Analise Real - Maximos e Minimos - Aula 10

André Gustavo Campos Pereira Viviane Simioli Medeiros Campos Análise Real Máximos e mínimos Autores aula 10 D I S C I P L I N A Aula 10 Análise Real Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte UFRNBiblioteca Central Zila Mamede Coordenadora da Produção dos Materiais Vera Lucia do Amaral Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Projeto Gráfi co Ivana Lima Revisora de Estrutura e Linguagem Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisoras Tipográfi cas Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz Arte e Ilustração Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Hugenin Leonardo Feitoza Diagramadores Joacy Guilherme de A F Filho José Antonio Bezerra Junior Adaptação para Módulo Matemático Joacy Guilherme de A F Filho Governo Federal Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância SEED Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor José Ivonildo do Rêgo ViceReitora Ângela Maria Paiva Cruz Secretária de Educação a Distância Vera Lucia do Amaral Secretaria de Educação a Distância SEDIS Pereira André Gustavo Campos Análise real André Gustavo Campos Pereira Viviane Simioli Medeiros Campos Natal RN EDUFRN 2009 196 p ISBN 978 85 7273 561 2 ISBN Conteúdo Aula 01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções Aula 02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis Aula 03 Números reais Aula 04 Sequências de números reais Aula 05 Desigualdades operações com sequências e limites infi nitos Aula 06 Séries numéricas Aula 07 Limite de funções Aula 08 Funções contínuas Aula 09 Funções deriváveis Aula 10 Máximos e mínimos 1 Análise matemática 2 Enumerabilidade 3 Limite 4 Continuidade 5 Derivadas I Campos Viviane Simioli Medeiros II Título CDD 515 RNUFBCZM 200966 CDU 517 Aula 10 Análise Real 1 Apresentação N os problemas práticos estamos interessados frequentemente nos pontos de máximo de mínimo ou de inflexão de uma função Por exemplo se estamos tratando de uma função lucro gostaríamos de saber qual o ponto em que esta função atinge o seu valor máximo ou mínimo se estamos tratando com prejuízo gostaríamos de saber qual o ponto que atingímos o seu valor máximo ou mínimo Já quando estamos estudando o comportamento de um dado fenômeno gostaríamos de saber em que momento teremos uma mudança no comportamento do processo quero dizer se estamos analisando o com portamento da crise econômica por que passamos gostaríamos de saber se a crise está enfraquecendo e se quando começaremos a esboçar uma reação Nesta aula mostraremos como utilizar a propriedade das funções deriváveis para encontrar os pontos de máximo mínimo e de inflexão Objetivos Esperamos que ao final desta aula você possa saber encontrar e caracterizar os pontos em que ocorrem o máximo ou o mínimo ou o ponto de in flexão de uma função f e entenda cada um destes comportamentos Aula 10 Análise Real x fc fx fy c y x fc fx fy c y Em ambos os desenhos c é um ponto de máximo local 2 Para iniciarmos esta aula nada melhor do que explicar o que significa cada termo que usamos na apresentação Já vimos estes termos antes nas aulas de cálculo I mas não custa nada recordarmos Definição 1 Uma função f I tem um máximo local em c se existe ε 0 tal que fc fx x I tal que x c ε f tem mínimo local em d se existe δ 0 tal que fd fx x I tal que x d δ Em outras palavras c é um ponto de máximo local da função f I se os valores da função calculada nos pontos do domínio x próximos de c são menores ou iguais por que o ponto c é um destes pontos que o valor fc Atividade 1 Faça a interpretação de d ser ponto de mínimo local da função f I Mais adiante nesta aula mostraremos porque a derivada é usada para descrever o com portamento de crescimento e decrescimento de uma função mas já tivemos em Cálculo I uma idéia intuitiva deste fato Usando esse conhecimento prévio de que a derivada nos dá essa informação de onde a função cresce e de onde ela decresce seria de esperar que pudéssemos utilizar este