Juros Simples - Conceitos e Fórmulas Principais

CAPÍTULO 3 JUROS SIMPLES 31 Introdução CONCEITO 31 Se o cálculo do juro é feito com base apenas no principal original mas é pago ao final do empréstimo o denominamos juros simples GUTHRIE LEMON 2004 p 5 Assim no regime de juros simples não há cálculo de juros a partir de juros Além disso os juros são pagos ao final do período Dizse que os juros não são capitalizados1 ou segundo alguns autores são capitalizados apenas na liquidação final do empréstimo de modo a não gerarem novos juros no período considerado DAL ZOT 2008 p 31 Os juros simples são conhecidos também como lineares ou ordinários 32 Fórmulas principais Considere o financiamento de R 1000000 a uma taxa de juros simples de 30 ao ano a ser pago ao final de 4 anos Uma forma de demonstrar a evolução da dívida é apresentar todas as datas em que possa ocorrer uma alteração de valor nos saldos Essa forma de apresentação tem diversas denominações plano financeiro conta gráfica ou memória de cálculo Ano Saldo inicial Juros simples Saldo final 1 10000 10000 030 3000 13000 2 13000 10000 030 3000 16000 3 16000 10000 030 3000 19000 4 19000 10000 030 3000 22000 1 nos juros simples o credor só adquire o direito aos juros ao final do prazo e por isso não há capitalizações intermediárias durante todo o período em que os juros são computadosOLIVEIRA 2009 p 426 Tomandose a mesma evolução de um empréstimo e mudando os valores pelas variáveis matemáticas que os representam segundo a simbologia adotada neste livro teremos o quadro abaixo que levado exaustivamente para uma data focal n nos dará as principais fórmulas de juros simples Ano Saldo inicial Juros Saldo final 1 P Pi P Pi P1 i 2 P1 i Pi P1 i Pi P1 2i 3 P1 2i Pi P1 2i Pi P1 3i 4 P1 3i Pi P1 3i Pi P1 4i n P1 n 1i Pi P1 n 1i Pi J Σ1ⁿ Pi Pin S P1 in Com base no comportamento dos juros simples a partir do desenvolvimento acima obtemos as seguintes fórmulas principais J Pin 31 e S P1 in 32 Aplicandose as fórmulas encontradas para o financiamento dos R 1000000 obteremos J Pin 10000 030 4 12000 S P J 10000 12000 22000 S P1 in 100001 4 030 22000 33 Problemas envolvendo juros 331 Cálculo dos juros EXEMPLO 31 Calcular o valor dos juros pagos pelo empréstimo de um capital de R 250000 à taxa de juros simples de 2 ao mês após 4 meses Capítulo 3 Juros simples 13 Dados J P 250000 principal capital emprestado n 4 m2 i 2 0023 am4 Solução J Pin J 2500 002 4 20000000 Resposta R 20000 A maioria dos problemas que envolvem Matemática Financeira exige recursos de cálcu lo que são encontrados nas calculadoras financeiras Elas possuem fórmulas préprograma das que simplificam muito a resolução de problemas financeiros Quanto à forma de alimen tar os números no teclado existem dois sistemas Modo algébrico ALG forma tradicional comum na maioria das calculadoras Notação polonesa reversa RPN próprio das calculadoras HP Por exemplo o cálculo 2500 002 4 pode ser resolvido de maneiras diferentes conforme o sistema empregado Usando a calculadora 2500 002 4 RPN ALG 2500 ENTER 2500 02 02 4 4 20000 20000 Nos exemplos a seguir apresentaremos os cálculos para ambos os sistemas EXEMPLO 32 Qual é o rendimento de uma aplicação financeira de R 358900 após 139 dias a uma taxa de 190 ao mês Dados J rendimento juro P 358900 principal valor da aplicação financeira i 19 0019 am n 139 d Antes de prosseguirmos perguntamos a taxa é mensal e o prazo é em dias O que fazemos 2 Quando o prazo é indicado em meses é comum utilizar a abreviatura m Abreviaturas mais utilizadas d dias m meses b bimestres t trimestres s semestres e a anos 3 No mercado financeiro e nas relações comerciais em geral são utilizadas taxas percentuais Portanto é nesse for mato que os enunciados dos problemas deste livro farão referência às taxas Notase também que a taxa percentual é o padrão utilizado pelos recursos préprogramados das calculadoras financeiras Entretanto quando a solução dos problemas é feita por meio de equações é preciso utilizar a forma unitária para as taxas 4 As taxas são informadas por período Uma taxa mensal tem comumente a abreviatura am As abreviaturas mais utilizadas são ad ao dia am ao mês ab ao bimestre at ao trimestre as ao semestre e aa ao ano 14 Matemática Financeira Resposta O prazo e a taxa devem sempre estar na mesma unidade de tempo e é sempre o prazo que deve ser convertido e não a taxa Para converter o prazo de dias para meses utili zamos a regra do banqueiro Pela regra do banqueiro um mês tem 30 dias logo o prazo n 139 dias corresponde a Agora podemos voltar ao exemplo