Anuidades - Conceito Classificação e Valor Atual

CAPÍTULO 7 ANUIDADES 71 Introdução CONCEITO 71 Chamase de anuidade uma sucessão ou sequência de pagamentos ou recebimentos denominados termos da anuidade que ocorrem em datas preestabeleci das FARO LACHTERMACHER 2012 p 166 A denominação anuidade segue uma tendência internacional considerandose que nos primeiros sistemas de liquidação de dívidas em mais de um pagamento as prestações eram anuais embora hoje elas possam ser mensais trimestrais etc As anuidades também são co nhecidas na literatura como séries periódicas uniformes rendas certas SAMANEZ 2002 p 125 e prestações SAMANEZ 2002 p 86 DAL ZOT 2008 p 85 72 Valor atual de um fluxo de caixa Um diagrama de tempo ou fluxo de caixa é a representação gráfica de recebimentos eou pagamentos ao longo do tempo de um empréstimo uma aplicação financeira de um orça mento doméstico ou empresarial O diagrama de tempo de um empréstimo a ser pago em uma só vez é P o S n No Capítulo Juros compostos viuse que o valor atual VA0 ou P do pagamento da dívida S é dado pela equação Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Quando um empréstimo for pago por uma anuidade constituída por muitos e diferentes termos Rj o diagrama é conforme segue CONCEITO 72 Denominase valor atual de um fluxo de caixa a uma determinada taxa de juros e em determinada data focal a soma dos valores atuais de cada um dos termos do fluxo de caixa VA0 R0 R11 i R21 i2 Rn11 in1 Rn1 in 71 ou VA0 Rj1 ij 72 73 Classificação As anuidades podem ser classificadas Quanto ao prazo Temporárias Perpétuas Quanto à periodicidade Periódicas Não periódicas Quanto ao valor dos termos Constantes Variáveis Neste capítulo iremos estudar anuidades temporárias periódicas e constantes as quais podem ser quanto ao vencimento da primeira prestação Postecipadas quando a data de vencimento da primeira prestação primeiro termo ocorre 1 período após a data do empréstimo no comércio é comum identificar essa alternativa como sem entrada Antecipadas quando a data da primeira prestação coincide com a data do empréstimo com entrada Diferidas quando a data da primeira prestação ocorre mais de 1 período após a data do empréstimo Capítulo 7 Anuidades 53 74 Anuidades postecipadas Um empréstimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade postecipada sem entrada pode ser representado graficamente por um diagrama de tempo ou fluxo de caixa P 0 R 1 R 2 R n 1 R n Sabendose que o valor atual dos termos da anuidade deve ser igual ao principal P e que no caso das anuidades postecipadas os termos são iguais e representados por R temos a equação Lembrando conhecimentos da matemática do ensino médio o somatório cor responde à soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica cujo primeiro termo e cuja razão é Logo teremos O relacionamento entre as variáveis principal P prestação R número de prestações n e taxa de juros i passa a ser 73 Observe que a taxa de juros utilizada em anuidades é uma taxa composta Por quê Por que consideramos o principal como a soma dos valores atuais de cada prestação calculadas em juros compostos Por essa razão a equação contém elementos de exponenciação 741 Cálculo do principal P em função da prestação R EXEMPLO 71 Uma loja financiou um conjunto de móveis em 4 prestações mensais iguais a R 130000 a primeira delas a ser paga um mês após a compra sem entrada à taxa de juros de 25 ao mês Calcular o valor à vista da compra Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 54 Matemática Financeira Dados R 1300 n 4 pm post pelo enunciado tratase de uma anuidade postecipada i 25 0025 am P Solução Resposta R 489057 Usando a calculadora 1300 ALG RPN FIN 1025 yx 1025 ENTER clear fin 4 4 yx 1300 PMT 1 1 4 n 1025 yx 1025 