conceito de derivada para encontrarmos máximo ou mínimo local de uma função É exatamente disso que trata o seguinte Teorema 1 Seja f I ℝ derivável em intI Se existir um máximo local ou um mínimo local em c intI então fc 0 Demonstração Hipótese Existe um máximo local em c intI Tese fc 0 Da hipótese temos que existe ε 0 tal que fc fx x I com x c ε ou ainda fc fx x I com c ε x c ε Em particular 1 fc fx x I com cε x c que implica em qx fxfcxc 0 2 fc fx x I com c x cε que implica em qx fxfcxc 0 Como f é derivável em c temos fc fc fc De 1 temos fc lim xc qx 0 De 2 temos fc lim xc qx 0 Logo 0 f c fc f c 0 fc 0 Atividade 2 Prove o caso de mínimo local Vemos então que encontrar os pontos c do domínio da f em que fc 0 tem uma certa importância pois são possíveis pontos de máximo ou de mínimo O teorema seguinte mostra uma situação em que garantimos a existência de um ponto dentro de um certo intervalo com a propriedade requerida Teorema 2 Rolle Seja f a b ℝ contínua no intervalo fechado a b e derivável no intervalo aberto a b com fa fb 0 Então existe c a b tal que fc 0 Aula 10 Análise Real 3 Aula 10 Análise Real 4 Demonstração Hipótese f a b contínua no intervalo fechado a b e derivável no intervalo aberto a b com fa fb 0 Tese Existe c a b tal que fc 0 Se f é constante então fx 0 x a b e o teorema está provado Se f não é constante então x a b tal que fx 0 suponha fx 0 Sendo f contínua em a b vimos que f assume seu máximo e seu mínimo em a b Como fx 0 e fa fb 0 então o mínimo fc deve ser assumido num ponto c a b Assim temos uma função f I derivável no interior de I com um mínimo c intI a b fc 0 pelo teorema anterior Atividade 3 Suponha que fx 0 e argumente no sentido de demonstrar o teorema Portanto em qualquer caso é possível encontrar c a b tal que fc 0 2 Observação 1 O teorema anterior vale também se fa fb cte k Para ver isso basta definir gx fxk Então g é contínua em a b derivável em a b e ga gb 0 Logo vale o teorema de Rolle ou seja c a b tal que gc 0 Ora mas gc fc fc 0 Uma versão mais completa do teorema anterior pode ser encontra na seguinte versão Teorema 3 Valor Médio Seja f a b contínua no intervalo fechado a b e derivável no intervalo aberto a b Então existe c a b tal que fc fb fa b a Aula 10 Análise Real a fc fb c b fa Existe um ponto c ab tal que a reta tangente à este ponto é paralela à reta que passa pelos pontos afa e bfb 5 O que este teorema diz é que existe um ponto c dentro do intervalo de definição da função tal que a reta tangente ao gráfico da função neste ponto tem a mesma inclinação que a reta que liga a fa a b fb ver desenho abaixo Não existe porém a garantia de unicidade de tal ponto c Assim se o valor da função nos extremos do intervalo são iguais a reta que liga estes pontos a fa e b fb terá inclinação zero e pelo teorema teremos que existirá um ponto c no interior do intervalo tal que fc 0 que é exatamente o que os teoremas anteriores afirmam Demonstração Hipóteses f é contínua em a b e derivável em a b Tese c a b tal que fc fb fa b a Note que se fa fb então recaímos no teorema de Rolle já que teríamos de mostrar que existe um c a b tal que fc 0 Vamos tentar utilizar o teorema de Rolle para demonstrar este teorema Como Trabalhando com a f de modo a conseguir outra função F que atenda ao teorema de Rolle Por exemplo se conseguirmos uma função g tal que ga fa e gb fb e definimos Fx fx gx Fa Fb 0 Se g for contínua em a b en tão F também o será Além disso se g for derivável em a b a F tambem será e teremos as hipóteses de Rolle satisfeitas o que nos garantirá c a b tal que F c 0 fc gc 0 fc gc Então a idéia é procurar uma função g a b contínua em a b derivável em a b com ga fa gb fb e gc fb fa b a Por incrível que pareça tal função é exatamente a reta que liga a fa a b fb a saber gx fb fa b a x a fa Aula 10 Análise Real 6 Portanto defina g a b dada por gx fb fa b a x a fa Logo g é contínua em a b e derivável em a b Além disso ga fa gb fb e gx fb fa b a x a b Definimos agora F a b por Fx fx gx F é contínua em a