Equivalencia de Capitais: Conceito e Aplicacoes Financeiras

CAPÍTULO 8 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 81 Conceito de equivalência de capitais CONCEITO 81 Dois ou mais fluxos de caixa capitais são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros se seus valores presentes valores atuais em uma determi nada data focal forem iguais Se os fluxos de caixa a uma determinada taxa de juros tiverem o mesmo valor presente valor atual então seus valores futuros em qualquer n a essa mesma taxa serão iguais Fluxos equivalentes a uma determinada taxa de juros necessariamente deixam de ser equiva lentes em outras taxas O conceito de equivalência de capitais constitui um elementochave nas aplicações da Matemática Financeira Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de vista dos juros compostos conforme Puccini 2009 ou apresentarse também quanto à possi bilidade de se calcular por meio de juros simples VIEIRA SOBRINHO 2000 ASSAF NETO 2009 Neste livro abordaremos a equivalência de capitais pela ótica dos juros compostos Quando se usa a equivalência de capitais O conceito de equivalência de capitais é uti lizado pelas instituições financeiras empresas e pessoas especialmente na administração dos fluxos de caixa isto é na compatibilização das entradas e saídas do dinheiro ao longo do tempo O ideal para qualquer agente econômico é que os pagamentos e recebimentos coinci dam em valor e vencimentos de modo a não faltar nem ter excessos de caixa Quando ocor re uma falta de sintonia nos prazos e valores entre pagamentos e recebimentos os agentes tendem a realizar ações no sentido de minimizar esse desajuste As situações mais frequen tes são Renegociação de prazos ou condições de pagamento de uma dívida um devedor pode solicitar o adiamento do vencimento de uma dívida se tiver dificuldade em pagar na quela data ou ao contrário pagar antecipadamente reduzindo juros caso tiver excesso de caixa no referido vencimento 78 Matemática Financeira Negociação ou troca de fluxos de caixa para um banco tanto os excessos de caixa como as faltas são dificuldades a serem evitadas no primeiro caso a existência de caixa signi fica dinheiro a ser remunerado a aplicadores sem receita correspondente e no segundo caso o banco deve recorrer a empréstimos para honrar os compromissos 82 Valor atual ou valor presente de um fluxo de caixa Considere um fluxo de caixa com termos R0 R1 R2 Rn1 Rn vencendo nas datas focais respectivamente n0 n1 n2 nn1 nn Uma representação gráfica podria ser dada por R0 R1 R2 Rn1 Rn O valor atual na data focal zero VA0 é dado pela soma do valor atual de cada um de seus termos como visto nas Equações 71 e 72 ou 12 EXEMPLO 81 A partir do fluxo de caixa a seguir desejase calcular1 o valor atual na data focal 0 VA0 a uma taxa de juros2 de 10 ao ano Ano Valor corrente 0 100000 1 40000 2 80000 3 90000 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 pela substituição dos dados de cada um dos termos na fórmula 1 Como veremos existe mais de uma maneira de calcular o valor atual de um fluxo de caixa a determinadas taxa e data focal 2 Quando não houver referência ao regime de juros nesse tipo de problema devese considerar o uso de juros com postos Capítulo 8 Equivalência de capitais 79 Usando a calculadora Valores Valores Ano correntes Fórmulas atuais 0 100000 100000 100000 1 40000 40000 1 010 400 00 ENTER 11 36363636 2 80000 80000 1 010 2 80000 ENTER 11 ENTER 2 yx 66115702 3 90000 90000 1 010 3 90000 ENTER 11 ENTER 3 yx 67618332 VA0 7009767 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 pelo uso do recurso financeiro da calculado ra em cada um dos termos na fórmula Antes do uso dos recursos abaixo acionar as seguintes teclas e Valores Valores Ano correntes Fórmulas atuais 0 100000 100000 10000000 1 40000 40000 1 010 400 CHS FV 1 n PV 36363636 2 80000 80000 1 010 2 800 CHS FV 2 n PV 6611570 3 90000 