ENTER 25 i 4 4 yx PV 0025 0025 4890566470 1300 1300 4890566470 4890566470 Ao usar o recurso financeiro préprogramado no cálculo de anuidades postecipadas deve ser acionada a opção END ou seja se no visor de sua calculadora aparecer BEGIN ou BEG devese alterar para a opção END desaparece BEGIN ou BEG do visor Na HP 12c é uma função azul da tecla 8 logo devese teclar e 75 Cálculo da prestação R em função do principal EXEMPLO 72 O cliente de uma loja adquiriu um televisor de 40 polegadas no valor à vista de R 220000 em 5 prestações mensais iguais sem entrada a uma taxa de juros de 3 ao mês Calcular o valor da prestação Dados P 2200 n 5 pm post i 3 003 am R Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 55 Solução 74 Resposta R 48038 Usando a calculadora ALG RPN FIN 1300 1300 clear fin 103 yx 103 ENTER 2200 PV 5 5 yx 5 n 003 003 3 i 103 yx 103 ENTER PMT 5 5 yx 480380057 1 1 2200 2200 480380057 480380057 751 Cálculo da taxa i EXEMPLO 73 O financiamento de um computador no valor de R 370000 é feito em 10 prestações mensais iguais a R 42714 a primeira vencendo um mês após a compra Calcular a taxa mensal de juros utilizada Dados P 3700 n 10 pm post R 42714 im Solução Na equação acima o leitor deve observar que não é matematicamente possível isolar a taxa i Há duas alternativas para resolver esse problema Usar os recursos préprogramados das calculadoras financeiras que serão demonstra dos a seguir Utilizar métodos de cálculo numérico para uma melhor orientação consultar o Apêndi ce B Métodos numéricos de cálculo de taxas de juros Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 56 Matemática Financeira Usando a calculadora FIN clear fin 3700 PV 10 n 42714 CHS PMT i 2700085 Resposta R 270 am P e R devem ter sinais opostos porque as calculadoras financeiras consideram que se um é positivo recebimento ou entrada de um fluxo de caixa o outro deve ser negativo pagamen to ou saída de um fluxo Por essa razão colocouse a tecla antes do para a HP 12c em outras calculadoras EXEMPLO 74 Um móvel no valor à vista de R 100000 foi financiado em 12 prestações mensais iguais a R 10000 Calcular a taxa anual de juros do financiamento Dados P 1000 n 12 pm post R 10000 ia Solução O cálculo deve ser feito em duas etapas Calculase a taxa mensal utilizando o recurso préprogramado ou outro método indi cado Calculase a taxa anual equivalente em juros compostos à taxa de juros mensal encon trada Usando a calculadora FIN clear fin 1000 PV 12 n 100 CHS PMT i 2922854 0 PMT FV 1412998984 1 n i 41299898 Resposta R 4130 aa Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 57 Esse exercício sugere inicialmente que a taxa anual de juros venha a ser 20 ao ano uma vez que os juros pagos foram de R 20000 12 100 1000 200 sobre um capital de R 100000 Entretanto devese considerar que os pagamentos foram sendo realizados ao longo do ano e não no seu final 752 Cálculo do valor futuro Quando queremos calcular o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal coincide com o último termo da anuidade de acordo com o diagrama de tempo ou fluxo de caixa a seguir estamos optando pelo valor futuro em anuidades postecipadas S 0 R 1 R 2 R n 1 R n EXEMPLO 75 Mensalmente a empresa de João transfere R 20000 do seu salário para a poupança de um banco que remunera à taxa de juros de 09 ao mês Calcule o saldo da poupança de João imediatamente após a décima transferência Dados R 200 n 10 pm post é post porque o valor futuro coincide com o último termo i 09 0009 am S Solução S P1 in e 75 Resposta R 208297 Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 58 Matemática Financeira Usando a calculadora ALG RPN FIN 1009 yx 1009 ENTER clear fin 10 10 yx 200 PMT 1 1 10 n 0009 0009 09 i 200 200 FV 2082974951 2082974951 2082974951 