Resposta em Frequencia de Sistemas LTI - Controles II

Controles II Prof Milena Faria Pinto Dra Resposta em Frequência Introdução A resposta em frequência está associada a sistemas lineares invariantes no tempo excitados por entradas senoidais e considerando suas saídas em regime permanente Os métodos de projeto baseados na resposta em frequência são talvez os mais utilizados em ambientes industriais A razão principal para a popularidade desses métodos é que eles permitem realizar projetos de boa qualidade na presença de incertezas no modelo da planta Um vantagem da abordagem por resposta em frequência surge do fato da simplicidade com que se pode experimentalmente realizar testes de resposta em frequência de forma precisa usandose geradores de sinais senoidais disponíveis e instrumentos precisos para medição Geralmente FTs de componentes complicados podem ser determinados experimentalmente por testes em respostas em frequência Há ainda a vantagem que um sistema pode ser projetado tal que os efeitos de ruídos indesejáveis possam ser negligenciado Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Considere um sistema linear e invariante no tempo Gs tal que A entrada xt é senoidal e descrita da forma Logo Aplicando Laplace Aplicando Frações Parciais G 𝑠𝑠 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝑋𝑋𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑋𝑋𝑠𝑠𝑋𝑋𝑋𝑋𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑋𝑋 𝑠𝑠 𝑋𝑋 𝜔𝜔 𝑠𝑠2 𝜔𝜔² 𝑌𝑌 𝑠𝑠 𝐺𝐺 𝑠𝑠 𝑋𝑋 𝜔𝜔 𝑠𝑠2 𝜔𝜔² Aplicando a Laplace inversa temse a resposta temporal Para um sistema estável𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑛𝑛 tem parte real negativa Portanto em regime estacionário 𝑋𝑋𝑝𝑝1𝑡𝑡 𝑋𝑋𝑝𝑝𝑛𝑛𝑡𝑡 tendem a zero com exceção dos dois primeiros termos Portanto a resposta em estado estacionário é da forma Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Sendo que a constante 𝑎𝑎 pode ser avaliada da resposta no domínios Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Substituindo os valores das constantes a e ā Ys b1ss1 b2ss2 bnssn asjw āsjw a XGjw2j e ā XGjw2j ysst XGjw2jejwt XGjw2jejwt ysst XGjwejϕ2jejwt XGjweiϕ2jejwt ysst XGjw2jejϕjwt ejϕjwt Fórmula de Euler z rcos α j sin α rejα ejα ejα cos α j sin α cosα j sinα 2j sin α ysst XGjw sin ωt ϕ onde ϕ Gjw ou ϕ tan1 ImGjω ReGjω Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Como 𝐺𝐺𝑗𝑗𝜔𝜔 é uma função de variável complexa podese escrevela na forma Da mesma forma obtemse Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Portanto para um sistema estável LIT sujeito a uma entrada senoidal em estado estacionário a saída será também senoidal tendo a mesma frequência que a entrada porém com amplitude e fase diferentes Observação Simplesmente substituise 𝑠𝑠 por 𝑗𝑗𝜔𝜔 Resposta em regime permanente frente às entradas senoidais Exemplo 1 Circuito RC com a seguinte função de transferência substituise 𝑠𝑠 por 𝑗𝑗𝜔𝜔 Logo Exemplo 1 Para uma entrada do tipo O diagrama polar não indica o efeito individual de pólos e zeros É necessário a introdução de gráficos logarítmicos ou diagrama de Bode para simplificar o traçado da respota em frequência Exemplo 2 Considere o capacitor descrito pela equação 𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 sendo vt a entrada e it a saída Determine a resposta senoidal de regime permanente do capacitor A função de transferência Substituindo 𝑠𝑠 por 𝑗𝑗𝜔𝜔 Diagrama de Bode ou diagrama logarítmico Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Carta de Nichols ou Magnitude logarítmica versus diagrama de fase Formas Gráficas de respostas na frequência Por que um diagrama logarítmico O logarítmico tem propriedades do tipo Onde termos multiplicativos são convertidos em termos aditivos e termos que dividem são algebricamente adicionados como termos negativos O logarítmico do módulo da FT é normalmente expresso em decibéis dB ou seja Observação No diagrama de Bode a magnitude logarítmico do módulo é traçado