Projeto de Compensadores e Sintonia de Controladores PID - Especificações no Domínio do Tempo

Controles II Profa Milena Faria Pinto Dra Projeto de Compensadores no tempo Especifições no domínio do tempo Na análise de sistemas dinâmicos as especificações no domínio do tempo referemse a parâmetros que descrevem o comportamento temporal de um sistema Especifições no domínio do tempo Tempo de Subida Rise Time tr Tempo necessário para a resposta do sistema atingir de 10 a 90 de sua amplitude final Tempo de Estabilização Settling Time ts Tempo necessário para a resposta do sistema entrar e permanecer dentro de uma faixa específica ao redor da amplitude final geralmente 2 ou 5 Overshoot OS A porcentagem pela qual a resposta ultrapassa a amplitude final Tempo de Pico tp Tempo necessário para atingir o valor máximo da resposta Tempo de Acomodação Tempo necessário para a resposta atingir uma determinada porcentagem geralmente 2 ou 5 da amplitude final pela primeira vez Frequência Natural Não Amortecida ωn 4 Especifições no domínio do tempo Equação do sistema de segunda ordem Tempo de Atraso Tempo de Subida Tempo de Pico Tempo de Acomodação Tempo de Overshoot Os propósitos de sistemas de controle 5 Fazer com que a saída seja insensível à ação de distúrbios externos Utilizar as informações disponíveis a respeito das perturbações e da dinâmica da planta para obter uma estimativa da variável de controle Cabe ao esquema de realimentação compensar apenas os desvios da saída com relação àquela resultante da ação do précompensador Sintonia de Controladores PID 6 Objetivo Determinar Kp Ki e Kd de modo a satisfazer as especificações de projeto Sintonia de Controladores PID 7 Objetivo Determinar Kp Ki e Kd de modo a satisfazer as especificações de projeto Sintonia de Controladores PID 8 O controlador PID apresenta muitas vantagens A maior parte dos controladores industriais empregam esquemas de controle baseados em PID Os controladores PID na indústria comumente são ajustados empiricamente tentativaerro Regras empíricas são propostas na literatura e permitem ajustar os parâmetros do PID sem conhecimento do modelo matemático da planta Tais regras fornecem estimativas dos valores dos parâmetros do controlador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia mais fina caso necessária Sintonia de Controladores PID 9 O controlador é Objetivo Como escolher Kp Ki e Kd de modo a satisfazer as especificações de projeto A resposta pode ser muito difícil de se obter A literatura sugere alguns métodos mas estes ainda possuem muitas limitações 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 Exemplo Controlador PD 10 Projetar um controlador de posição de um drone Exemplo Controlador PD 11 A planta seria o sistema físico que está sendo controlado que é o próprio drone O objetivo é manter a altitude do drone constante apesar das variações causadas por ventos mudanças na carga entre outros fatores Supondo que o diagrama de blocos abaixo representa a planta a ser controlada 𝐺𝐺𝑝𝑝 𝑠𝑠 4500𝐾𝐾 𝑠𝑠𝑠𝑠 3612 Exemplo Controlador PD 12 Projeto Determine o controlador Gcs de modo que aErro estacionário devido a entrada rampa unitária 0000433 bMáximo overshoo𝑡𝑡 5 cTempo subida 𝑡𝑡𝑟𝑟 0005 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 dTempo