90000 1 010 3 900 CHS FV 3 n PV 67618332 VA0 7009767 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 usando o recurso préprogramado para fluxos de caixa cashflow HP 12c clear reg f CLX 1000 CHS C f0 g PV 400 C fj g PMT 800 C fj 900 C fj 10 i NPV f PV 7009767092 80 Matemática Financeira EXEMPLO 82 A partir do fluxo de caixa a seguir desejase calcular o valor atual na data focal 2 VA2 a uma taxa de juros compostos de 10 ao ano Ano Valor corrente 0 100000 1 40000 2 80000 3 90000 REGRA DE OURO 81 Sempre que possível devese reduzir os valores de um fluxo de caixa para o valor atual em uma data focal A partir do valor atual nessa data focal se chega ao valor atual em outras datas focais No exemplo anterior já aplicamos a regra mencionada com o cálculo de VA0 700 9767092 logo VA2 VA01 i2 7009767092 1 0102 84818181818 Usando a calculadora 7009767092 1 0102 RPN ALG FIN 7009767092 ENTER 7009767092 clearfin f X Y 11 ENTER 11 7009767092 PV 2 yx yx 10 i 2 2 n 84818181818 84818181818 FV 84818181818 83 Verificação de equivalência Objetivo do exemplo demonstrar quando dois fluxos de caixa são equivalentes entre si EXEMPLO 83 Verificar se os fluxos de caixa a seguir são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 10 ao ano Ano Fluxo A Fluxo B 0 20000 1 11000 2 12100 36300 3 53240 13310 Capítulo 8 Equivalência de capitais 81 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 A pela substituição dos dados de cada um dos termos na fórmula Usando a calculadora Valores Valores Ano correntes Fórmulas atuais 0 0 0 000 1 11000 11000 1 010 11000 ENTER 11 10000 2 12100 12100 1 0102 12100 ENTER 11 ENTER 2 yx 10000 3 53240 53240 1 0103 53240 ENTER 11 ENTER 3 yx 40000 VAA 0 60000 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 B pela substituição dos dados de cada um dos termos na fórmula Valores Valores Ano correntes Fórmulas atuais 0 20000 20000 20000 1 0 0 000 2 36300 36300 1 0102 36300 ENTER 11 ENTER 2 yx 30000 3 13310 13310 1 0103 13310 ENTER 11 ENTER 3 yx 10000 VAB 0 60000 Fluxo A Fluxo B clear reg clear reg 0 C f0 200 C f0 110 C fj 0 C fj 121 C fj 363 C fj 5324 C fj 1331 C fj 10 i 10 i NPV 60000000 NPV 60000000 Por apresentarem os mesmos valores atuais em 0 VA0 A VA0 B 60000000 dizemos que os fluxos A e B à taxa de juros de 10 ao ano são equivalentes entre si3 3 Nem sempre os valores são exatamente iguais Algumas vezes apresentam uma pequena diferença que pela sua insignificância considerase nula Para efeitos didáticos consideraremos diferenças inferiores a R 100 como nulas ou iguais a zero 82 Matemática Financeira Objetivo do exemplo demonstrar que dois fluxos de caixa equivalentes a uma determi nada taxa não o são a outra taxa EXEMPLO 84 Verificar se os fluxos de caixa a seguir são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 20 ao ano Ano Fluxo A Fluxo B 0 20000 1 11000 2 12100 36300 3 53240 13310 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 A pela substituição dos dados de cada um dos termos na fórmula Usando a calculadora Valores Valores Ano correntes Fórmulas atuais 0 000 0000000000 1 11000 11000 1 020 11000 ENTER 12 91666666666 2 12100 12100 1 0202 121 00 ENTER 12 ENTER 2 yx 84027777777 3 53240 53240 1 0203 53240 ENTER 12 ENTER 3 yx 308101851852 VAA 0 483796296297 Cálculo do valor atual na data focal 0 VA0 B pela substituição dos dados de cada um dos termos na fórmula Capítulo 8 Equivalência de capitais 83 Usando a calculadora Valores Valores Ano correntes Fórmulas atuais 0 20000 20000 200000000000 1 0 0 0000000000 2 36300 36300 1 0202 36300 ENTER 12 ENTER 2 yx 252083333333 3 13310 13310 1 0203 13310 ENTER 12 ENTER 3 yx 77025462963 VAB 0 529108796296 Usando a calculadora Fluxo A Fluxo B clear reg clear reg 0 C f0 200 C f0 110 C fj 0 C fj 121 C fj 363 C fj 5324 C fj 1331 C fj 20 i 20 i NPV 483796296296 NPV 529108796296 Por apresentarem valores atuais diferentes em 0 dizemos que os fluxos A e B