Lista de Exercícios Resolvidos: EDO, Programação Linear, Bases e Interpolação

10 questões a resolver de sistema função EDO programação linear base e interpolação Questão 1 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y04 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2seny sendo y0 3 Questão 2 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y1 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2y sendo y0 3 Questão 3 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y3 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y sen2 y sendo y0 02 Questão 4 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y04 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y y2 sendo y0 3 Questão 5 Questão 6 Questão 7 Questão 8 Considere o seguinte problema de programação linear Maximize Z 2x1 3x2 4x3 Sujeito a x1 x2 3x3 15 x1 2x2 x3 20 x1 0 x2 0 x3 0 O valor ótimo da função objetivo é Questão 9 Seja N uma base de numeração e os números A 100N B 243N1 C 30N D F16 e E 1102 Sabendose que a igualdade B D A EC é válida o produto de valores válidos para a base N é Questão 10 Questão 1 Assinale a única alternativa que apresenta o valor de y04 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2seny sendo y0 3 Solução Para resolver uma equação diferencial podemos aplicar um método numérico Como o intervalo de resolução é relativamente pequeno podemos utilizar o método de Euler com um tamanho de passo sensato de h 01 Agora defina fxnyn 2senyn Como valor inicial temos que x0 0 e y0 3 Aplicando o método de Euler y1 y0 h fx0y0 301 f03 3012sen3 3028 x1 x0 h 001 01 y2 y1 h fx1y1 302801f013028 3014012sen3028 3051 x2 x1 h 0101 02 y3 y2 h fx2y2 305101 f023051 3051012sen3051 3069 x3 x2 h 0201 03 y4 y3 h fx3y3 306901 f033069 3069012sen3069 3084 x4 x3 h 0301 04 Logo y04 3084 Resposta final Opção 5 3084 1 Questão 2 Assinale a única alternativa que apresenta o valor de y1 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2y sendo y0 3 Solução Desta vez defina fxnyn 2yn h 01 x0 0 e y0 3 Como o tamanho do intervalo é maior que o caso anterior o método de Euler pode não ser apropriado por não ser um método muito acurado Sendo assim é mais seguro utilizar um método mais preciso como o método de RungeKutta de ordem 4 O esquema iterativo do método de RungeKutta de ordem 4 é dado por yn1 yn h 6 k1 2k2 k3k4 onde k1 fxnyn k2 fxn h2yn hk12 k3 fxn h2yn hk22 k4 fxn hyn hk3 Temos então que k1 fx0y0 f03 23 6 k2 fx0 h2y0 hk12 230162 66 k3 fx0 h2y0 hk22 2301662 666 k4 fx0 hy0 hk3 2301666 7332 y1 y0 h 6k1 2k2 2k3 k4 3 01 6 6266667332 3664 x1 x0 h 001 01 k1 fx1y1 23664 7328 k2 fx1 h2y1 hk12 236640173282 8061 k3 fx1 h2y1 hk22 236640180612 8135 k4 fx1 hy1 hk3 23664018135 8955 y2 y1 h 6k1 2k2 2k3 k4 3664 01 6 73282806181358955 4475 x2 x1 h 0101 02 k1 fx2y2 24475 8951 k2 fx2 h2y2 hk12 244750189512 9846 k3 fx2 h2y2 hk22 244750198462 9936 k4 fx2 hy2 hk3 24475019936 10938 y3 y2 h 6k1 2k2 2k3 k4 4475 01 6 895129846993610938 5466 x3 x2 h 0201 03 2 k1 fx3y3 25466 10933 k2 fx3 h2y3 hk12 2546601109332 12026 k3 fx3 h2y3 hk22 2546601120262 12135 k4 fx3 hy3 hk3 254660112135 13360 y4 y3 h 6k1 2k2 2k3 k4 6677 x4 x3 h 0301 04 k1 fx4y4 26677 13353 k2 fx4 h2y4 hk12 2667701133532 14688 k3 fx4 h2y4 hk22 2667701146882 14822 k4 fx4 hy4 hk3 266770114822 16318 y5 