Determinação da Carga em um Cilindro com Distribuição de Cargas

Exemplo numérico No espaço livre temos uma distribuição de cargas descrita em coordenadas cartesianas por 𝜌𝑣 𝐴 𝑥2 𝑦2 𝐶 𝑚3 sendo A uma constante real e positiva Determine A sabendo que a carga existente em uma região cilíndrica limitada por 0 𝜌 1 𝑚 0 𝜙 2𝜋 𝑒 0 𝑧 3𝑚 é igual a 200 nC Solução 𝑄 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣 𝑑𝑣 C 𝜌𝑣 𝐴 𝑥2 𝑦2 Cm3 Convertendo em coordenadas cilíndricas O elemento de volume em coordenadas cilíndricas 𝑥2 𝑦2 𝜌2 𝑑𝑣 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 𝑄 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣 𝑑𝑣 C 𝜌𝑣 𝐴𝜌2 Cm3 𝑄 න 𝑣𝑜𝑙 𝐴𝜌2 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 O elemento de volume em coordenadas cilíndricas 𝑑𝑣 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 𝑄 න 𝑣𝑜𝑙 𝐴 𝜌3𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 Introduzindo os limites de integração 𝑄 න 𝑧0 3 න 𝜙0 2𝜋 න 𝜌0 1 𝐴𝜌3𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 Desmembrando a integral tripla 𝑄 𝐴 න 𝑧0 3 𝑑𝑧 න 𝜙0 2𝜋 𝑑𝜙 න 𝜌0 1 𝜌3𝑑𝜌 𝑄 𝐴 3 0 2𝜋 0 14 04 4 200 109 𝑄 3𝜋𝐴 2 200 109 𝐴 4244 109 Exercícios recomendados livro texto oitava edição 21 24 27 213 216 Campo elétrico devido à uma linha de cargas Denominaremos filamento retilíneo de cargas a uma linha reta com raio desprezível uniformemente carregada ρl Cm Queremos determinar o campo elétrico devido a um filamento uniformemente carregado com comprimento infinito num ponto P nas imediações do filamento A figura ilustra um filamento carregado infinitamente longo Vamos determinar o campo elétrico no ponto P situado nas vizinhanças do filamento carregado P P z ρ dq 𝑑𝐸 𝑅 𝑑𝐸 𝑑𝑞 4𝜋𝜀0 𝑅 2 𝑎𝑅 P z ρ 𝑑𝐸 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑑𝑧 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝑅 2 𝑎𝑅 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 z ρ P z ρ 𝑑𝐸 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑑𝑧 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 2 𝜌 𝑎𝜌𝑧 𝑎𝑧 𝜌2𝑧2 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 z ρ 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝑎𝑅 𝑅 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝜌2 𝑧2 𝑅 𝜌2 𝑧2 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 P z ρ 𝑑𝐸 𝑑𝑞 𝑅 z ρ 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 observando a simetria 𝑑𝐸 𝜌𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝑎𝜌 𝑧𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝑎𝑧 Como queremos o campo devido a todo o filamento e não somente a um pequeno trecho devemos somar todas as contribuições ou seja integrar ao longo de todo o filamento 𝑑𝐸 𝜌𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝑎𝜌 𝐸 𝑧 𝜌𝜌𝑙𝑑𝑧 4𝜋𝜀0 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝑎𝜌 Removendo as constantes de dentro da integral e integrando de z até 𝐸 𝜌𝑙 4𝜋𝜀0 𝑧 𝜌𝑑𝑧 𝜌2𝑧2 Τ 3 2 𝑎𝜌 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝜌 𝑎𝜌 Aspecto do campo de um filamento retilíneo uniformemente carregado de comprimento infinito radial Se ρl for positivo 𝐸 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝜌 𝑎𝜌 Se ρl for negativo 𝐸 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝜌 𝑎𝜌 O campo devido ao filamento não é definido sobre o mesmo A intensidade do campo decai com o inverso da distância do filamento Características do campo do filamento infinito Exemplo numérico No espaço livre temos um filamento retilíneo uniformemente carregado com 𝜌𝑙 10 𝑛𝐶 𝑚 coincidente com o eixo z Determine a O campo no ponto Mρ2 m φ0 z3 m b O campo no ponto Px3y4 z1 Solução a O ponto informado é Mρ2 m φ0 z3 m 𝐸𝑀 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝜌𝑀 𝑎𝜌 𝜌𝑀 2 pois essa é a menor distância do ponto até o filamento infinito 𝐸𝑀 10109 2𝜋𝜀02 𝑎𝜌 8991 𝑎𝜌 Vm b O ponto informado é Px3y4 z1 𝐸𝑃 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝑅 𝑎𝑅 Se a linha é coincidente com o eixo z as coordenadas da linha são x0 y0 z Determinando o vetor posição 𝑅 𝑅 3 024 021 12 5 𝑅 𝑥𝑃 𝑥𝑓 𝑎𝑥 𝑦𝑃 𝑦𝑓 𝑎𝑦 𝑧𝑃 𝑧𝑓 𝑎𝑧 𝑎𝑅 𝑅 𝑅 3𝑎𝑥 4𝑎𝑦 5 𝐸𝑃 10109 2𝜋𝜀05 3 𝑎𝑥 4 𝑎𝑦 5 30109 50𝜋𝜀0 𝑎𝑥 40109 50𝜋𝜀0 𝑎𝑦 𝐸𝑃 2158𝑎𝑥 2877𝑎𝑦 𝑉𝑚