Teorema da Divergência em Eletrostática: Análise Detalhada

Eletrostática Teorema da Divergência Teorema da Divergência A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual a integral da divergência desse campo através do volume envolvido pela superfície fechada ර 𝑠 𝐷 𝑑Ԧ𝑠 න 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 Exemplo Desenvolva ambos os lados do teorema da divergência para o campo para a região em forma de cunha limitada por 𝐷 2𝜌2 cos 5𝜙 𝑎𝜌 sen 5𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧 Cm2 𝜌 5 𝑚 0 01𝜋 0 𝑧 10 𝑚 Solução Desenhando o problema podemos identificar 5 superfícies abertas que compõe a cunha ρ z Z0 Z10 ρ5 φ0 φ01π φ ර 𝑠 𝐷 𝑑Ԧ𝑠 න 1 න 2 න 3 න 4 න 5 Resolvendo agora pelo lado direito do teorema As superfícies são aqui enumeradas 1 Tampa 2 Base 3 Parte curva 4 Lateral direita 5 Lateral esquerda z φ 4 5 3 Escrevendo a integral da densidade de fluxo elétrico na tampa 1 z φ 𝑎𝑧 න 1 𝐷 𝑑Ԧ𝑠1 න 𝑠1 2𝜌2 cos 5𝜙 𝑎𝜌 sen 5𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧 𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌𝑎𝑧 න 1 𝐷 𝑑Ԧ𝑠1 න 𝜌 5 න 𝜙0 01𝜋 2𝜌3𝑑𝜙𝑑𝜌 Antes de resolver essa integral vamos escrever a integral da densidade na base 2 A integral da densidade de fluxo elétrico na base 2 z φ 𝑎𝑧 න 2 𝐷 𝑑Ԧ𝑠2 න 𝑠2 2𝜌2 cos 5𝜙 𝑎𝜌 sen 5𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧 𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌𝑎𝑧 න 2 𝐷 𝑑Ԧ𝑠2 න 𝜌 5 න 𝜙0 01𝜋 2𝜌3𝑑𝜙𝑑𝜌 Que quando somada à integral da tampa ambas se cancelarão mutuamente Escrevendo agora a integral da densidade de fluxo elétrico na lateral curva 3 z φ 3 𝑎𝜌 න 3 𝐷 𝑑Ԧ𝑠3 න 𝑠3 2𝜌2 cos 5𝜙 𝑎𝜌 sen 5𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧𝑎𝜌 න 3 𝐷 𝑑Ԧ𝑠3 2𝜌3 න 𝑧0 10 න 𝜙0 01𝜋 cos 5𝜙 𝑑𝜙𝑑𝑧 න 3 𝐷 𝑑Ԧ𝑠3 2 53 10 0 𝑠𝑒𝑛 05𝜋 𝑠𝑒𝑛 0 5 500 න 3 𝐷 𝑑Ԧ𝑠3 2𝜌3 න 𝑧0 10 න 𝜙0 01𝜋 cos 5𝜙 𝑑𝜙𝑑𝑧 Finalmente a integral da densidade de fluxo elétrico na lateral direita 4 න 4 𝐷 𝑑Ԧ𝑠4 න 𝑠4 2𝜌2 cos 5𝜙 𝑎𝜌 sen 5𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧 𝑑𝜌𝑑𝑧𝑎𝜙 න 4 𝐷 𝑑Ԧ𝑠4 2 s𝑒𝑛 5𝜙 න 𝑧0 10 𝑑𝑧 න 𝜌0 5 𝜌2𝑑𝜌 z φ 𝑎𝜙 4 න 4 𝐷 𝑑Ԧ𝑠4 2500 3 න 4 𝐷 𝑑Ԧ𝑠4 2 s𝑒𝑛 5𝜙 න 𝑧0 10 𝑑𝑧 න 𝜌0 5 𝜌2𝑑𝜌 න 4 𝐷 𝑑Ԧ𝑠4 2 s𝑒𝑛 05𝜋 10 0 53 03 3 E a integral da densidade de fluxo elétrico na lateral esquerda 5 න 5 𝐷 𝑑Ԧ𝑠5 න 𝑠5 2𝜌2 cos 5𝜙 𝑎𝜌 sen 5𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧 𝑑𝜌𝑑𝑧𝑎𝜙 න 5 𝐷 𝑑Ԧ𝑠5 2 sen 5𝜙 න 𝑧0 10 න 𝜌0 5 𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝑧 z φ 5 𝑎𝜙 න 5 𝐷 𝑑Ԧ𝑠5 0 න 5 𝐷 𝑑Ԧ𝑠5 2 sen 5𝜙 න 𝑧0 10 න 𝜌0 5 𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝑧 ׯ𝑠 𝐷 𝑑Ԧ𝑠 500 2500 3 33333 𝐶 Resolvendo agora pelo lado direito do teorema da divergência න 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 න 𝑧0 10 න 𝜌0 5 න 𝜙0 01𝜋 𝐷 𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌𝑑𝑧 Somando a contribuição de todas as faces ර 𝑠 𝐷 𝑑Ԧ𝑠 න 1 න 2 500 2500 3 0 Em coordenadas cilíndricas por 𝐷 1 𝜌 𝜌 𝜌𝐷𝜌 1 𝜌 𝐷𝜙 𝜙 𝐷𝑧 𝑧 𝐷 1 𝜌 𝜌 𝜌 2𝜌2𝑐𝑜𝑠5𝜙 1 𝜌 2𝜌2𝑠𝑒𝑛5𝜙 𝜙 2𝜌2 𝑧 0 𝐷 6𝜌 cos 5𝜙 10𝜌 cos 5𝜙 4 𝜌 cos 5𝜙 න 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 න 𝑧0 10 න 𝜌0 5 න 𝜙0 01𝜋 4 𝜌 cos 5𝜙 𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌𝑑𝑧 න 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 40 න 𝜌0 5 𝜌2𝑑𝜌 න 𝜙0 01𝜋 cos 5𝜙 𝑑𝜙 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 40 5303 3 𝑠𝑒𝑛 05𝜋 𝑠𝑒𝑛 0 5 1000 3 𝑣 𝐷 𝑑𝑣 33333 𝐶