y4 h 6k1 2k2 2k3 k4 8155 x5 x4 h 0401 05 k1 fx5y5 28155 16310 k2 fx5 h2y5 hk12 2815501163102 17940 k3 fx5 h2y5 hk22 2815501179402 18104 k4 fx5 hy5 hk3 281550118104 19930 y6 y5 h 6k1 2k2 2k3 k4 9960 x6 x5 h 0501 06 k1 fx6y6 29960 19920 k2 fx6 h2y6 hk12 2996001199202 21912 k3 fx6 h2y6 hk22 2996001219122 22112 k4 fx6 hy6 hk3 299600122112 24343 y7 y6 h 6k1 2k2 2k3 k4 12165 x7 x6 h 0601 07 k1 fx7y7 212165 24331 k2 fx7 h2y7 hk12 21216501243312 26764 k3 fx7 h2y7 hk22 21216501267642 27007 k4 fx7 hy7 hk3 2121650127007 29732 y8 y7 h 6k1 2k2 2k3 k4 14859 x8 x7 h 0701 08 3 k1 fx8y8 214859 29718 k2 fx8 h2y8 hk12 21485901297182 32689 k3 fx8 h2y8 hk22 21485901326892 32987 k4 fx8 hy8 hk3 2148590132987 36315 y9 y8 h 6k1 2k2 2k3 k4 18149 x9 x8 h 0801 09 k1 fx9y9 218149 36297 k2 fx9 h2y9 hk12 21814901362972 39297 k3 fx9 h2y9 hk22 21814901392972 40290 k4 fx9 hy9 hk3 2181490140290 36315 y10 y9 h 6k1 2k2 2k3 k4 22167 x10 x9 h 0901 1 Logo y1 22167 Resposta final Opção 3 22167 4 Questão 3 Assinale a única alternativa que apresenta o valor de y3 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y sen2y sendo y0 02 Solução Desta vez defina fxnyn sen2yn h 03 x0 0 e y0 02 Como o tamanho do intervalo é maior que o caso anterior o método de Euler pode não ser apropriado por não ser um método muito acurado Sendo assim é mais seguro utilizar um método mais preciso como o método de RungeKutta de ordem 4 O esquema iterativo do método de RungeKutta de ordem 4 é dado por yn1 yn h 6 k1 2k2 k3k4 onde k1 fxnyn k2 fxn h2yn hk12 k3 fxn h2yn hk22 k4 fxn hyn hk3 Temos então que k1 fx0y0 f002 sen202 0039 k2 fx0 h2y0 hk12 sen2020300392 0042 k3 fx0 h2y0 hk22 sen2020300422 0042 k4 fx0 hy0 hk3 sen202030042 0045 y1 y0 h 6k1 2k2 2k3 k4 02 03 6 00392004200420042 0213 x1 x0 h 003 03 k1 fx1y1 sen20213 0045 k2 fx1 h2y1 hk12 sen202130300452 0047 k3 fx1 h2y1 hk22 sen202130300472 0047 k4 fx1 hy1 hk3 sen202130300472 0051 y2 y1 h 6k1 2k2 2k3 k4 0213 03 6 00452004700470051 0227 x2 x1 h 0303 06 k1 fx2y2 sen20227 0051 k2 fx2 h2y2 hk12 sen202270300512 0054 k3 fx2 h2y2 hk22 sen202270300542 0054 k4 fx2 hy2 hk3 sen20227030054 0058 y3 y2 h 6k1 2k2 2k3 k4 0227 03 6 00512005400540058 0243 x3 x2 h 0603 09 5 k1 fx3y3 sen20243 0058 k2 fx3 h2y3 hk12 sen202430300582 0062 k3 fx3 h2y3 hk22 sen202430300622 0062 k4 fx3 hy3 hk3 sen20243030062 0067 y4 y3 h 6k1 2k2 2k3 k4 0262 x4 x3 h 0903 12 k1 fx4y4 sen20262 0067 k2 fx4 h2y4 hk12 sen202620300672 0072 k3 fx4 h2y4 hk22 sen202620300722 0072 k4 fx4 hy4 hk3 sen20262030072 0078 y5 y4 h 6k1 2k2 2k3 k4 0283 x5 x4 h 1203 15 k1 fx5y5 sen20283 0078 k2 fx5 h2y5 hk12 sen202830300782 0085 k3 fx5 h2y5 hk22 sen202830300852 0085 k4 fx5 hy5 hk3 sen20283030085 0092 y6 y5 h 6k1 2k2 2k3 k4 0309 x6 x5 h 1503 18 k1 fx6y6 sen20309 0092 k2 fx6 h2y6 hk12 sen203090300922 0101 k3 fx6 h2y6 hk22 sen203090301012 0101 k4 fx6 hy6 hk3 sen20309030101 0111 y7 y6 h 6k1 2k2 2k3 k4 0339 x7 x6 h 1803 21 k1 fx7y7 sen20339 0111 k2 fx7 h2y7 hk12 sen203390301112 0121 k3 fx7 h2y7 hk22 sen203390301212 0122 k4 fx7 hy7 hk3 sen20339030122 0135 y8 y7 h 6k1 2k2 2k3 k4 0376 x8 x7 h 2103 24 6 k1 fx8y8 sen20376 0135 k2 fx8 h2y8 hk12 sen203760301352 0149 k3 fx8 h2y8 hk22 sen203760301492 0150 k4 fx8 hy8 hk3 sen20376030150 0167 y9 y8 h 6k1 2k2 2k3 k4 0421 x9 x8 h 2403 27 k1 fx9y9 sen20421 0167 k2 