assentamento 𝑡𝑡𝑠𝑠 0005 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Planta Drone para Controle de Altitude Variável Controlada Saída Altitude do Drone Variável Manipulada Entrada Ajuste da Potência dos Motores Exemplo Controlador PD 13 Solução 1 Vamos adotar o controlador no formato proporcional Para satisfazer item a temos Então 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐾𝐾 lim 𝑠𝑠0 𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑝𝑝 𝑠𝑠 lim 𝑠𝑠0 𝑠𝑠 4500𝐾𝐾 𝑠𝑠𝑠𝑠 3612 1245𝐾𝐾 0000443 𝑠𝑠𝑒𝑒 1 1245𝐾𝐾 𝐾𝐾 18118 Usando a malha fechada 4500𝐾𝐾 𝑠𝑠 𝑠𝑠 3612 4500𝐾𝐾 𝜔𝜔𝑛𝑛² 𝑠𝑠2 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛² 𝜔𝜔𝑛𝑛2 4500𝐾𝐾 4500 18118 815310 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 3612 𝜔𝜔𝑛𝑛 902945 𝜉𝜉 02 Exemplo Controlador PD Adotando K 18118 Encontramos ξ 02 Este valor produz Máximo Overshoot de 527 que não satisfaz especificação MO 100eξπ sqrt1 ξ2 Aumentandose K também aumenta o Máximo Overshoot Conclusão controlador proporcional não atende o projeto Projeto bMáximo overshoot 5 Exemplo Controlador PD 15 Solução 2 Vamos adotar o controlador PD Vamos adotar K18118 Então a nova Gs resultante ou seja 𝐺𝐺 𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑝𝑝 𝑠𝑠 é 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝐺𝐺 𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 3612 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐹𝐹𝑠𝑠𝐹𝐹𝑀𝑀𝑀𝐹𝐹𝑀𝑀 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠2 3612 815265𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑣𝑣 lim 𝑠𝑠0𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 3612 22571𝐾𝐾𝑃𝑃 Para calcular a especificação do itema temos Exemplo Controlador PD 16 𝐾𝐾𝑣𝑣 lim 𝑠𝑠0𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 3612 Então 0000443 𝑠𝑠𝑒𝑒 1 𝐾𝐾𝑉𝑉 𝐾𝐾𝑣𝑣 lim 𝑠𝑠0𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑠𝑠 3612 22571𝐾𝐾𝑃𝑃 Vamos considerar 𝐾𝐾𝑑𝑑 muito pequeno ou seja 𝐾𝐾𝑑𝑑0 Então 0000443 1 𝐾𝐾𝑉𝑉 1 22571𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑃𝑃 1 Exemplo Controlador PD 17 Vamos considerar 𝐾𝐾𝑑𝑑 muito pequeno ou seja 𝐾𝐾𝑑𝑑0 Então 𝑀𝑀𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠2 3612 815265𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝑠𝑠2 3612 815265𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝜔𝜔𝑛𝑛² 𝑠𝑠2 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛² 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛3612 815265𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑛𝑛² 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝜉𝜉 ln 005 𝜋𝜋2 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙005 07 Para satisfazer item b temos que Mo 005 o que implica em Exemplo Controlador PD 18 𝜉𝜉 ln𝑀𝑀𝑀𝑀 𝜋𝜋2 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑀𝑀𝑀𝑀 Portanto Mo 005 requer 07 𝜉𝜉 1 Vamos adotar 𝜉𝜉 07 Para satisfazer item b temos que Mo 005 o que implica em 𝜉𝜉 ln 005 𝜋𝜋2 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙005 07 Exemplo Controlador PD 19 Vamos adotar 𝐾𝐾𝑝𝑝1 pois satisfaz item a Lembrese que 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛3612 815265𝐾𝐾𝑑𝑑s 𝜔𝜔𝑛𝑛² 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑟𝑟 08 25𝜉𝜉 𝜔𝜔𝑛𝑛 Substituindo 𝐾𝐾𝑝𝑝1 e 𝜉𝜉 07 então vamos encontrar 𝜔𝜔𝑛𝑛 90292 e 𝐾𝐾𝑑𝑑𝑠𝑠 0001107 Com estes valores calculamos 𝑡𝑡𝑠𝑠 