à taxa de juros de 20 ao ano não são equivalentes entre si 84 Tornando dois fluxos equivalentes entre si Frequentemente os agentes econômicos se encontram em situações de desajuste de fluxos de caixa ora concentrando pagamentos no curto prazo e recebimentos no longo prazo ora o contrário O ideal é que os prazos médios de recebimentos coincidam com os dos pagamen tos mas isso é muito raro acontecer Uma das formas usuais de atenuar os desajustes de caixa é a negociação de fluxos de caixa que ajuda a modificar a data de concentração prazo médio dos recebimentos ou pa gamentos conforme o caso Como isso é feito Os fluxos de caixa quando negociados devem ser equivalentes entre si A primeira etapa da negociação é a definição do preço do dinheiro ou seja a taxa de ju ros Uma vez definida a taxa de juros calculase o valor atual de cada um dos fluxos de caixa Quando dois fluxos de caixa não são equivalentes a uma determinada taxa de juros obtémse a equivalência somando a diferença dos valores atuais dos fluxos ao valor corrente na data focal zero do fluxo de menor valor atual 84 Matemática Financeira A diferença DIF também pode ser somada em outras datas desde que considerada a capitalização dos juros ou seja caso a data focal escolhida seja 2 o valor a ser somado será DIF2 DIF1 i2 Objetivo do exercício ajustar diferenças entre fluxos de caixa de modo a tornálos equi valentes entre si Exercício 1 Verificar se os fluxos de caixa dos Bancos ITAI e HSBX a seguir são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 20 ao ano Se não houver equivalência indicar qual é o fluxo que o banco com valor atual inferior deve apresentar alterando a parcela na data focal zero Ano Banco ITAI Banco HSBX 0 20000 1 11000 2 12100 36300 3 53240 13310 Como já conhecemos os resultados dos fluxos de caixa do Banco ITAI e do Banco HSBX são idênticos e calculados à mesma taxa que os Fluxos A e B do exemplo anterior temos que logo a diferença entre os fluxos a ser acrescentada na data focal zero do Banco ITAI é dada por A troca entre os bancos deverá ser feita por Ano Banco ITAI novo fluxo Banco HSBX 0 0 4531 4531 20000 1 11000 2 12100 36300 3 53240 13310 Caso desejarmos tornar os fluxos equivalentes alterando porém o valor da data focal do ano 2 do Banco ITAI devemos acrescentar àquele valor DIF2 DIF01 i2 45 3125 1 0202 6525 A troca entre os bancos deverá ser feita por Ano Banco ITAI novo fluxo Banco HSBX 0 20000 1 11000 2 12100 6525 18625 36300 3 53240 13310 Tanto o exemplo anterior como este mostram situações de equivalência de capitais cujo valor atual nos fluxos dos Bancos ITAI e HSBX são iguais a 52911 Capítulo 8 Equivalência de capitais 85 Desafio faça você mesmo a prova de verificação Exercício 2 Considerando os fluxos de caixa dos Bancos NORTE e SUL encontrar o valor de X para que os referidos fluxos sejam equivalentes a uma taxa de juros compostos de 25 ao ano Resposta R 1220000 Ano Banco NORTE Banco SUL 0 1 1200000 1600000 2 1400000 X 3 1600000 1200000 85 Cálculo do fluxo equivalente Objetivo dos exemplos dado um fluxo conhecido encontrar um outro equivalente com determinadas características Podese dividir as soluções de acordo com diferentes combinações de fluxos Fluxos 1 1 tanto o fluxo que se tem como o que se deseja obter são fluxos de apenas um vencimento Fluxos n 1 o fluxo conhecido tem mais de um vencimento mas o que se deseja obter tem apenas um vencimento Fluxos n n ambos os fluxos têm mais de um vencimento 851 Fluxos 1 1 EXEMPLO 85 Um empresário deseja substituir uma dívida de R 350000 que vence daqui a 6 meses por outra com vencimento em 18 meses Sabendose que o banco credor da dívida trabalha com uma taxa de juros de 3 ao mês qual será o valor da dívida no novo vencimento proposto Dados S 1 350000 i m 3 0 03 am S 2 Solução V A 0 S 1 1 i 6 S 2 1 i 18 3500 1 0 03 6 S 2 1 0 03 18 S 2 3500 1 0 03 18 1 0 03 6 3500 1 0 03 12 49901631