b derivável em a b e Fa Fb 0 Rolle c a b tal que F c 0 mas por outro lado F c fc gc 0 e fc gc fb fa b a Atividade 4 Você consegue utiizar este teorema para garantir a validade do teorema de Rolle ou seja assumindo as hipóteses do teorema de Rolle podemos com este teorema garantir a existência de um ponto c a b tal que fc 0 Continuemos a estudar os pontos c tais que fc 0 por exemplo e se em todos os pontos do domínio da f tivéssemos fx 0 Responderemos isso no seguinte Teorema 4 Seja f I contínua em I e tal que fx 0 x intI Então f é constante Demonstração Hipótese f I contínua em I derivável em intI com fx 0 x intI Tesef é constante Mostremos que quaisquer que sejam dois pontos z x que tomemos de I temos fz fx Sejam z x I com z x Como f é contínua em I então f é contínua em z x Como f é derivável no intI então f é derivável em z x Logo aplicando o teorema do valor médio para f restrita ao intervalo z x temos que c z x tal que fc fx fz x z Por hipótese fx 0 x intI que implica fc 0 Logo fx fz x z 0 fx fz 0 fx fz Como z x I foram quaisquer então f é constante Aula 10 Análise Real 7 Como havíamos comentado no início desta aula chegou o momento de mostrar porque a derivada nos dá a informação sobre o crescimento e decrescimento de uma função em um dado intervalo Teorema 5 Seja f a b derivável Então 1 fx 0 x a b f é nãodecrescente 2 fx 0 x a b f é nãocrescente 3 fx 0 x a b f é crescente 4 fx 0 x a b f é decrescente Demonstração Hipótese fa b derivável e fxge0x a b Tesef é nãodecrescente Item 1 Sejam x1 x2 a b com x1 x2 Então temos que f x1 x2 é contínua em x1 x2 derivável em x1 x2 e pelo teorema do valor médio c x1 x2 tal que fc fx2 fx1 x2 x1 Como por hipótese fx 0 x a b então fc 0 o que implica fx2 fx1 x2 x1 0 fx2 fx1 já que x2 x1 0 Como x1 x2 foram quaisquer em a b temos que f é nãodecrescente Atividade 5 Demonstre os itens 2 3 e 4 do Teorema 5 Aula 10 Análise Real 8 Fórmula de Taylor Na primeira aula desta disciplina falamos sobre lemas teoremas definições etc Neste ponto de nossa aula ficará claro como de vez em quando precisamos de ferramentas para podermos dar prosseguimento no que estávamos falando Nosso foco até o momento era pontos de máximo e de mínimo ou mais abrangentemente os intervalos de crescimento e de crescimento de uma função Nesta seção desenvolveremos uma ferramenta que utilizaremos mais na frente para encerrar nossa discussão sobre derivadas versus pontos de máximo e mínimo Essa ferramenta é a fórmula de Taylor Dada f a b temos que do mesmo modo que definimos f a b podemos definir f a b f a b fn a b onde f é a função derivada de f e chamada derivada segunda ou seja se o limite lim xc fx fc x c existe definimolo como fc Dizemos que f a b é derivável em a b se é derivável em a b isto é lim xc fx fc x c c a b e se as derivadas laterais f a e f b existem Teorema 6 fórmula de Taylor Seja f a b Suponha que as derivadas f f fn existam e sejam contínuas em a b e que fn1 exista em a b Seja c a b qualquer fixado Então para cada x a b x c existe ξ entre x e c tal que fx fc fcx c 1 nfncx cn Rn1 onde Rn1 1 n 1fn1ξx cn1 Demonstração Hipóteses As derivadas f f fn existem e são contínuas em a b fn1 existe em a b e c a b fixado Tese Para cada x a b x c existe ξ entre x e c tal que fx fc fcx c 1 nfncx cn Rn1 onde Rn1 1 n 1fn1ξx cn1 Seja x a b x c consideremos o caso x c O ponto x ficará fixado durante toda a demonstração Definimos F x c ℝ por Ft fx ft ftx t 1n fntx tn 1n 1 kx tn1 onde k será determinado posteriormente Podemos garantir que F é contínua em x c e derivável em x c já que f f fn x t x t2 x tn1 o são Escolhamos k de modo que Fc 0 ou seja k fx fc fcx c fncnx cn n 1x cn1 Com isto F satisfaz todas as hipóteses do teorema de Rolle ξ x c tal que Fξ 0 Mas Ft ft ftx t ft ftx t22 ft2x t2 f4tx t33 ft3x t23 fn1tx tnn fntnx tn1n n 1n 1 kx tn fn1tx tnn kx tnn k fn1tx tnn De Fξ 0 temos k fn1ξ Mas k fn1ξ fx fc fcx c fncx cnn n 1x cn1 fx fc fcx c fncx cnn fn1ξx cn1n 1 O que demonstra o teorema Observação 2 Quando escrevemos Px fc