Lista de Exercícios Resolvidos Calculo de Multiplas Variaveis - Integrais e Analise Combinatoria

25 questões a resolver de cálculo de múltiplas variáveis de cálculo de integrais múltiplas e de análise combinatória Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Questão 6 Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10 Questão 11 Questão 12 Questão 13 Questão 14 Questão 15 Questão 16 Questão 17 Questão 18 Questão 19 Questão 20 Questão 21 Questão 22 Questão 23 Questão 24 Questão 25 Questão 6 As funções de várias variáveis são aquelas que possuem mais de uma variável independente e uma variável dependente Seja fxy um função diferencial no ponto 12 e que fx121 e que sua derivada direcional segundo a direção do vetor 11 vale 1 qual o valor de fy12 Solução Sabese que a derivada direcional de um de uma função fxy na direção de um versor u é calculada por Du fxy fxy u Calculando o versor u do vetor 11 u 1111 111²1² 112 12 12 Como fxy fx fy temos que f12 1 fy12 Dessa forma Du f12 f12 12 12 1 fy12 12 12 12 12 fy12 1 Logo 12 fy12 1 12 fy12 1 2 Resposta final Opção 5 1 2 Questão 7 A integração dupla é uma das ferramentas fundamentais para a análise de funções de duas variáveis e portanto para o estudo da geometria analítica Determine a área dada pela integral ₁⁴ ₁² 2x 6x² y dy dx em unidades de valores uv Solução Resolvendo a integral iterada obtemos ₁⁴ ₁² 2x 6x² y dy dx ₁⁴ 2xy 3x² y²₁² dx ₁⁴ 2x2 3x²2² 2x1 3x²1² dx ₁⁴ 4x 12x² 2x 3x² dx ₁⁴ 6x 9x² dx 3x² 3x³₁⁴ 34² 34³ 31² 31³ 48 192 3 3 234 uv Resposta final Opção 5 234 Questão 8 As integrais duplas podem ser usadas para calcular a massa total de um objeto em três dimensões Determine a massa em um da lâmina que ocupa a região D e tem densidade ρ onde D xy 0 x 2 1 y 1 ρxy xy² Solução A massa total da lâmina pode ser obtida por integração dupla conforme sequência de cálculos a seguir M D ρxydA ₀² ₁¹ xy² dy dx Como o integrando pode ser separado fatores que dependem de apenas uma variável e os intervalos de integração são definidos por extremidades constantes podemos resolver a integral fazendo M ₀² x dx ₁¹ y² dy x²2₀² y³3₁¹ 2²2 0 1³3 1³3 213 13 43 um Resposta final Opção 1 43 Questão 9 As integrais podem ser usadas para calcular a massa total de um objeto em três dimensões Determine o centro de massa de um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano z0 acima pelo cone zr r0 e dos lados pelo cilindro r1 Solução Dadas as limitações do sólido podemos representálo conforme imagem a seguir Fazendo mudança para coordenadas cilindricas temos que 0zr 0r1 0θ2π Então a massa total deste sólido com densidade constante k é dada por ME ρxyzdV02π 01 0r rk dzdrdθ02π 01 rkz0r drdθ02π 01 rkr drdθ k02π 01 r2 drdθ k02π r3301 dθ k02π 133 dθ k3 02π dθ k3 θ02π 2kπ3 um Agora encontramos as coordenadas do centro de massa xcm 1M xρxyzdV 32kπ 02π 01 0r rr cosθk dzdrdθ 32π 02π 01 r2 cosθz0r drdθ 32π 02π 01 r2 cosθr drdθ 32π 02π 01 r3 cosθ drdθ 32π 02π r4401 cosθ dθ 32π 02π 144 cosθ dθ 38π 02π cosθdθ 38π sinθ02π 38π sin2π sin0 0 ycm 1M yρxyzdV 32kπ 02π 01 0r rr sinθk dzdrdθ 32π 02π 01 r2 sinθz0r drdθ 32π 02π 01 r2 sinθr drdθ 32π 02π 01 r3 sinθ drdθ 32π 02π r4401 sinθ dθ 38π 02π sinθdθ 38π cosθ02π 38π cos2πcos0 0 zcm 1M E zρxyzdV 32kπ 02π 01 0r rzk dzdrdθ 32π 02π 01 r z220r drdθ 34π 02π 01 r3 drdθ 34π 02π r4401 dθ 316π 02π dθ 316π θ02π 316π 2π 38 Portanto o centro de massa procurado é 0038 Resposta final Opção 2 0038 Questão 10 Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares Para isto considerou o círculo de raio r e centro na origem A equação de tal círculo é dada por x2y2r2 Pedro encontrou em coordenadas polares o mesmo círculo como sendo Solução Para fazer mudança para coordenadas polares por construção definimos xr cosθ yr senθ Como a equação de interesse é uma circunferência as expressões básicas de mudança para coordenadas polares não serão