fx9 h2y9 hk12 sen204210301672 0186 k3 fx9 h2y9 hk22 sen204210301862 0188 k4 fx9 hy9 hk3 sen204210301882 0211 y10 y9 h 6k1 2k2 2k3 k4 0477 x10 x9 h 2703 3 Logo y3 0477 Resposta final Opção 5 0477 7 Questão 4 Assinale a única alternativa que apresenta o valor de y04 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y y2 sendo y0 3 Solução Como o intervalo de resolução é relativamente pequeno podemos utilizar o método de Euler com um tamanho de passo sensato de h 01 Agora defina fxnyn y2 n Como valor inicial temos que x0 0 e y0 3 Aplicando o método de Euler y1 y0 hfx0y0 301 f03 30132 39 x1 x0 h 001 01 y2 y1 hfx1y1 3901 f0139 3901392 5421 x2 x1 h 0101 02 y3 y2 hfx2y2 542101f025421 54210154212 8360 x3 x2 h 0201 03 y4 y3 hfx3y3 836001f038360 83600183602 15348 x4 x3 h 0301 04 Logo y04 15348 Resposta final Opção 1 15348 8 Questão 5 A velocidade v de um foguete Saturno V em voo vertical perto da superfície da Terra pode ser medida por v u ln M M mt onde u 2510 m s velocidade de exaustão em relação ao foguete M 28 10⁶ kg massa do foguete na decolagem m 133 10³ kg s taxa de consumo de combustível g 981 m s² aceleração gravitacional t tempo medido a partir da decolagem Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som 355 m s Utilize para aproximação inicial o intervalo 70 80 Solução Observe que o modelo fornecido dado por v u ln M M mt gt pode ser escrito na forma ft u ln M M mt gt v 0 Então basta encontrar uma raiz para ft localizada no intervalo 70 80 para estimar o tempo procurado Neste contexto podemos utilizar um método numérico intervalar ou aberto para obter para encontrar uma raiz de ft Diante da baixa velocidade de métodos intervalares tal como o método da Bisseção podemos utilizar o método de Newton que quando converge encontra o resultado com maior velocidade O esquema iterativo do método de Newton é dado por tᵢ₁ tᵢ ftᵢ ftᵢ Para aplicar o método precisamos de ft que pela regra da cadeia é dado por ft u 1 M M mt M M mt g u M mt M M m M mt² g um M mt g Agora precisamos definir uma aproximação inicial Como a raíz está no intervalo 70 80 o ponto médio do intervalo é um palpite razoável ou seja t₀ 75 Por fim definimos uma tolerância de 10⁶ pois as alternativas apresentam seis casas decimais Calculando o valor de ft₀ no chute inicial ft₀ u ln M M mt₀ gt₀ v 2510 ln 28 10⁶ 28 10⁶ 133 10³75 98175 355 1476651578 Aplicando o método de Newton obtemos Iteração 1 i 0 ft₀ um M mt₀ g 2510 133 10³ 28 10⁶ 133 10³75 981 871038835 t₁ t₀ ft₀ ft₀ 75 1476651578 871038835 7330472360 ft₁ u ln M M mt₁ gt₁ v 2510 ln 28 10⁶ 28 10⁶ 133 10³7330472360 9817330472360 355 019474869 ft₁ 019474869 10⁶ Iteração 2 i 1 ft₁ um M mt₁ g 2510 133 10³ 28 10⁶ 133 10³7330472360 981 848158196 t₂ t₁ ft₁ ft₁ 7330472360 019474869 848158196 7328176224 ft₂ u ln M M mt₂ gt₂ v 2510 ln 28 10⁶ 28 10⁶ 133 10³7328176224 9817328176224 355 000003514 ft₂ 000003514 10⁶ Iteração 3 i 2 ft₂ um M mt₂ g 2510 133 10³ 28 10⁶ 133 10³7328176224 981 847852173 t₃ t₂ ft₂ ft₂ 7328176224 000003514 847852173 7328175809 ft₃ u ln M M mt₃ gt₃ v 2510 ln 28 10⁶ 28 10⁶ 133 10³7328175809 9817328175809 355 56550 10⁸ ft₃ 56550 10⁸ 10⁶ Resposta final Opção 5 73281758 Questão 6 Dado o sistema 2 2 4 2 1 3 2 1 3 1 3 1 1 3 4 2 x1 x2 x3 x4 10 17 18 27 calcule a soma x1 x2 x3 x4 usando o método