Prova 1 - Questões sobre Conjuntos e Propriedades de Corpos

Expectativa de resposta da Prova 1 Questão 1 Usando indução prove que Solução a Se vemos que é verdadeira a equação dada hipótese indutiva Supor que a equação seja verdadeira para é dizer é verdadeira a equação Agora provemos que para é verdadeira a equação De fato Escrevendo no do lado direito da equação dada temos Portanto a equação dada é válida para todo n natural b A prova do item b é análoga à prova do item a Questão 2 1 Defina a Conjunto finito b Conjunto enumerável 2 Prove que a é infinito e enumerável b O conjunto dos números pares é enumerável Solução 1 a Conjunto finito Dizemos que um conjunto é finito quando é vazio ou quando existe um e uma bijeção b Conjunto enumerável Um conjunto dizse enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção Neste caso dizse infinito enumerável 2Prove que a é infinito De fato não é limitada então não é finito portanto é infinito é enumerável de fato pois existe a função bijetora b Prove que o conjunto dos números pares é enumerável Seja o conjunto dos números pares E considere a função definida por é injetiva pois se então logo é sobrejetiva pois para todo existe tal que Portanto é um conjunto enumerável Questão 3 Usando o fato de ser um corpo prove a A unicidade do elemento neutro da adição ou seja se para todo então Prova Supor que são elementos neutros em então provemos que Se é neutro e então Se é neutro e então portanto b A unicidade do elemento inverso aditivo ou seja se então Prova Supor que possui dois inversos aditivos e então provaremos que Se possui dois inversos aditivos e então e logo então Questão 4 Usando o fato de ser um corpo ordenado prove que Para quaisquer vale Prova e Somando temos Então Logo Questão 5 Considere Encontre Justifique sua resposta Solução Como então e é limitado superiormente pois existe 10 tal que para todo elemento em Mostremos que De fato é uma cota superior de pois para todo Mostremos que qualquer número menor que não pode ser cota superior de Para isto considere onde então devemos achar um talque então não é cota superior de Vamos lá como então logo então Assim existe tal que então não é uma cota superior de portanto é a menor das cotas superiores Questão 6 a Mostre que o limite de uma sequência é único b Dê um exemplo de uma sequência que é limitada mas que não é convergente Solução a Se e então Supor que então e considere temos dois conjuntos disjuntos Por hipóteses temos que b Considere a sequencia é limitada mas não é convergente