Energia Armazenada no Campo Eletrostático: Cálculos e Exemplos

Densidade de Energia no campo eletrostático 𝑊𝐸 1 2 𝑚1 𝑚𝑁 𝑄𝑚𝑉𝑚 Vimos anteriormente que o cálculo da energia no campo eletrostático poderia ser feito por se conhecemos o valor e a posição de cada carga no espaço e 𝑊𝐸 1 2 න 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣𝑉𝑑𝑣 no caso de conhecermos apenas a distribuição espacial das cargas e a expressão do potencial elétrico na região Na ausência dessas informações teremos que lançar mão de uma outra estratégia Da matemática temos a seguinte identidade Sendo 𝐴 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝐵 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 Fazendo Teremos 𝑉 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑉𝐷 𝑉 𝐷 𝐷 𝑉 𝐷 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 Rearranjando os termos 𝑉 𝐷 𝑉𝐷 𝐷 𝑉 Da expressão da energia armazenada Substituindo 𝑉 𝐷 𝑉𝐷 𝐷 𝑉 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣𝑉𝑑𝑣 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝑉𝑑𝑣 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝑉𝐷 𝐷 𝑉 𝑑𝑣 na expressão da energia 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝑉𝐷 𝑑𝑣 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝑉 𝑑𝑣 𝐸 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝑉𝐷 𝑑𝑣 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝐸 𝑑𝑣 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝑉𝐷 𝑑𝑣 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝐸 𝑑𝑣 Aplicando o teorema da divergência na primeira integral 𝑊𝐸 1 2ׯ𝑠 𝑉𝐷 𝑑𝑠 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝐸 𝑑𝑣 Esta integral é nula 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝐸 𝑑𝑣 𝑊𝐸 1 2ׯ𝑠 𝑉𝐷 𝑑𝑠 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝐷 𝐸 𝑑𝑣 𝐷 𝜀0𝐸 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝜀0 𝐸 2 𝑑𝑣 No espaço livre Conclusão podemos obter a expressão da energia em um certo volume a partir do conhecimento do campo elétrico no espaço 1 Se numa região do espaço livre o potencial elétrico é dado por 𝑉 3𝑥2 4𝑦2 V Encontre a energia armazenada no campo na região limitada por 0 𝑥 10 0 𝑦 10 0 𝑧 10 Valores em metros Exemplo numérico Determinando o campo elétrico 𝐸 𝑉 𝑉 𝑥 𝑎𝑥 𝑉 𝑦 𝑎𝑦 𝑉 𝑧 𝑎𝑧 𝐸 6𝑥 𝑎𝑥 8𝑦𝑎𝑦 𝐸 6𝑥 𝑎𝑥 8𝑦𝑎𝑦 𝐸 6𝑥 2 8𝑦 2 36𝑥2 64𝑦2 𝑊𝐸 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝜀0 𝐸 2 𝑑𝑣 1 2 𝑣𝑜𝑙 𝜀0 36𝑥2 64𝑦2 2 𝑑𝑣 𝑊𝐸 𝜀0 2 36𝑥2 64𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑊𝐸 𝜀0 2 36𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 64𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑊𝐸 𝜀0 2 36 න 0 1 𝑥2𝑑𝑥 න 0 1 𝑑𝑦 න 0 1 𝑑𝑧 64 න 0 1 𝑑𝑥 න 0 1 𝑦2𝑑𝑦 න 0 1 𝑑𝑧 𝑊𝐸 𝜀0 2 36 1 3 64 1 3 100𝜀0 6 𝑊𝐸 14755 𝑝𝐽 Exercícios Capítulo 4 Livro texto oitava edição 425 434