Campo Elétrico e Cargas Puntuais: Forças e Exemplos Numéricos

Campo elétrico estacionário Fontes do campo eletrostático Cargas elétricas pontualais Distribuições de cargas Cargas pontuais forças de Coulomb P Forças de natureza repulsiva Q1 Q2 Forças de natureza repulsivas Forças de natureza atrativa Ԧ𝐹12 Ԧ𝐹21 Ԧ𝐹12 Ԧ𝐹21 Ԧ𝐹12 Ԧ𝐹21 Ԧ𝐹12 Ԧ𝐹21 Força entre duas cargas pontuais quaisquer Q1 Q2 Ԧ𝐹12 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜀0 𝑅12 2 𝑎𝑅12 Ԧ𝐹12 𝑅12 𝑎𝑅12 𝑅12 vetor posição sempre da carga para o ponto onde a força está sendo exercida 𝑎𝑅12 vetor unitário obtido por 𝑎𝑅12 𝑅12 𝑅12 Determinação do vetorposição Q1 Q2 𝑅12 Ԧ𝑟2 Ԧ𝑟1 𝑅12 𝑅21 𝑅12 0 Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2 Lembrando que Exemplo numérico No espaço livre temos duas cargas pontuais Q1 10 μC e Q2 6 μC encontramse nos pontos x1y2z3 e x0y4z3 respectivamente a Determine a força que a carga Q1 exerce sobre Q2 b Determine a força que a carga Q2 exerce sobre Q1 Solução 𝑅12 Ԧ𝑟2 Ԧ𝑟1 043123 𝑅12 166 1𝑎𝑥6𝑎𝑦6𝑎𝑧 𝑅12 1𝑎𝑥6𝑎𝑦6𝑎𝑧 𝑎𝑅12 𝑅12 𝑅12 1 𝑎𝑥6 𝑎𝑦6 𝑎𝑧 73 𝑅12 1 2 6 2 6 2 73 Ԧ𝐹12 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜀0 𝑅12 2 𝑎𝑅12 10106 60106 4𝜋𝜀0 73 2 1 𝑎𝑥6 𝑎𝑦6 𝑎𝑧 73 Ԧ𝐹12 10106 60106 4𝜋8851012 73 2 1 𝑎𝑥6 𝑎𝑦6 𝑎𝑧 73 𝜀0 885 1012𝐹𝑚 No espaço livre Ԧ𝐹12 086𝑎𝑥519𝑎𝑦 519𝑎𝑧 𝑚𝑁 Intensidade de Campo Elétrico 𝑬 Suponha que nas imediações de uma carga pontual Q seja colocada uma segunda carga pontual q Esta última a ação de uma força devido a Q Admita que q seja uma carga pontual com valor de carga positivo muito pequeno Chamaremos essa carga q de carga de teste Sob a ação de Q Ԧ𝐹 𝑄𝑞 4𝜋𝜀0 𝑅 2 𝑎𝑅 Q q 𝑅 Dividindo os dois lados da expressão por q 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅 2 𝑎𝑅 Ԧ𝐹 𝑞 𝐸 Vamos chamar de campo elétrico gerado pela carga Q NC ou Vm Como é o campo elétrico da carga pontual É um campo vetorial É radial Se estende da carga até o infinito mas não é definido sobre a carga Sua intensidade decai com o inverso do quadrado da distância Exemplo numérico No espaço livre temos a pontual Q 5 μC que se encontra no ponto x2y3z1 a Determine o campo elétrico no ponto Px0y8z3 b Determine o campo elétrico na origem Solução 𝑅𝑄𝑃 083 231 𝑅𝑄𝑃 252 2𝑎𝑥5𝑎𝑦2𝑎𝑧 𝑅𝑄𝑃 2𝑎𝑥5𝑎𝑦2𝑎𝑧 𝑎𝑅𝑄𝑃 𝑅𝑄𝑃 𝑅𝑄𝑃 2 𝑎𝑥5 𝑎𝑦2 𝑎𝑧 33 𝑅𝑄𝑃 2 2 5 2 2 2 33 𝐸𝑄𝑃 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅𝑄𝑃 2 𝑎𝑅12 5106 4𝜋𝜀0 33 2 2 𝑎𝑥5 𝑎𝑦2 𝑎𝑧 33 𝐸𝑄𝑃 5106 4𝜋8851012 33 2 2 𝑎𝑥5 𝑎𝑦2 𝑎𝑧 33 𝜀0 885 1012𝐹𝑚 No espaço livre 𝐸𝑄𝑃 4743𝑎𝑥 11858𝑎𝑦 4743𝑎𝑧 𝑉𝑚 Para obter o campo na origem 𝑅𝑄𝑂 000 231 𝑅𝑄𝑂 231 2𝑎𝑥3𝑎𝑦1𝑎𝑧 𝑅𝑄𝑂 2𝑎𝑥3𝑎𝑦1𝑎𝑧 𝑎𝑅𝑄𝑂 𝑅𝑄𝑃 𝑅𝑄𝑃 2 𝑎𝑥3 𝑎𝑦1 𝑎𝑧 14 𝑅𝑄𝑂 2 2 3 2 1 2 14 𝐸𝑄𝑂 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑅𝑄𝑃 2 𝑎𝑅12 5106 4𝜋𝜀0 14 2 2 𝑎𝑥3 𝑎𝑦1 𝑎𝑧 14 𝐸𝑄𝑂 5106 4𝜋 8851012 14 2 2 𝑎𝑥3 𝑎𝑦1 𝑎𝑧 14 𝜀0 885 1012𝐹𝑚 No espaço livre 𝐸𝑄𝑂 17165𝑎𝑥 25748𝑎𝑦 8583𝑎𝑧 𝑉𝑚 Campo elétrico devido a 2 cargas pontuais A Lei de Coulomb admite a superposição de efeitos Assim o campo devido à duas cargas em um ponto do espaço será a soma dos campos gerados individualmente por cada carga nesse ponto Q1 P 𝑅1𝑃 Q2 𝑅2𝑃 𝐸𝑃 𝐸1𝑃 𝐸2𝑃 𝐸𝑃 𝑄1 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟𝑝 Ԧ𝑟1 2 𝑎1𝑃 𝑄2 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟𝑝 Ԧ𝑟2 2 𝑎2𝑃 0 Ԧ𝑟1 Ԧ𝑟2 Ԧ𝑟𝑝 Campo elétrico devido a n cargas pontuais Da superposição de efeitos admitida pela Lei de Coulomb para n cargas presentes no espaço o campo elétrico num ponto P será dado por Q1 P Q2 𝐸𝑃 𝑚1 𝑛 𝑄𝑚 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟𝑃 Ԧ𝑟𝑚 2 𝑎𝑚 Q3 Q4 Qn 0 Campo elétrico devido à uma distribuição volumétrica contínua de cargas Muitas vezes não conhecemos a posição individual e o valor de cada carga presente no espaço É mais provável conhecermos apenas uma expressão que descreve a sua distribuição no espaço Q1 Q2 Q3 Q4 Qn 0 P Tomando um pequeno volume diferencial ΔV na distribuição esperamos encontrar um diferencial de carga ΔQ 0 Δ𝑉 Δ𝑄 𝜌𝑣Δ𝑉 C 𝜌𝑣 lim Δ𝑉0 Δ𝑄 Δ𝑉 Cm3 A carga total presente na distribuição ou em parte dela é obtida pela integração da distribuição volumétrica de cargas no volume especificado 0 𝑄 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣 𝑑𝑣 C