fcx c fncnx cn o teorema anterior nos diz que fx difere de Px por Rn1 isto é fx Px Rn1 Aula 10 Análise Real 9 Exemplo 1 Considere fx ex Sabemos que fnx ex n Assim tomando c 0 temos Px f0 f0x 0 12 f0x 02 fn0n x 0n 1 x x22 xnn Rn1 fn1ξx 0n1n 1 eξxn1n 1 e ex Px eξxn1n 1 Se x 1 temos a seguinte aproximação ex Px eξxn1n 1 eξn 1 en 1 ou seja para um x 1 podemos aproximar ex por um polinômio com uma precisão melhor que en 1 Pontos Críticos de uma Função Retomemos o foco central de nossa aula seja f a b ℝ Desde o início desta aula estamos tratando com pontos c onde fc 0 tais pontos são chamados pontos críticos da f Definição 2 Um ponto crítico c é chamado ponto de inflexão horizontal de f se existe ε 0 tal que fx fc para c ε x c fx fc para c x c ε ou fx fc para c ε x c fx fc para c x c ε Seja c a b um ponto onde f tem um máximo local Este máximo é denominado estrito se fc fx para x a b com 0 x c ε para algum ε 0 Aula 10 Análise Real 10 Note que a única diferença entre máximo estulto e máximo local é que quando façamos 0 x c e a primeira parte 0 x c de que estamos apenas olhando para os pontos diferentes de c Na definição do mximo local o próprio ponto c também era analisado Seja de ay um ponto onde f tem um mximo local Este mínímo é denomiado estulto se fa fc para a G a 5 com 0 x Uc 5 para algun D Será que podemos colocar m au para testar pontos de inflexão quem dessas mudanáo um pequenho a definição ainda acharermos un ponto de inflexão verdadeiro Por exemplo se estefr e 0 tal que fc Jo para e x c a 1 fo Joc para c o c e ainda é ponto de inflexão A resposta é NÃO como mostra o seguinte Exemplo 2 fx 0 se a 0 ao se ax 0 Note que ƒ0 lim lim lim 0 0 0 c 0 cr 0 c f0 lim lim 000 Logo f é definída em 0 e f0 0 é ponto critico de condição necessária para ser ponto crítico Então jestud que fx f0 para ε x 0 fx oc 0 para 0 x é Logo 0 não é ponto de inflexão entretanto note que a função dada satisfaz fx f0 para e x 0 fx f0 para 0 x e ou seja se tivéssemos utilizado esta expressão como definição teríamos chegado que 0 é um ponto de inflexão quando de fato não o é Portanto cuidado quando forem usar a definição de alguma coisa utilizem a definição correta Outra coisa que queremos chamar a atenção é que para utilizar a definição corretamente devemos checar tudo o que se pede na definição antes de garantirmos que alguma coisa de fato é o que afirmamos O exemplo seguinte mostra o que pode acontecer se checarmos apenas algumas condições e não todas as condições necessárias Exemplo 3 fx 3x se x 0 4x se x 0 Existe e 0 tal que fx f0 para e x 0 Archivo 10 fx f0 para 0 x e 0 Entretanto f0 4 f0 3 Logo f0 não existe 0 não é ponto crítico 0 não pode ser ponto de inflexção Teorema 7 Seja a b real derivável em a b e seja c um ponto crítico de ƒ 1 Se existe e 0 tal que fx 0 x c e c fx 0 x E c c e então f tem máximo local em c 2 Se existe e 0 tal que fx 0 x c e c fx 0 x E c c e então f tem mínimo local em c 3 Se as desigualdades em e forem estritas então o máximo ou mínimo correspondente é estrito Demonstração do item 1 Hipóteses ƒ é derivável em a b fc 0 e existe e 0 tal que fx 0 x c e c fx 0 x E c c e Tese f tem máximo local em c Das hipóteses temos que f derivável em a b f derivável em c e c Também fx 0 relc e c te f é nãodecrescente em c e c Da mesma forma temos que f é derivável em c c e e de fx 0 x c c e temos que f é nãocrescente em c c e Note então que pela continuidade de f temos lim jx fc lim fx lim x c x c ou seja VxnnN com xn c xn c fxn fc Devemos mostrar que fc fx Vx c e c Dado x c e c temos que se xnnEN xn c xn c existirá no tal que n no x xn Pela hipótese de f ser nãodecrescente em c e c temos fx fcxn para n no Como fxn fc temos c fx Como ax c e c foi qualquer temos fx fc x E c e c Devemos mostrar também que fc fx v x c c e Dado x 6 c c e considere xnnEIN c a b c com xn c xn c Logo existirá n1 en tal que n n1 xn x Como f é nãodecrescente em c c e temos fxn fx para n n1 Como fxn fc temos fc fx Como x c c e foi qualquer temos fc fx x e c c e Disso