alteradas Além disso como não há restrição para o ângulo concluímos que θ compreende à circunferência completa ou seja 0 θ 2π Logo em coordenadas polares a mesma circunferência pode ser escrita como x r cosθ y rsenθ 0 θ 2π Resposta final Opção 5 xr cosθ yrsenθ onde θ 0 2π Questão 11 A integral de linha 2xydx x 4xydy no círculo x² y² 1 percorrido uma vez em sentido antihorário satisfaz as condições do Teorema de Green Portanto ao aplicar o teorema encontraremos Solução A aplicação do teorema de Green pode ser expressa na forma C Pxydx Qxydy D Qx Py dA Da integral dada no enunciado podemos extrair que Pxy 2x y Qxy x 4xy Então Py 1 Qx 1 4y Dessa forma C Pxydx Qxydy D 1 4y 1 dA D 4y 2 dA Como o contorno de interesse tratase de uma circunferência de raio r 1 podemos transformar a curva C por coordenadas polares x r cosθ y r sinθ onde 0 r 1 e 0 θ 2π Assim obtemos C Pxydx Qxydy D 4y 2 dA 02π 01 r4r sinθ 2 dr dθ 02π 01 4r² sinθ 2r dr dθ 02π 4r³3 sinθ r²01 dθ 02π 43 sinθ 1 dθ 43 cosθ θ02π 43 cos2π 2π 43 cos0 0 2π Resposta final Opção 2 2π Questão 12 Calcule C x² y²2 dx x²2 y⁴ dy onde C é a fronteira da região D definida por D xy 1 x² y² 4 x 0 y 0 orientada no sentido antihorário Solução Observe que a região D definida corresponde a parte de uma coroa circular com raio variando de 1 até 2 Como os valores de x e de y devem ambos ser nãonegativos D está limitada ao primeiro quadrante do plano cartesiano Então podemos representar D conforme figura a seguir Como a curva é fechada suave e definida com orientação positiva podemos aplicar o teorema de Green Para tanto defina Pxy x² y²2 Qxy x²2 y⁴ Então Py xy y Qx xy x Pelo teorema de Green temos que C x² y²2 dx x²2 y⁴ dy D Qx Py dA D x y dA D x y dA Como D é uma coroa circular podemos fazer uma mudança de coordenadas para coordenadas polares fazendo x r cosθ y r sinθ onde 0 θ π2 e 1 r 2 Dessa forma a integral dupla obtida pode ser escrita como D x y dA 12 0π2 rr cosθ r sinθ dθ dr 12 0π2 r² cosθ r² sinθ dθ dr 12 r² sinθ r² cosθ0π2 dr 12 r² sinπ2 r² cosπ2 r² sin0 r² cos0 dr 12 r² r² dr 12 2r² dr 2r³312 22³3 21³3 163 23 143 Resposta final Opção 4 143 Questão 13 Considere a superfície parametrizada por φrθ r cosθr senθθ 0 r 1 0 θ 4π Encontre a expressão para o vetor normal à superfície Solução Para a superfície dada a orientação induzida é dada pelo vetor normal não necessariamente unitário n φr φθ Temos que φrrθ cosθ senθ 0 φθrθ r senθ r cosθ 1 Dessa forma φr φθ i j k cosθ senθ 0 r sinθ r cosθ 1 i senθ 0 j cosθ 0 k r cos2θ r sen2θ i senθ j cosθ k rcos2θ sen2θ i senθ j cosθ k r Portanto o vetor normal procurado é n senθ cosθ r Resposta final Opção 2 n senθ cosθ r Questão 14 Calcule a área da porção do cilindro x² y² a² compreendida entre os planos z 2x e z 4x Solução A área da superfície procurada pode ser encontrada através da integral de superfície AS S dS Para conseguir calcular essa integral precisamos parametrizar a superfície S e encontrar o termo dS Conforme indicado no enunciado do problema a superfície de interesse compreende a parte de um cilindro limitada pelos planos z 2x e z 4x conforme ilustra Figura a seguir Observe que existem dois pedaços de cilindro entre os planos um de um lado do plano yz e outro do outro lado deste mesmo plano Como existe uma simetria com relação ao plano yz podemos calcular a área de uma uma dessas partes simétricas da superfície e então multiplicar essa área por 2 Chamaremos S₁ a parte da superfície que usaremos aqui AS 2 S₁ dS Fazendo mudança de coordenadas para coordenadas cilíndricas obtemos x r cosθ y r sinθ z z Considerando a porção na qual os valores de z são não negativos obtemos π 2 θ π 2 2x 2r cosθ z 4x 4r cosθ Dessa forma podemos parametrizar a superfície de interesse em função de duas variáveis u θ v z considerando que na casca cilíndrica r a Obtemos assim a superfície parametrizada σ₁uv a cosu a sinu