Quando utilizamos o recurso financeiro para calcular o valor futuro SFV estamos conside rando que a data focal do referido valor futuro coincide com o último termo da anuidade Costumase enunciar no problema que o valor futuro procurado está imediatamente após o último pagamento ou depósito se for uma aplicação 753 Cálculo da prestação R em função do valor futuro S EXEMPLO 76 Quanto é necessário depositar mensalmente em um fundo de aplicações à taxa de juros de 1 am para que imediatamente após o vigésimo quarto mês se alcan ce um saldo de R 3000000 Dados S 30000 n 24 pm post i 1 001 am R Solução 76 Resposta R 111220 Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 59 Usando a calculadora ALG RPN FIN 001 001 ENTER clear fin 101 yx 101 ENTER 30000 FV 24 24 yx 24 n 1 1 1 i 30000 30000 PMT 1112204167 1112204167 1112204167 76 Anuidades antecipadas Um empréstimo P a ser pago por n termos R de uma anuidade antecipada com entrada pode ser representado graficamente por um diagrama de tempo ou fluxo de caixa P 0 R 1 R 2 R n 1 R n A principal diferença entre as anuidades antecipadas e as postecipadas é que as ante cipadas como o nome sugere efetuam pagamentos iguais porém um período antes das postecipadas Logo se as postecipadas pagam um período após é correto se supor que elas pagam um período a mais de juros do que as antecipadas Assim temos que Rpost Rant1 i 77 78 761 Cálculo da prestação R em função do principal EXEMPLO 77 Ricardo comprou uma geladeira cujo valor à vista é de R 90000 em 3 prestações mensais a primeira na entrada com uma taxa de juros de 22 am Calcular o valor da prestação Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Dados P 900 n 3 pm ant pelo enunciado tratase de uma anuidade antecipada i 22 0022 am R Solução R P i1 in 11 in 1 900 00221 002231 1 00223 1 306551608 Resposta R 30655 Usando a calculadora 900 00221 002231 1 00223 1 ALG RPN FIN BEGIN 1022 yˣ 1022 ENTER clear fin 2 2 yˣ 900 PV 0022 0022 3 n 1022 yˣ 1022 ENTER 22 i 3 3 yˣ PMT 1 1 306551608 900 306551608 306551608 Nas calculadoras financeiras identificase quando o cálculo é sobre anuidades antecipada acenando a opção BEGIN Se ao usar o recurso financeiro préprogramado não aparecer BEGIN ou BEG no visor de sua calculadora não esqueça de alterar para a opção BEGIN na HP 12c é uma função azul da tecla 7 logo devese teclar g e 7 762 Cálculo do principal P em função da prestação R EXEMPLO 78 Calcule o principal de um financiamento em 6 prestações mensais iguais a R 45000 a primeira na entrada sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 18 am Dados R 450 n 6 pm ant i 18 0018 am P Capítulo 7 Anuidades 61 Solução 79 Resposta R 258343 Usando a calculadora ALG RPN FIN BEGIN 1018 yx 1018 ENTER clear fin 6 6 yx 450 PMT 1 1 6 n 1018 yx 1018 ENTER 18 i 5 5 yx PV 0018 0018 2583425070 450 450 2583425070 2583425070 763 Cálculo da taxa i EXEMPLO 79 O financiamento de uma máquina de lavar roupas no valor de R 370000 é feito em 10 prestações mensais iguais a R 42714 a primeira na entrada Cal cular a taxa mensal de juros utilizada Dados P 3700 n 10 pm ant R 42714 im Solução A taxa deve satisfazer a equação e assim como no caso das postecipadas também não é possível isolar a taxa i Assim para uma melhor orientação e outras formas de solução consulte o Apêndice B Métodos numéricos de cálculo de taxas de juros Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 62 Matemática Financeira Usando a calculadora FIN BEGIN clear fin 3700 PV 10 n 42714 CHS PMT i 3345200 Resposta R 335 am Compare esse resultado com o do Exemplo 73 Embora os dados utilizados sejam os mesmos obtemos uma taxa superior à encontrada no caso de anuidade postecipada Esse é o efeito do pagamento da primeira prestação na entrada antecipando