em um gráfico e o ângulo argumento de 𝐺𝐺𝑗𝑗𝑗𝑗 em outro Decibel As relações de frequencia são expressas décadas Uma década é o intervalo de frequência de 𝜔𝜔 a 10𝜔𝜔 onde 𝜔𝜔 é qualquer valor de frequência Gráfico de Resposta em Frequência Os quatro tipos de fatores que podem aparecer numa FT são A curva da função completa é obtida somandose graficamente as curvas decada fato Ganhos Se 𝐾𝐾𝑏𝑏 0 o módulo continua sendo 20 log 𝐾𝐾𝑏𝑏 porém a fase passa a ser 180 Ganho Constante 𝑲𝑲𝒃𝒃 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋 Para um pólo na origem Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋 Para um zero na origem Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋 Note que Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros na origem 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋 𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros complexos conjugados 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒋𝒋𝒏𝒏𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟏𝟏 Se 𝜁𝜁 1 esse fator quadrático pode ser expresso como um produto de dois fatores de primeira ordem com polos reais Se 0 𝜁𝜁 1 esse fator quadrático é um produto de dois fatores complexos conjugados Ganhos Pólos ou zeros complexos conjugados 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒋𝒋𝒏𝒏𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟏𝟏 O fator quadrático correspondente a um par de pólos complexos conjugados pode ser escrito na forma normalizada Portanto para Ganhos Pólos ou zeros complexos conjugados 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒋𝒋𝒏𝒏𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟏𝟏 Obtémse Quando 𝑢𝑢 1 Resulta em uma curva com inclinação de 40dBdécada As duas assíntotas encontramse na linha de 0 dB quando 𝑢𝑢 𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑛𝑛 1 Quando 𝑢𝑢 1 Ganhos Pólos ou zeros complexos conjugados 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒋𝒋𝒏𝒏𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros complexos conjugados 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒋𝒋𝒏𝒏𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟏𝟏 Ganhos Pólos ou zeros complexos conjugados 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒋𝒋𝒏𝒏𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒋𝒋 𝒋𝒋𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟏𝟏 Exemplo Desenhe o diagrama de Bode da seguinte função de transferência Gs 10s3 ss2s2s2 Efetue as correções para que a curva de módulo em dB seja precisa Reescrevendo a FT gjw 75jw31 jwjw21jw22 jw21 Essa função é composta pelos seguintes fatores 75 jw1 1 jw3 1 jw21 1 jw2 jw221 Frequências de canto w 3 w 2 e w 2 Coeficiente de amortecimento dos polos complexos conjugados ζ 03536 Exemplo Código import control as ctrl import numpy as np import matplotlibpyplot as plt Defina a função de transferência do sistema numerator 1030 denominator 1 3 4 4 system ctrlTransferFunctionnumerator denominator Calcule a resposta em frequência do sistema frequency nplogspace1 2 1000 Frequências de 01 a 100 rads magnitude phase omega ctrlbodesystem omegafrequency Plote o gráfico de magnitude pltfigurefigsize10 6 pltsubplot2 1 1 pltsemilogxomega magnitude plttitleDiagrama de Magnitude pltylabelMagnitude dB pltgridTrue Plote o gráfico de fase pltsubplot2 1 2 pltsemilogxomega phase plttitleDiagrama de Fase pltxlabelFrequência rads pltylabelFase graus pltgridTrue plttightlayout pltshow Código Frequência de ressonância Frequência de ressonância 𝒋𝒋𝒓𝒓 e pico ressonante 𝑴𝑴𝒋𝒋 Pela figura anterior notase que o valor máximo de G denotado por 𝑀𝑀𝜔𝜔 ocorre na frequência de ressonância 𝜔𝜔𝑟𝑟 𝜔𝜔𝑟𝑟 é determinado no máximo de Quando um corpo sofre uma perturbação periódica externa em outras palavras uma vibração forçada cuja frequência igualase à natural ocorre o fenômeno denominado ressonância Frequência de ressonância Como o numerador de G é constante o valor de pico de G