v onde π 2 u π 2 e 2 a cosu v 4 a cosu De posse da superfície parametrizada podemos encontrar dS pela expressão dS N dvdu Para encontrar o vetor normal precisamos das derivadas parciais de σ₁ σ₁u a sinu a cosu 0 σ₁v 0 0 1 Logo o vetor normal é dado por N σ₁u σ₁v i j k a sinu a cosu 0 0 0 1 i a cosu 0 0 1 j a sinu 0 0 1 k a sinu a cosu 0 0 i a cosu j a sinu Portanto N a cosu² a sinu² a²cos²u sin²u a² a Ou seja dS advdu Agora podemos calcular a área procurada fazendo AS 2 S₁ dS 2 π2π2 2 a cosu 4 a cosu advdu 2 a π2 π2 v2 a cosu 4 a cosu du 2 a π2 π2 4 a cosu 2 a cosudu 2 a π2 π2 2 a cosu du 4 a² π2 π2 cosu du 4 a² sinuπ2π2 4 a² sinπ2 sinπ2 4 a² 1 1 8 a² ua Resposta final Opção 1 8 a² Questão 15 Calcule S F n ds onde F xyz xy x2 z e S é a superfície do cilindro x12 y12 1 entre os planos z 0 e z 4 com vetor normal apontando para fora de S Solução Fazendo mudança de coordenadas para coordenadas cilíndricas obtemos x r cosθ y r sinθ z z Considerando que não restrições para o argumento e as extremidades limitantes de z são dadas no enunciado obtemos 0 θ 2π 0 z 4 Dessa forma podemos parametrizar a superfície de interesse em função de duas variáveis u θ v z considerando que na casca cilíndrica r 1 e que o cilindro está centralizado com relação ao plano xy em 110 Obtemos assim a superfície parametrizada σuv 1 cosu 1 sinu v onde 0 u 2π e 0 v 4 De posse da superfície parametrizada podemos encontrar o vetor normal a partir das derivadas parciais de σ σu sinu cosu 0 σv 0 0 1 Logo o vetor normal é dado por n σu σv i j k sinu cosu 0 0 0 1 i cosu 0 j sinu 0 k sinu cosu 0 1 0 1 0 0 i cosu j sinu Como n cosu2 sinu2 cos2u sin2u 1 não precisamos normalizar o vetor normal obtido Voltando à integral inicial S F n ds S 1 cosu 1 sinu 1 cosu2 v cosu sinu 0 ds 02π 04 cosu cos2u sinu sin2u dvdu 02π 04 cosu sinu 1 dvd u 02π cosu sinu 1 v04 du 4 02π cosu sinu 1 du 4 sinu cosu u02π 4 sin2π cos2π 2π sin0 cos0 0 42π 8π Resposta final Opção 2 8π Questão 16 Calcule σ rot F n ds onde σ é a porção do parabolóide z 1 x2 y2 com z 0 n é normal cuja componente z é nãonegativa e F xyz y z x Solução Se z 1 x2 y2 temos z 0 1 x2 y2 0 x2 y2 1 Observe que a superfície σ é o gráfico da função f A ℝ onde A xy ℝ2 x2 y2 1 é o disco unitário de centro na origem e fxy 1 x2 y2 é de classe C1 em A Esse tipo de superfície pode ser parametrizada por σ A ℝ2 σuv u v fuv que é injetiva regular e de classe C1 Assim vale o teorema de Stokes σ rot F n ds γ F dγ onde neste caso γ é a circunferência unitária no plano xy percorrida no sentido antihorário quando vista de cima a qual delimita a superfície σ com orientação compatível com a estipulada para a normal n Podemos escrever então que γ 0 2π ℝ3 γt cost sint 0 Assim F γt sint 0 cost γt sint cost 0 Questão 18 O princípio da Casa dos Pombos é sem dúvida um dos enunciados mais simples e poderosos na solu ção de problemas de contagem digamos inusitados Surpreendente ele possibilita a solução elegante de problemas muitas vezes de difícil abordagem Tendo este princípio em mente uma lanchonete disponibiliza seu hambúrguer com a possibilidade de escolha de três tipos de pães e além do hamburguer propriamente dito permite incluir ou não uma fatia de queijo Qual o número mínimo de hamburgueres uma criança tem que comer para garantir que comeu pelo menos dois hamburgueres iguais Solução Como há três tipos de pães disponíveis e as opções de incluir ou não incluir uma fatia de queijo obtemos pelo Princípio Fundamental da Contagem que há P1 32 6 possibilidades distintas de hamburgueres Logo pelo princípio da Casa dos Pombos podemos concluir que ao comer um a mais que o total de possibilidades garantimos que a criança comeu pelo menos dois hamburgueres iguais ou seja P P1 1 61 7 Resposta final Opção 5 7 25 Questão 19 Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupo de objetos ou símbolos aos quais chamamos