de GaussJordan Solução Para aplicar o método de GaussJordan escrevemos a matriz ampliada do sistema matricial que neste caso é 2 2 4 2 10 1 3 2 1 17 3 1 3 1 18 1 3 4 2 27 De posse da matriz ampliada do sistema vamos utilizar operações elementares de modo a obter uma matriz equivalente tal que as quatro primeiras colunas dessa matriz se apresentem na configuração de uma matriz identidade Incialmente dividimos a primeira linha da matriz por 2 para produzir o elemento 1 na posição da diagonal principal 1 1 2 1 5 1 3 2 1 17 3 1 3 1 18 1 3 4 2 27 Substituindo a linha L2 por L2 L1 substituindo a linha L3 por L3 3L1 substituindo a linha L4 por L4 L1 obtemos 1 1 2 1 5 0 2 0 2 12 0 2 3 4 3 0 2 2 3 22 Substituindo L2 por 12L2 1 1 2 1 5 0 1 0 1 6 0 2 3 4 3 0 2 2 3 22 Substituindo a linha L1 por L1 L2 substituindo a linha L3 por L3 2L2 substituindo a linha L4 por L4 2L2 obtemos 1 0 2 2 1 0 1 0 1 6 0 0 3 6 15 0 0 2 1 10 Substituindo L3 por 13L3 1 0 2 2 1 0 1 0 1 6 0 0 1 2 5 0 0 2 1 10 11 Substituindo a linha L1 por L1 2L3 substituindo a linha L4 por L4 2L3 obtemos 1 0 0 2 9 0 1 0 1 6 0 0 1 2 5 0 0 0 5 20 Substituindo L4 por 15L4 1 0 0 2 9 0 1 0 1 6 0 0 1 2 5 0 0 0 1 4 Substituindo a linha L1 por L1 2L4 substituindo a linha L2 por L2 L2 substituindo a linha L3 por L3 2L4 obtemos 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 1 4 A última coluna da matriz equivalente obtida corresponde à solução do sistema ou seja são os valores das incógnitas x1 x2 x3 e x4 Portanto x1 x2 x3 x4 1234 10 Resposta final Opção 2 10 12 Questão 7 Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes dados x 1 09 08 0 1 2 Y 601 539 480 201 065 021 Determine a função fx m₀1 em₁x que melhor se ajuste aos dados e calcule f31 Solução O modelo de interesse apresentado é nãolinear e não pode ser linearizado pelas estratégias clássicas publicadas na literatura Então planos alternativos devem ser traçados para adequar o modelo ao problema Uma estratégia não usual que poderia ser utilizada seria forçar que a função de interesse passe por um ponto específico da tabela Uma escolha coerente seria o ponto no qual x 0 pois desta forma conseguiremos descobrir uma das incógnitas procuradas Considerando então o ponto 0 201 obtemos que f0 m₀1 em₁0 m₀1 1 2m₀ 201 Logo m₀ 201 2 1005 Para encontrar m₁ linearizamos a expressão conhecida y m₀1 em₁x 10051 em₁x dividindo a expressão anterior por 1005 e aplicando ln a ambos os membros da igualdade obtemos lny 1005 lnem₁x m₁x Dividindo os valores conhecidos para y por 1005 e aplicando ln no vetor resultante dessa opelação chegamos ao vetor Y 17884 16796 15636 06931 04358 15656T Então pelo método dos mínimos quadrados obtemos Σ⁶ i1 xᵢ² 1² 09² 08² 0² 1² 2² 745 Σ⁶ i1 xᵢy₁ 117884 0916796 0815636 006931 104358 215656 81180 Portanto como o sistema é constituído de apenas uma variável podemos resolver diretamente por pela razão m₁ 81180 745 10897 Então o modelo de interesse pode ser estimado em fx 10051e10897x Aplicando o modelo obtido no ponto x 31 chegamos em f31 10051e1089731 104 Resposta final Opção 2 104 14 Questão 8 Considere o seguinte problema de programação linear Maximize Z 2x1 3x2 4x3 Sujeito a x1 x2 3x3 15 x1 2x2 x3 20 x1 0 x2 0 x3 0 O valor ótimo da função é Solução Primeiramente escrevemos a função objetivo na forma