Qual é o rendimento de uma aplicação financeira de R 358900 após 139 dias a uma taxa de 190 ao mês Dados J rendimento juro P 358900 principal valor da aplicação financeira i 19 0019 am n 139 d Solução 3589 Resposta R 315 95 Cuidado com os arredondamentos Encontramos Se esse valor for arredondado antes de calcular a respos ta final poderemos perder precisão como será visto nas alternativas a seguir Arredondando para Resultado de J Pin 46 3589 0019 46 31368 463 3589 0019 463 31572 4633 3589 0019 4633 31593 Usando a maior precisão possível Resposta mais correta 463333333 3589 0019 139 30 3159516333 Nas aplicações profissionais normalmente se exige exatidão em ao menos duas casas deci mais Qualquer um desses arredondamentos forneceria respostas inexatas que seriam avalia das como erradas ou parcialmente corretas Para se obter essa precisão ao final é necessário utilizar todas as casas da calculadora nos cálculos intermediários seguindo os passos indica dos nos exemplos resolvidos Capítulo 3 Juros simples 15 Usando a calculadora RPN ALG 3589 ENTER 3589 0019 0019 139 139 30 30 3159516333 3159516333 EXEMPLO 33 O empréstimo de um capital de R 3700 00 à taxa de juros simples de 355 ao ano foi feito no dia 02012011 e pago em 02032011 Calcular os rendimentos pagos Dados J P 370000 principal capital emprestado i 355 0355 aa n 59 d a regra do banqueiro para conversão Solução Resposta Foram pagos rendimentos de R 21527 Usando a calculadora RPN ALG 3700 ENTER 3700 355 355 59 59 360 360 215 268056 215 268056 332 Cálculo do principal EXEMPLO 34 Calcular o valor necessário para aplicar em um fundo que remunera à taxa de juros simples de 26 ao ano para se conseguir rendimentos no valor de R 40000 após 45 dias 16 Matemática Financeira Dados P J 400 i 26 026 aa n 45 d a regra do banqueiro para conversão Solução 33 45 360 Resposta É necessária uma aplicação de R 1230769 Usando a calculadora RPN ALG 400 ENTER 26 ENTER 45 26 360 45 360 123076923077 123076923077 400 333 Cálculo da taxa de juros EXEMPLO 35 Uma aplicação de R 300000 rende juros de R 34000 após 320 dias Calcular a taxa anual de juros simples utilizada Dados P 3000 J 340 n 320 d a ia 34 320 360 Resposta A taxa anual é de 1275 aa Capítulo 3 Juros simples 17 Usando a calculadora RPN ALG 340 ENTER 3000 ENTER 340 320 3000 360 320 012750000000 012750000000 360 334 Cálculo do prazo EXEMPLO 36 Um empréstimo de R 470000 rende juros de R 98000 a uma taxa men sal de juros simples de 55 ao mês Calcular o número de dias que durou o empréstimo Dados P 4700 J 980 i 55 0055 am n em dias Solução 35 Resposta A duração do empréstimo foi de 379 meses Pergunta A solução acima atende ao que foi solicitado Foi solicitado o número de dias que durou o empréstimo Observe que n quando calcu lado a partir da taxa mensal fornece o prazo em meses Devese converter o resultado para obter o prazo em dias n 37911 meses 37911 30 dias 113 73 dias Resposta correta O empréstimo durou 11373 dias 18 Matemática Financeira Usando a calculadora RPN ALG 980 ENTER 980 4700 ENTER 0055 4700 0055 30 30 113 733075435 113 733075435 34 Problemas envolvendo montante 341 Cálculo do montante EXEMPLO 37 Um capital no valor de R 560000 foi emprestado à taxa de juros sim ples de 43 ao ano Calcular o montante após 458 dias Dados P 560000 i 43 043 aa n 458 d a S Solução Resposta O montante foi de R 866351 Usando a calculadora RPN ALG 43 ENTER 43 458 458 360 360 1 1 5600 5600 8663511111111 8663511111111 Capítulo 3 Juros simples 19 342 Cálculo do principal EXEMPLO 38 Qual é o capital necessário para acumular um montante de R 935000 à taxa de juros simples de 34 ao ano após 37 meses Dados S 9350 00 P i 34 0 34 aa n 37 m a Solução 36 Resposta É necessário um capital de R 456469 Usando a calculadora RPN ALG 9350 ENTER 34 ENTER 34 37 37 12 12 1 1 45646867 867 45646867 9350 343 Cálculo da taxa de juros EXEMPLO 39 Qual é a taxa anual de juros simples que transforma um capital de R 587000 em um montante de R 634000 após 270 dias Dados ia S 587000 P 634000 n 270 d a 20 Matemática Financeira Solução 37 Resposta 1068 aa Usando a calculadora RPN ALG 6340 ENTER 6340 5870 5870 1 1 270 ENTER 270 360 360 0 1067575 0 1067575 344 Cálculo do prazo EXEMPLO 310 Uma aplicação de R 2043000 a uma taxa de juros simples de 43 aa tem um valor de resgate na data do vencimento de R 2600000 Quantos dias durou a aplicação Dados P 2043000 i 43 043 aa S 2600000 nd Solução 38 Resposta 228 dias Capítulo 3 Juros simples 21 Usando a calculadora RPN ALG 26000 ENTER 26000 20430 20430 1 1 43 43 360 360 228 2553 228 2553