4 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 O tempo 𝑡𝑡𝑠𝑠 não atende a especificação É necessário escolher outro valor para 𝐾𝐾𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑟𝑟 0825𝜉𝜉 𝜔𝜔𝑛𝑛 000282 seg 𝑡𝑡𝑠𝑠 4 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 000632 seg Exemplo Controlador PD 20 Vamos adotar 𝐾𝐾𝑝𝑝10 pois satisfaz item a Lembrese que 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛3612 815265𝐾𝐾𝑑𝑑 𝜔𝜔𝑛𝑛² 815265𝐾𝐾𝑃𝑃 𝑡𝑡𝑟𝑟 000089 seg Assim encontramos 𝜔𝜔𝑛𝑛 285528 e 𝐾𝐾𝑑𝑑 00046 Com estes valores calculamos 𝑡𝑡𝑠𝑠 0002 seg Assim chegamos a um valor de 𝐾𝐾𝐷𝐷 muito pequeno Logo 𝑲𝑲𝑷𝑷10 e 𝑲𝑲𝑫𝑫000446 atendem as especificações desejadas para o controlador de posição do avião 𝑡𝑡𝑟𝑟 08 25𝜉𝜉 𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑠𝑠 4 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 Exemplo Controlador PI 21 Projeto Determine o controlador Gcs de modo que a Erro estacionário devido a entrada parabólica unitária 02 b Máximo overshoo 𝑡𝑡 5 Exemplo Controlador PI Solução 1 Vamos adotar o controlador no formato proporcional GCs KP Ki s Então a nova Gs resultante ou seja Gs GCsGPs é Gs 815265KP Kis ss 3612 815265KPs KiKP s2s 3612 Exemplo Controlador PI Gs 815265KP Kis ss 3612 815265KPs KiKP s2s 3612 Para calcular a especificação do item a temos Kv lims 0 s2 815265KP s Ki KP s2s 3612 815265Ki 3612 22571Ki Então 02 ee 1 Ka 1 22571Ki Ki 0002215 02 1 Ka 1 22571Ki Ki 0002215 Exemplo Controlador PI Para satisfazer item b temos que 𝑀𝑀𝑀𝑀 005 o que implica em 𝜉𝜉 ln 005 𝜋𝜋2 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙005 07 Portanto MO 005 requer 07 𝜉𝜉 1 Vamos adotar 𝜉𝜉 07 𝜉𝜉 ln 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝜋𝜋2 𝑀𝑀𝑙𝑙𝑙𝑀𝑀𝑀𝑀 Exemplo Controlador PI 2ξωn3612 ωn²815265KP Usando ξ1 nas fórmulas Obtemos ωn2554 e KP008 Perceba que a única restrição é KiKP seja muito pequeno ou seja aproximadamente zero Aqui adotamos muito pequeno como sendo KiKP05 pois esse valor quando comparado ao 815265 é desprezível Conclusão KP008 e KI004 satisfazem as especificações do projeto Exemplo Controlador PI Vamos considerar também KiKP muito pequeno ou seja aproximadamente 0 Logo Gs815265KPsKiKPs²s3612815265KPss3612 Usando essa Gs aproximada acima encontramos Malha Fechada 815265KPs²3612s815265KP ωn²s²2ξωnsωn² 2ξωn3612 ωn²815265KP Exemplo Controlador PI A figura mostra a influência da escolha de KiKP no máximo overshoot tempo de subida tr e tempo de assentamento ts Discussão de Métodos 28 Note que nos métodos anteriores realizouse um desenvolvimento algébrico matemático para determinar 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑑𝑑 Não desenvolvemos método para calcular os três parametros 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑑𝑑 Os métodos anteriores necessitam de um modelo matemático Gs Sem o conhecimento de Gs não se pode aplicar os métodos Os métodos anteriores só se aplicam para restrições básicas em controle tais como o Máximo Overshoot tempo de subida e tempo de assentamento Os métodos anteriores só se aplicam para sistemas de ordem pequena grau 2 Há métodos mais elaborados que tratam de sistemas de ordem superior a 2 mas não há garantia de cumprimento das especificações Métodos de Sintonia 29 Métodos Baseados na Curva de Reação Métodos Baseados na