Z 2x1 3x2 4x3 0 Agora vamos transformar as inequações de restrição em equações através de linha de raciocínio coe rente inserindo incógnitas de folga x1 x2 3x3 f1 15 x1 2x2 x3 f2 20 De posse das equações obtidas e da função objetivo montamos uma tabela Tableu Simplex com todas as equações Pivô x1 x2 x3 f1 f2 resposta f1 1 1 3 1 0 15 f2 1 2 1 0 1 20 Z 2 3 4 0 0 0 Ao montar a tabela já obtemos uma solução viável mas que não necessariamente é ótima Variáveis Básicas Variáveis NãoBásicas Função Objetivo f1 15 x1 0 Z 0 f2 20 x2 0 x3 0 Para começar a busca pelo valor ótimo efetivamos trocas de pivô pelo método de GaussJordan Observe que x2 é o valor que mais impacta na função objetivo Então começaremos a trabalhar com os valores que estão nessa coluna Dividindo os valores da resposta pelos valores que estão associados a x2 obtemos 15 1 15 20 2 10 Vemos assim que o menor valor está associado à segunda linha isto é à f2 Isso significa que tenho que transformar a coluna de x2 na coluna f2 Nesta perpectiva dividimos a linha L2 por 2 obtendo a tabela 15 Pivô x1 x2 x3 f1 f2 resposta f1 1 1 3 1 0 15 12 1 12 0 12 10 Z 2 3 4 0 0 0 Em seguida substituindo a linha L1 da tabela por L1L2 e substituindo a linha L3 da tabela por L33L2 obtemos Pivô x1 x2 x3 f1 f2 resposta f1 12 0 72 1 12 5 x2 12 1 12 0 12 10 Z 12 0 52 0 32 30 Agora o valor que mais impacta o resultado de maximização é a coluna de x1 Multiplicando a linha L1 por 2 obtemos Pivô x1 x2 x3 f1 f2 resposta 1 0 7 2 1 10 x2 12 1 12 0 12 10 Z 12 0 52 0 32 30 Por fim zeramos os elementos abaixo da primeira linha da variável x1 substituindo a linha L2 da tabela por L2 12L1 e substituindo a linha L3 da tabela por L3 12L1 Pivô x1 x2 x3 f1 f2 resposta x1 1 0 7 2 1 10 x2 0 1 4 1 1 5 Z 0 0 6 1 1 35 Assim pelo método simplex obtemos que o valor ótimo de x1 é 10 o valor ótimo de x2 é 5 e o valor ótimo de x3 é zero Substituindo esses valores na função objetivo obtemos Z 2103540 2015 35 Observe que esses valores satisfazem as restrições x1 x2 3x3 105 15 x1 2x2 x3 10250 20 x1 10 0 x2 5 0 x3 0 0 Resposta final Opção 1 35 16 Questão 9 Seja N uma base de numeração e os números A 100N B 243N1 C 30N D F16 e E 1102 Sabendose que a igualdade B D A EC é válida o produto de valores válidos para a base N é Solução Vamos transformar estes números na base decimal Para isso devemos calcular a soma dos produtos entre seus valores posicionais A 100N 1 N2 0 N1 0 N0 N2 B 243N1 2 N 12 4 N 11 3 N 10 2N2 2N 1 4N 1 3 2N2 4N 2 4N 4 3 2N2 8N 9 C 30N 3 N1 0 N0 3N D F16 F 160 15 E 1102 1 22 1 21 0 20 4 2 6 Substituindo na igualdade conhecida obtemos B D A E C 2N2 8N 9 15 N2 6 3N 2N2 8N 9 15 N2 18N 0 N2 10N 24 0 Resolvendo a equação do segundo grau obtida temos que N b b2 4ac 2a 10 102 4124 21 10 100 96 2 10 4 2 10 2 2 Assim obtemos N1 10 2 2 12 2 6 N2 10 2 2 8 2 4 Portanto o produto procurado é N1 N2 64 24 Resposta final Opção 3 24 Solução Aplicando a expressão definida pela razão entre os produtórios no valor x xk obtemos Lnmxk xk xk xm xk Observe que no numerador surge uma diferença que resulta em zero xk xk Como esse termo é fator de todos os termos do numerador o resultado destes produtos é zero Consequentemente o resultado da divisão final também será nulo Portanto Lnmxk xk xk xm xk 0 Resposta final Opção 2 0 18