concluímos que Ǝε 0 tal que fc fx cx E c e c e c é um máximo local de f Aula 10 Análise Real 14 Atividade 6 Demonstre os demais itens do teorema 7 Atividade 7 Mostre que se f é nãocrescente em c ε c ε e c é ponto crítico de f então o item 1 do teorema anterior é satisfeito Atividade 8 Mostre que se f é nãodecrescente em c ε c ε e c é ponto crítico de f então o item 2 do teorema anterior é satisfeito Se a derivada segunda de f existisse o item 1 seria satisfeito se fx 0 x c ε c ε teo f é nãocrescente em c ε c ε item 1 Se a derivada segunda de f fosse contínuaentão o item 3 seguiria de fc 0 De fato pela continuidade da f ε 0 tal que fx 0 se x c ε item 3 Resumindo Se f a b tem derivada segunda contínua então um ponto crítico c é um ponto de máximo se fc 0 Se f a b tem derivada segunda contínua então um ponto crítico c é um ponto de mínimo se fc 0 O que acabamos de mostrar é o que utilizamos nos cursos de Cálculo para determinação de máximos e mínimos de funções reais Entretanto pode ocorrer de termos fc 0 e fc 0 Neste caso ainda teríamos como saber se o ponto crítico c é de máximo ou de mínimo O seguinte teorema responde esta questão Teorema 8 Seja f a b derivável n vezes e cujas derivadas f f fn sejam contínuas em a b Seja c a b tal que fc fc fn1c 0 e fnc 0 Então se n é par e fnc 0 f tem máximo em c fnc 0 f tem mínimo em c Se n é ímpar c é ponto de inflexão horizontal Aula 10 Análise Real 15 Demonstração n par e fnc 0 Hipótese f f fn são contínuas em a b fc fc fn1c 0 e fnc 0 Tese f tem máximo em c Como fn é contínua e fnc 0 ε 0 tal que fnx 0 x c ε c ε pela fórmula de Taylor ξ entre c e x ou seja ξ c ε c ε tal que fx fc fnξ n x cn fx fc fnξ n x cn Como n é par temos x cn 0 Também fnξ 0 fx fc 0 fc fx Como x c ε c ε x c foi qualquer temos fc fx x c ε c ε Portanto f tem máximo em c Atividade 9 Fazer os casos quando n é par com fnc 0 e quando n é ímpar Resumo Nesta aula vimos o que significa pontos críticos de uma função e que o mesmo pode ser um ponto de máximo ou de mínimo ou de inflexão Portanto para ter certeza de que tipo o ponto crítico é precisamos de mais informações Vimos também a fórmula de Taylor que nos mostrou como caracterizar o ponto crítico quando não podemos usar a informação da derivada segunda pois a mesma no ponto vale zero Vimos quando podemos garantir a existência de um ponto crítico no interior do intervalo Rolle e outras propriedades das funções deriváveis em um intervalo Teorema do valor médio Autoavaliação 1 Apenas a informação que c intDf é tal que fc 0 é suficiente para garantir que c é ponto de máximo Caso a resposta seja negativa que informações extras devemos ter 2 Um ponto de inflexão é um ponto de máximo e de mínimo simultaneamente Caso contrário explique o que significa ponto de inflexão 3 Uma função estritamente crescente pode ter ponto crítico 4 Uma função estritamente crescente pode ter um ponto de máximo local Aula 10 Análise Real 16 Anotações Referências FIGUEIREDO Djairo Guedes de Análise I Rio de Janeiro LTC 1996 LIMA Elon Lages Análise Real Volume 1Rio de Janeiro Instituto de Matemática Pura e Aplicada Coleção Matemática Universitária 1989 2º Semestre de 2009 Impresso por Gráfi ca EMENTA André Gustavo Campos Pereira Viviane Simioli Medeiros Campos Conjuntos fi nitos enumeráveis e nãoenumeráveis Números reais Cortes de Dedekind Sequências e séries de números reais Topologia da reta Limites de funções Funções contínuas Sequências e séries de funções Panorama histórico Análise Real MATEMÁTICA AUTORES AULAS 01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções 02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis 03 Números reais 04 Sequências de números reais 05 Desigualdades operações com sequências e limites infi nitos 06 Séries numéricas 07 Limite de funções 08 Funções contínuas 09 Funções deriváveis 10 Máximos e mínimos 12 UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte Secretaria de Educação a Distância Ministério da Educação Brasil Um país de todos Governo Federal