Curva de Reação Baseados na resposta experimental da planta em malha aberta ao sinal de excitação em degrau Aplicase entrada degrau na entrada e observa se a saída possui um formato S Caso a planta não possua integradores e nem polos complexos a resposta ao degrau pode ter o aspecto de um S Curva de reação Os métodos baseados na curva de reação se aplicam somente em plantas com resposta ao degrau que tenham esse aspecto 30 Métodos Baseados na Curva de Reação A curva em S pode ser caracterizada pelo ganho estático K pelo atraso L e a constante de tempo T A função de transferência pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem com atraso de transporte A função de transferência 𝑠𝑠𝐿𝐿𝑠𝑠 corresponde a um atraso no tempo Daí o nome atraso de transporte ou tempo morto 31 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝑅𝑅𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑠𝑠𝐿𝐿𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑠𝑠 1 Métodos Baseados na Curva de Reação Serão apresentadas três formas distintas de se obter K L e T Na primeira forma desenhase uma linha tangente ao ponto de inflexão e determinase a interseção desta linha com ct0 e ctK T é dado pela distância AC enquanto que L é dado pela distância desde a origem até o ponto de interseção da reta traçada com o eixo t A inclinação da reta é P 𝐾𝐾 𝑇𝑇 como mostrado na Figura 32 Método de Ziegler e Nichols Ziegler e Nichols sugeriram escolher 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑇𝑇𝐼𝐼 𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑑𝑑 de acordo com a seguinte tabela 33 Método de Ziegler e Nichols 34 O método ZieglerNichols considera a forma de identificação curva S Os valores nesta tabela foram determinados de forma empírica O controlador PID sintonizado por esse método fornece 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑃𝑃1 1 𝑇𝑇𝐼𝐼𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑑𝑑𝑠𝑠 06 𝑃𝑃 𝑠𝑠 1 𝐿𝐿 2 𝑠𝑠 O método ZieglerNichols possui um polo na origem e zeros duplos em s1L Método de Ziegler e Nichols Exemplo Considere um processo a ser controlado com a seguinte FT 35 𝐺𝐺 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 05𝑠𝑠 1𝑠𝑠 1𝑠𝑠 2 O sistema de controle engloba um controlador PID em série com a planta compensação em série e realimentação unitária Utilize o método de sintonia de ZiegleNichols em malha aberta para obter uma estimativa dos parâmetros do controlador PID Método de Ziegler e Nichols Exemplo 36 Solução Verificase que L13 T545 K1 Método de Ziegler e Nichols Exemplo 37 𝐺𝐺 𝑠𝑠 327 𝑠𝑠 07692² 𝑠𝑠 Solução Verificase que L13 T545 K1 Logo segundo o método de ZieglerNichols da curva de reação 𝐾𝐾𝑝𝑝 503 𝑇𝑇𝐼𝐼 26 𝑇𝑇𝑑𝑑 065 A FT do controlador Método de Ziegler e Nichols Exemplo 38 Os valores 𝐾𝐾𝑝𝑝 503 𝑇𝑇𝐼𝐼 26 𝑇𝑇𝑑𝑑 065 geram resposta bastante oscilatória Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partida para logo após realizarse uma sintonia fina Métodos de Sintonia Sensibilidade Limite 39 Métodos Baseados na Sensibilidade Limite 40 Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle Considera somente a ação proporcional 𝐾𝐾𝑃𝑃 para levar o sistema à condição de oscilação sustentada Inicialmente assuma 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑑𝑑 0 Métodos Baseados na Sensibilidade