando 𝑧𝑧 𝑝𝑝 Isso implica que em um sistema estável o pólo está localizado à direita do zero no Gráfico Planos 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑠𝑠 𝑧𝑧 𝑠𝑠 𝑝𝑝 Compensador em atraso Resposta em frequência de um Compensador em Atraso 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑐𝑐𝛽𝛽 𝑇𝑇𝑠𝑠 1 𝛽𝛽𝑇𝑇𝑠𝑠 1 Compensador Projetando um Compensador em Atraso via Diagrama de Bode Passoapasso Compensador em Atraso via Diagrama de Bode 1 Faça a constante de erro erro estacionário estar no valor desejado no projeto 2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema sem o uso de Compensador Obtenha a margem de fase 𝜙𝜙𝑝𝑝 Se não satisfaz a especificação do projeto então siga para o próximo passo 3 Tome a margem de fase especificada pelo projeto e adicione 5𝑜𝑜 graus para gerar uma folga Verifique no gráfico a frequência 𝜔𝜔𝑐𝑐 na qual esse novo valor de margem de fase ocorre 4 Ponha o zero do compensador uma década abaixo da nova frequência de crossover 𝜔𝜔𝑐𝑐 ou seja 𝑧𝑧 𝜔𝜔𝑐𝑐10 Compensador em Atraso via Diagrama de Bode 5 Faça a medição da atenuação necessária em 𝜔𝜔𝑐𝑐 para assegurar que a curva de magnitude cruze essa frequência 6 Calcule α lembrando que o valor da atenução em 𝜔𝜔𝑐𝑐 é dado por 20 log𝛼𝛼 7 Calcule o pólo 𝑝𝑝 𝑧𝑧𝛼𝛼 Exemplo 3 Compesador em Atraso 35 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝐾𝐾 𝑠𝑠𝑠𝑠 2 Considere um sistema de controle com função de transferência de malha aberta dada por Desejase implementar um compensador tal que a A constante de erro estático de velocidade seja 𝐾𝐾𝑣𝑣 20𝑠𝑠1 b A margem de fase seja 45𝑜𝑜 Exemplo 3 Compesador em Atraso 36 100 80 60 40 20 0 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads System sys Frequency rads 0489 Magnitude dB 00609 System sys Frequency rads 0479 Phase deg 103 System sys Frequency rads 826 Phase deg 179 𝐺𝐺𝑠𝑠 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 2 Exemplo 3 Solução 37 𝐾𝐾𝑣𝑣 lim 𝑠𝑠0 𝑠𝑠 𝐾𝐾 𝑠𝑠𝑠𝑠 2 lim 𝑠𝑠0 𝐾𝐾 𝑠𝑠 2 𝐾𝐾 40 A constante K é obtida atraves de 𝐾𝐾𝑣𝑣 que é dado por A curva de Bode para o sistema 50 0 50 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads System sys Frequency rads 159 Phase deg 129 System sys Frequency rads 913 Phase deg 179 Exemplo 3 Solução 38 Note que a Margem de Fase não compensada é 𝜙𝜙𝑝𝑝 20𝑜𝑜 e por isso não atende a especificação de projeto A especificação de projeto exige Margem de Fase 45𝑜𝑜 e adicionamos folga 5𝑜𝑜 totalizando 50𝑜𝑜 Por isso o ponto 𝜙𝜙 𝜔𝜔 130𝑜𝑜 é desejado e ocorre em 𝜔𝜔𝑐𝑐 15 50 0 50 Magnitude dB 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads System sys Frequency rads 159 Phase deg 129 System sys Frequency rads 913 Phase deg 179 Exemplo 3 Solução 39 A atenuação necessária em 𝜔𝜔𝑐𝑐 15 é 20 dB Obtemos 𝛼𝛼 usando a fórmula 20log𝛼𝛼 20 e portanto 𝛼𝛼 10 Obtemos 𝑧𝑧 𝜔𝜔𝑐𝑐10 015 e 𝑝𝑝 𝑧𝑧𝛼𝛼 0015 Usando as fórmulas 𝑝𝑝 1𝛼𝛼𝛼𝛼 e 𝑧𝑧 1𝛼𝛼 Encontramos o Controlador em Atraso 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 1 𝛼𝛼𝑠𝑠 1 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠 1 𝑠𝑠015 1 𝑠𝑠0015 Exemplo 3 Solução 40 100 50 0 50 100 Magnitude dB 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 180 135 90 45 0 Phase deg Controlador Sistema não Compensado Sistema Compensado Bode Diagram Frequency rads Exemplo 3 FAZER A SOLUÇÃO EM CÓDIGO PYTHON 41 Compensador em Atraso e Avanço de Fase 42 Compensador em Atraso e Avanço de Fase 43 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑐𝑐 𝑠𝑠 1 𝑇𝑇1 𝑠𝑠 𝛾𝛾 𝑇𝑇1 𝑠𝑠 1 𝑇𝑇2 𝑠𝑠 1 𝛽𝛽𝑇𝑇2 Avanço Atraso 𝛾𝛾 𝛽𝛽 1 𝛽𝛽 1 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑐𝑐 𝑇𝑇1𝑠𝑠 1 𝑇𝑇1 𝛽𝛽 𝑠𝑠 1 𝑇𝑇2𝑠𝑠 1 𝛽𝛽𝑇𝑇2𝑠𝑠 1 𝛾𝛾 1 ou Compensador em Atraso e Avanço de Fase 44 Resposta em frequência de um Compensador em Atraso e Avanço Exemplo 4 Compensador em Atraso e Avanço de Fase 45 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é Desejase que a Constante de erro estático de velocidade seja 10𝑠𝑠1 b Margem de fase seja 50𝑜𝑜 c Margem de ganho seja 10 dB ou mais Suponha que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase com γ 𝛽𝛽 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝐾𝐾 𝑠𝑠𝑠𝑠 1𝑠𝑠 2 Exemplo 4 Solução 46 Código Exemplo 4 Solução 47 100 50 0 50 100 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads System gs Frequency rads 243 Magnitude dB 00562 System gs Frequency rads 145 Phase deg 181 Exemplo 4 Solução Devese escolher o ωc 14142 como nova frequência de cruzamento de ganho Nessa frequência o compensador deve contribuir com 50º Porção de Atraso uma década abaixo de ωc 14142 Porção de avanço Cuidado Esta é uma simplificação pois no compensador por atrasoavanço ângulo ϕωc possui expressão mais complicada sin ϕm 1γ1γ 11β11β β1β1 Pequeno erro do Ogata Para ϕm 50º 5º β 100590 O diagrama de amplitude do compensador deve contribuir com 03 na frequência de ω 14142 Utilizar syms do Matlab Exemplo 4 Compensador em Atraso e Avanço de Fase 49 Projetando o Compensador no Matlab Exemplo 4 Compensador em Atraso e Avanço de Fase 50 Plot Final pelo Matlab Exemplo 4 Compensador em Atraso e Avanço de Fase Plot Final 100 50 0 50 100 150 Magnitude dB 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 180 90 0 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rads 51 Exemplo 4 Compensador em Atraso e Avanço de Fase Resposta ao degrau do sistema compensado 52 Exemplo 4 Compensador em Atraso e Avanço de Fase Resposta à rampa unitária do sistema compensado 53