irá ocorrer quando o valor do denominador For mínimo o que acontece em Substituindo 𝜔𝜔𝑟𝑟 em G obtémse o pico ressonante Exemplo 2 Lembrese de instalar pip install matplotlib pip install control pip install mpltoolkits Este código cria um gráfico que mostra como a frequência de ressonância varia com a constante elástica de um sistema massamola Exemplo 2 import numpy as np import matplotlibpyplot as plt def frequenciaressonanciamassa constelastica return 1 2 nppi npsqrtconstelastica massa Parâmetros do sistema massa 10 massa do sistema constelastica 40 constante elástica da mola Intervalo de valores para a constante elástica constelasticavalues nplinspace10 100 100 Calcular as frequências de ressonância para diferentes constantes elásticas frequencias frequenciaressonanciamassa k for k in constelasticavalues Plotar o gráfico pltplotconstelasticavalues frequencias plttitleFrequência de Ressonância em Função da Constante Elástica pltxlabelConstante Elástica pltylabelFrequência de Ressonância pltgridTrue pltshow Exemplo 2 Exemplo 3 import numpy as np import matplotlibpyplot as plt from mpltoolkitsmplot3d import Axes3D def frequenciaressonanciamassa constelastica return 1 2 nppi npsqrtconstelastica massa Parâmetros do sistema massavalues nplinspace01 50 50 constelasticavalues nplinspace10 100 50 Criação de uma grade 2D para as variáveis massa e constante elástica massagrid constelasticagrid npmeshgridmassavalues constelasticavalues Calcula as frequências de ressonância para diferentes combinações de massa e constante elástica frequencias frequenciaressonanciamassagrid constelasticagrid Plotagem 3D fig pltfigurefigsize10 8 ax figaddsubplot111 projection3d Plota a superfície 3D surface axplotsurfacemassagrid constelasticagrid frequencias cmapviridis Adiciona uma barra de cores figcolorbarsurface axax labelFrequência de Ressonância Configurações do gráfico axsettitleFrequência de Ressonância em Função de Massa e Constante Elástica axsetxlabelMassa axsetylabelConstante Elástica axsetzlabelFrequência de Ressonância pltshow Exemplo 3 Sistemas de fase mínima e não mínima Observação Alguns autores consideram que sistema de fase nãomínima não é caracterizado apenas por zeros no semiplano direito mas também por pólos instáveis Sistemas de fase mínima e não mínima Fase nãomínima Um sistema pode ter zeros no semiplano direito e pode ser também instável Funções de transferência com zeros no semi plano direito são classificadas como de fase nãomínima Se os zeros de uma FT são todos refletidos para o semiplano oposto de forma simétrica em relação ao eixo imaginário não haverá mudança de módulo da FT original mas apenas de fase Quando se compara a variação de fase de dois sistemas observase que a variação de fase de um sistema com todos os zeros no semiplano esquerdo é sempre menor com 𝜔𝜔 variando de zero a Portanto a FT com todos os seus zeros no semiplano esquerdo é dita de fase mínima A FT 𝐺𝐺2𝑠𝑠 com𝐺𝐺2𝑠𝑠 𝐺𝐺1𝑠𝑠e com todos os zeros de 𝐺𝐺1 𝑠𝑠 refletidos de forma simétrica com o eixo imaginário no semiplano direito é chamada de FT de fase nãomínima Sistemas de fase mínima e não mínima Exemplo 1 G1s s1s10 G2s s1s10 Plano s jω θ2 θ1 σ 10 1 Plano s jω θ2 θ1 σ 10 1 G1jω arctan ω arctan ω10 G2jω 180 arctan ω arctan ω10 Exemplo 2 G1jω 1 jωT1 jωT1 G2jω 1 jωT1 jωT1 0 T1 T Retardo de Transporte ou Tempo Morto 𝐺𝐺 𝑠𝑠 𝑋𝑋𝑠𝑠𝑡𝑡 𝐺𝐺 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑋𝑋𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 É o atraso entre a variação do sinal de controle e o início da variação de saída Exemplo Transporte de fluído em linhas longas Retardo de Transporte ou Tempo Morto Gjω 0 dB Gjω ejωT 01 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 ωT 0 100 200 300 400 500 600 Exemplo 3 Construa o diagrama de Bode da seguinte função de transferência 𝐺𝐺 𝐽𝐽𝜔𝜔 𝑋𝑋𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 1 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