todas as demais em um mês sobre a taxa de juros Neste exemplo temos a condição 1 9 No exemplo anterior te mos 10 vezes sem entrada Como em ambos os casos temos a mesma prestação é obviamente mais vantajosa para quem toma o empréstimo a condição postecipada sem entrada Essa vantagem é refletida no custo ef etivo do crédito em uma taxa de juros menor 27 335 764 Cálculo do valor futuro Quando queremos calcular o valor futuro dos n termos de uma anuidade cuja data focal é um período após o último termo da anuidade de acordo com o diagrama de tempo ou fluxo de caixa a seguir estamos optando pelo valor futuro em anuidades antecipadas S 0 R 1 R 2 R n 1 R n EXEMPLO 710 Um estudante resolveu depositar mensalmente R 30000 em um fundo que remunera a uma taxa de juros de 12 ao mês Calcule o saldo acumulado que o es tudante conseguiu um mês após o décimo quinto depósito Dados R 300 n 15 pm ant i 12 0012 am S Solução S P1 in Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 63 e 710 Resposta R 495716 Usando a calculadora ALG RPN FIN BEGIN 1012 yx 1012 ENTER clear fin 15 15 yx 300 PMT 1 1 15 n 0012 0012 12 i 1012 1012 FV 300 300 4957163269 4957163269 4957163269 765 Cálculo da taxa conhecendose as prestações postecipada e antecipada EXEMPLO 711 Sabese que para um mesmo número de prestações uma concessioná ria de veículos financia um automóvel por uma prestação mensal no valor de R 341205 sem entrada ou R 332883 quando a primeira for na entrada Calcule a taxa mensal de juros utilizada pela concessionária Dados Rpost 341205 Rant 332883 im Solução 711 Resposta 250 am Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 64 Matemática Financeira Usando a calculadora ALG RPN FIN 341205 341205 ENTER clear fin 332883 332883 341205 FV 1 1 332883 CHS PV 100 100 1 n 2 4999977 2 4999977 ı 2 4999977 EXEMPLO 712 O financiamento de um eletrodoméstico foi feito a uma taxa de juros de 28 ao mês em um determinado número de prestações Sabendose que o valor da prestação com entrada é de R 16931 calcule o valor que ficaria a prestação se fosse sem entrada nas mesmas condições taxa e número de prestações Dados Rpost Rant 169 31 im 28 0028 am Solução Rpost Rant1 i Rpost 169 31 1 0028 17405068000 Resposta R 17405 Usando a calculadora Rpost 169311 0028 ALG RPN FIN BEGIN 16931 16931 ENTER clear fin 1028 1028 16931 PV 174 05068000 174 05068000 1 n 28 i FV 174 05068000 77 Anuidades diferidas Nas anuidades diferidas o vencimento do primeiro termo pode ocorrer em qualquer pe ríodo a partir do segundo Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 65 tempo P 0 1 k k 1 R k 2 R R k n R k período de carência n prestações de valor R 771 Cálculo da prestação R em função do principal As anuidades diferidas também conhecidas como anuidades com carência possuem um intervalo de períodos em que não ocorrem termos A esse intervalo dáse o nome de carência simbolizado nesta disciplina pela letra k Considerase como ponto de referência a anuidade postecipada cuja carência k é zero Assim quando o primeiro termo de uma anuidade vence a dois períodos do ponto zero dizse que a carência k é igual a 1 DAL ZOT 2008 p 105 SA MANEZ 2002 p125126 GUTHRIE LEMON 2004 p 147 Generalizando k é o número de períodos entre o ponto zero data inicial e o venci mento do primeiro termo menos 1 O valor da prestação de uma anuidade diferida pode ser Temos portanto 712 onde k 1 é igual ao prazo para o pagamento da primeira prestação DAL ZOT 2008 p 106 Podemos reescrever a Equação 712 isolando P obtendo uma nova fórmula 713 EXEMPLO 713 Uma loja financia um eletrodoméstico cujo valor à vista é de R 130000 em 7 prestações mensais iguais a primeira vencendo 4 meses após a compra com uma taxa de juros de 34 am Calcular o valor da prestação Dados P 1300 