Limite 41 Utilizando apenas a ação proporcional aumente 𝐾𝐾𝑃𝑃 de 0 a 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟 no qual a saída atinja uma oscilação sustentada ou seja o sistema equivalente tornese marginalmente estável Se a saída não apresentar uma oscilação sustentada então esse método não se aplica ou seja o sistema deve ser capaz de instabilizar com o aumento do ganho para que o método seja aplicado Métodos Baseados na Sensibilidade Limite 42 Se a saída apresentar uma oscilação sustentada então marque o valor 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑟𝑟 A fórmula a seguir é válida 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑟𝑟 2𝜋𝜋 𝜔𝜔𝑐𝑐𝑟𝑟 2º Método de ZieglerNichols 43 ZieglerNichols sugeriram escolher 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑠𝑠𝐾𝐾𝑑𝑑 de acordo com a seguinte tabela 2º Método de ZieglerNichols 44 Considere o sistema de controle Aplique o 2º método de ZieglerNichols para obter um controlador PID 𝐺𝐺𝑠𝑠 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 1𝑠𝑠 5 Exemplo 2º Método de ZieglerNichols Exemplo 45 Solução A FT de malha fechada do sistema considerando 𝑇𝑇𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑑𝑑 0 é dada por 𝑌𝑌𝑠𝑠 𝑅𝑅𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑠𝑠 1 𝐺𝐺𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝐺𝐺𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 5 𝐾𝐾𝑝𝑝 O valor de Kp que leva o sistema a uma oscilaçãao sustentada 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟 pode ser obtido pelo critério de RouthHurwitz 2º Método de ZieglerNichols Exemplo 46 𝑗𝑗𝜔𝜔 3 6 𝑗𝑗𝜔𝜔 2 5 𝑗𝑗𝜔𝜔 30 0 6 5 𝜔𝜔2 𝑗𝑗𝜔𝜔 5 𝜔𝜔2 0 Com isso 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟 30 A frequência de oscilação sustentada é encontrada substituindose 𝑠𝑠 𝑗𝑗𝜔𝜔 na equação característica ou seja Logo 𝜔𝜔2 5 𝜔𝜔 5 Portanto 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑟𝑟 2𝜋𝜋 𝜔𝜔 2𝜋𝜋 5 28099 Encontramos 𝐾𝐾𝑝𝑝 06𝐾𝐾𝑐𝑐𝑟𝑟 18 𝑇𝑇𝑖𝑖 05𝑃𝑃𝑐𝑐𝑟𝑟 1405 𝑇𝑇𝑑𝑑 0125𝑃𝑃𝑐𝑐𝑟𝑟 035124 2º Método de ZieglerNichols Exemplo 47 A função do controlador PID é dada por 𝐺𝐺𝑐𝑐𝑠𝑠 𝐾𝐾𝑝𝑝 1 1 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑠𝑠 𝑇𝑇𝑑𝑑𝑠𝑠 18 1 1 1405𝑠𝑠 035124s Prática PID 49 import control as ctrl import matplotlibpyplot as plt Defina a função de transferência do sistema numerator 1 denominator 1 3 2 s1s2 system ctrlTransferFunctionnumerator denominator Calcule a resposta ao degrau do sistema não controlado timeuncontrolled responseuncontrolled ctrlstepresponsesystem Plote a resposta ao degrau do sistema não controlado pltfigurefigsize8 6 pltplottimeuncontrolled responseuncontrolled labelSem Controle kp 2 Ganho proporcional ki 1 Ganho integral kd 05 Ganho derivativo controller ctrlTransferFunctionkd kp ki 1 0 Sistema em malha fechada planta controlador systemwithpid ctrlfeedbacksystem controller Calcule a resposta ao degrau do sistema com PID timecontrolled responsecontrolled ctrlstepresponsesystemwithpid Plote a resposta ao degrau do sistema com PID pltplottimecontrolled responsecontrolled labelCom PID plttitleResposta ao Degrau Sistema Não Controlado e Controlado com PID pltxlabelTempo pltylabelAmplitude pltlegend pltgridTrue pltshow PID Resposta ao Degrau Sistema Não Controlado e Controlado com PID Sem Controle Com PID Amplitude Tempo