n 7 pm dif k 4 1 m 3 m1 i 34 0034 am R Solução Resposta R 23416 1 Note que se na anuidade postecipada o primeiro termo vence 1 período após a data do financiamento sendo k 0 o k de qualquer diferida é o número de períodos entre a data do financiamento e o vencimento do primeiro termo menos 1 Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 66 Matemática Financeira Anuidades diferidas no modo financeiro Em geral as calculadoras não possuem o recurso préprogramado para diferidas Para utilizar o modo financeiro em problemas que envolvem anuidades diferidas fazemos uso das relações A equação Rdif Rpost1 ik permite dizer que Rdif é o montante da aplicação do valor Rpost por k períodos de tempo De forma similar a equação permite dizer que Ppost é o valor futuro da aplicação do valor Pdif por k períodos de tempo Assim no modo financeiro subdividimos o cálculo de Rdif em três passos 1 Calculase Rpost usando o modo financeiro na opção END No exemplo anterior isso é feito nos passos de 1 a 5 2 Salvamos o valor obtido como o valor presente de uma aplicação e desligamos a op ção de cálculo de anuidades zerando o valor em No exemplo anterior isso é feito nos passos 6 e 7 3 Por fim para obter Rdif entramos com o valor k em Não é preciso alterar o valor salvo em pois a taxa segue sendo a mesma Ao pressionar temos o resultado Rdif Rpost 1 ik Passos similares aplicamse para obter Pdif A grande diferença é que Ppost Pdif 1 ik ou seja desta vez Ppost é o montante a ser armazenado em e Pdif é o valor presente a ser obtido teclando Então calculamos Ppost o armazenamos em zeramos entra mos k e pressionamos Usando a calculadora ALG RPN FIN 1034 yx 1034 ENTER clear fin END 10 10 yx 1300 PV 0034 0034 7 n 1034 yx 1034 ENTER 34 i 7 7 yx PMT 1 1 STO PV 1300 1300 0 PMT 234163151 234163151 3 n FV 234163151 772 Cálculo do principal P em função da prestação R Observe que como se uma anuidade diferida tem o mesmo valor de pres tação que uma anuidade postecipada segue que 714 Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 67 EXEMPLO 714 O financiamento de um imóvel foi realizado em 48 prestações mensais iguais a R 245000 a primeira vencendo 13 meses após a compra Sabendose que a taxa de juros utilizada foi de 15 am calcule o valor à vista do imóvel Dados R 2450 n 48 pm dif k 13 1 12 m i 15 0015 am P Solução Resposta R 6975827 Usando a calculadora ALG RPN FIN 1015 yx 1015 ENTER clear fin END 48 48 yx 2450 PMT 1 1 48 n 1015 yx 1015 ENTER 15 i 60 60 yx PV 0015 0015 STO FV 2450 2450 0 PMT 6975827101 6975827101 12 n PV 6975827101 773 Cálculo da taxa i Como vimos os recursos das calculadoras financeiras também facilitam o cálculo da taxa em anuidades postecipadas e antecipadas O cálculo da taxa em anuidades tem por objetivo encontrar a raiz de um polinômio de grau n geralmente resolvido por métodos do cálculo numérico alguns deles encontrados no Apêndice B deste livro Métodos numéricos de cál culo da taxa de juros No caso das diferidas por não termos o recurso préprogramado a solução pela cal culadora não segue o mesmo curso das postecipadas e antecipadas Entretanto é possível fazer o cálculo da taxa pelo uso de um outro recurso financeiro encontrado nas calculadoras financeiras o cálculo da taxa interna de retorno TIR IRR internal rate of return Recursos de fluxos de caixa cashflow presentes nas calculadoras financeiras como o da TIR serão desenvolvidos a partir do Capítulo Equivalência de capitais 774 Coeficientes utilizados no comércio No comércio para facilitar o cálculo de prestações são utilizadas tabelas de coeficientes AS SAF NETO 2009 p 121135 Um coeficiente para cálculo de prestação é um número que Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 68 Matemática Financeira quando multiplicado pelo valor à vista do produto fornece o valor da prestação conforme a condição de pagamento De acordo com a fórmula Ou seja para obtermos o valor da prestação multiplicamos P pelo coeficiente EXEMPLO 715 Calcular os coeficientes para cálculo de prestações de uma loja que tem anuidades com duas e três prestações com entrada e sem entrada à taxa de juros de 25 am Usando a calculadora 1 CHS PV 25 i Com entrada BEGIN Sem entrada END BEGIN g END g 8 2 n PMT 05062 2 n PMT 05188 3 n PMT 03416 3 n PMT 03501 7 Do exemplo anterior calcular os coeficientes para cálculo de prestações de uma loja que tem anuidades com duas e três prestações com entrada e sem entrada à taxa de juros de 25 am pela fórmula ALG P 1 i 0025 Com entrada Com entrada Sem entrada Sem entrada n2 n3 n2 n3 0025 1 002521 1 00252 1 0025 1 002531 1 00253 1 0025 1 00252 1 00252 1 0025 1 00253 1 00253 1 1025 1025 yx 2 1025 yx 2 1025 yx 3 025 025 025 025 1025 yx 2 1025 yx 3 1025 yx 2 1025 yx 3 1 1 1 1 05062 03416 05188 03501 Do exemplo anterior calcular os coeficientes para cálculo de prestações de uma loja que tem anuidades com duas e três prestações com entrada e sem entrada à taxa de juros de 25 am pela fórmula RPN Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 69 P 1 i 0025 Com entrada Com entrada Sem entrada Sem entrada n2 n3 n2 n3 0025 1 002521 1 00252 1 0025 1 002531 1 00253 1 0025 1 00252 1 00252 1 0025 1 00253 1 00253 1 1025 ENTER 1025 ENTER 1025 ENTER 1025 ENTER 025 2 yx 025 2 yx 025 3 yx 025 1025 ENTER 1025 ENTER 1025 ENTER 1025 ENTER 2 yx 1 3 yx 1 2 yx 1 3 yx 1 05062 03416 05188 03501 EXEMPLO 716 Calcule o valor da prestação do financiamento de um eletrodoméstico cujo valor à vista é de R 34000 à taxa de juros de 25 am em 3 vezes com entrada comparar uso de coeficiente com cálculo do recurso préprogramado Usando a calculadora coeficiente coeficiente ALG RPN FIN 3416 03416 ENTER clear fin BEGIN 340 340 340 PV 11614 11614 3 n 25 i PMT 11614 Os valores obtidos tanto a partir do coeficiente como pelo uso do recurso préprogramado da calculadora financeira são iguais validando o método dos coeficientes É importante con siderar que o número de casas decimais interfere na precisão da resposta EXEMPLO 717 O cliente de uma loja de comércio pergunta ao vendedor qual é a taxa de juros utilizado O vendedor não sabe a resposta mas disponibiliza ao cliente a tabela de coeficientes que utiliza no cálculo das prestações a seguir Número de prestações Com entrada Sem entrada 4 0268583 0282012 5 0219976 0230975 Solução Tendo em vista que escolhese uma opção de números de prestações 5 por exemplo Resposta 500 am Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 70 Matemática Financeira EXEMPLO 718 Sabese que uma loja tem coeficientes para cálculo das prestações de acordo com o vencimento da primeira conforme tabela abaixo Calcule a taxa de juros que a loja utiliza Número de prestações 1ª em 30 dias 1ª em 120 dias 5 0218355 0238602 Solução Rk 0 0218355 1 m após a compra postecipada k 0 Rk 3 0238602 4 m após a compra diferida k 3 Tendo em vista que Resposta 300 am Usando a calculadora ALG RPN FIN 238602 238602 ENTER clear fin 218355 yx 218355 218355 PV 3 1x 3 1x yx 3 n 1 1 238602 CHS FV i 002999942 002999942 2999942 Como a prestação diferida é o valor futuro da postecipada k períodos podemos calcular a taxa usando os recursos financeiros da calculadora 78 Problemas especiais 781 Dilema poupar ou tomar empréstimo EXEMPLO 719 Você pretende adquirir um carro no valor de R 3000000 Há duas possibilidades Na primeira você toma um empréstimo no valor à vista do carro à taxa de juros de 25 ao mês e o amortiza em 24 prestações mensais iguais Na segunda você deposita mensalmente 24 prestações em uma aplicação que rende à taxa de juros de 065 ao mês para acumular ao final um saldo de R 3000000 necessário para comprar o carro Em ambos os casos você terá um desembolso de 24 prestações nas mesmas datas de ven cimento Na primeira opção você assumirá a posição devedora viver agora pagar depois na segunda a posição credora pagar agora viver depois Do ponto de vista financeiro qual opção você escolheria Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 Capítulo 7 Anuidades 71 Dados n 24 pm i fin 25 00065 am Pfin 30000 ipoup 25 00065 am Spoup 30000 Rfin Rpoup Solução e Resposta Financeiramente a prestação é menor na segunda opção pois 115908 é menor do que 167738 A diferença de R 51830 é preço da impaciência por quem opta pela primeira alternativa e o prêmio da espera para quem opta pela segunda Usando a calculadora Posição devedora ALG RPN FIN 1025 yx 1025 ENTER clear fin END 24 24 yx 30000 PV 0025 0025 24 n 1025 yx 1025 ENTER 25 i 24 24 yx PMT 1 1 1677384611 30000 30000 1677384611 1677384611 Posição credora ALG RPN FIN 00065 00065 ENTER clear fin END 10065 yx 10065 ENTER 30000 FV 24 24 yx 24 n 1 1 1 i 30000 30000 PMT 1159083892 1159083892 1159083892 Identificação interna do documento J3ELUHN7VPOMNNXNI2 782 Modelo de poupança para o ciclo de vida EXEMPLO 720 Você tem atualmente 25 anos Pretende aposentarse daqui a 40 anos com 65 anos de idade Como aposentado acredita poder viver até os 85 Estima que com uma renda mensal de R 500000 será possível viver com dignidade durante toda sua aposentadoria Considere a possibilidade de investir em um fundo de poupança que remunera à taxa de juros compostos de 07 ao mês e que em seu país a possibilidade de perda do poder aquisitivo da moeda é remota Neste caso quanto você deveria poupar mensalmente no referido fundo para lograr seu objetivo Dados Rapos 5000 napos 20 a 20 12 m 240 m npoup 40 a 40 12 m 480 m im 07 0007 am Rpoup Solução Este problema pode ser desenvolvido em duas etapas Na primeira etapa você deve descobrir quanto precisa acumular de maneira que o fundo possa amortizar a dívida pagando a você 240 prestações mensais de R 500000 durante o período da aposentadoria Para obter esse valor é necessário calcular o valor presente P de uma anuidade postecipada de n 240 parcelas de R R 500000 cada Etapa 1 n napos e Papos Rapos 1 in 1i1 in 5000 1 0007240 100071 0007240 715 580380024363 Na segunda etapa você deve calcular qual é o valor do depósito que será feito durante 480 meses no período da préaposentadoria de modo a atingir um saldo igual ao valor encontrado na primeira etapa imediatamente após o 480º depósito Esse montante possibilitará as futuras retiradas durante o período da aposentadoria Etapa 2 Spoup Papos n npoup e Rpoup Spoup i1 in 1 580380024363 00071 0007480 1 716 147979732 Resposta R 14798 Usando a calculadora ² O leitor deve observar o quão pouco é necessário poupar mensalmente para se ter uma renda tão alta relativamente Esse fato se deve em especial à grande diferença entre os tempos de aplicação e de utilização dos recursos e ao efeito dos juros compostos Problemas sobre aposentadoria complementar podem ser encontrados em Merton 2006 p158 e Dal Zot 2008 p 96 ALG RPN FIN 1007 yx 1007 ENTER clear fin END 240 240 yx 5000 PMT 1 1 240 n 1007 yx 1007 ENTER 240 yx 7 i 240 240 yx PV 007 007 5803800243 5000 5000 STO FV 5803800243 5803800243 0 PV 007 480 n PMT 007 1007 ENTER 007 1007 yx 480 1 480 yx 1 1479797 1 1479797 783 Resumo das fórmulas de anuidades As fórmulas em anuidades Anuidade Principal Prestação Postecipada P R 1 in 1 i1 in R P i1 in 1 in 1 Antecipada P R 1 in 1 i1 in1 R P i1 in1 1 in 1 Diferida P R 1 in 1 i1 ink R P i1 ink 1 in 1 Observe que a anuidade postecipada é um caso particular de uma diferida com k 0 assim como a antecipada com k 1