de elementos Quando é possível associar os elementos de um conjunto A aos elementos de um conjunto B de tal forma que cada element de A está associado a exatamente um único elemento de B e viceversa dizemos que os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade Sobre este contexto analise as afirmativas I O conjunto dos números naturais positivos pares e o conjunto dos números naturais ímpares possuem a mesma cardinalidade II O conjunto dos números naturais positivos e o conjunto dos números naturais ímpares possuem a mesma cardinalidade III O conjunto dos números naturais múltiplos de 13 e o conjunto dos números naturais possuem a mesma cardinalidade IV O conjunto dos números naturais positivos e o conjunto de todos os números reais positivos possuem a mesma cardinalidade V O conjunto dos números naturais positivos múltiplos de 100 e o conjunto dos números naturais múlti plos de um milhão possuem a mesma cardinalidade Está correto apenas o que se afirma em Solução A cardinalidade de um conjunto representa a quantidade de elementos que ele contém Quando dois conjuntos têm a mesma cardinalidade significa que é possível estabelecer uma correspon dência biunívoca entre eles ou seja cada elemento de um conjunto está associado a um único elemento do outro e viceversa Isso ocorre independentemente do tamanho dos conjuntos se finitos ou infinitos Isso acontece nas alternativas I II III e V Entretanto nem todos os conjuntos têm a mesma cardinalidade Por exemplo o conjunto dos números naturais é infinito contável enquanto o conjunto dos números reais positivos é infinito não contável Estudar a cardinalidade de conjuntos é fundamental na teoria dos números e em diversos ramos da matemática e tem aplicações em ciência da computação e lógica IV Essa afirmação é incorreta O conjunto dos números naturais positivos é um conjunto infinito con tável 0 1 2 3 enquanto o conjunto de todos os números reais positivos é um conjunto infinito não contável todos os números positivos da reta real Como não é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre esses conjuntos eles possuem cardinalidades diferentes Resposta final Opção 1 I II III e V 26 Questão 20 De quantas maneiras podemos organizar seis casais de dançarinos constituídos cada um por um homem e uma mulher em roda de forma que cada casal fique junto e nenhum homem nem nenhuma mulher fiquem juntos Solução Incialmente vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar os 6 homens Como nenhum homem pode ficar em posição adjacente a outro homem há 6 posições disponíveis para organizálos Dessa forma seguindo o conceito das permutações simples teríamos P6 6 Contudo observe que por rotação uma mesma configuração é contada 6 vezes pois ao girar a roda obtida haveria uma equivalência de posições já que não há referencial definido Logo com relação à organização dos homens há Pc 6 6 65 6 5 Por sua vez observe que há somente duas formas de definir as posições das mulheres sendos estas à esquerda e à direita do seu par Então pelo princípio fundamental da contagem obtemos que o número de possibilidades procutado é P 25 Resposta final Opção 3 25 27 Questão 21 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton 16431727 e é aplicado em cálculos de probabilidades estatísticas Dado o conjunto A 12345678 quantos são os subconjuntos de A que possuem 1 e 2 como elementos Solução Primeiro selecionamos 1 e 2 como elementos obrigatórios para o subconjunto porque queremos que eles façam parte do subconjunto Como há 8 elementos em A e já escolhemos 2 deles podemos escolher mais 8 2 6 elementos do conjunto A para formar o subconjunto Dessa forma podemos utilizar combinação simples para calcular o número de maneiras de escolher 6 elementos de um conjunto de 8 elementos 8 6 8 68 6 876 62 47 28 Portanto há 28 subconjuntos de A que contêm os elementos 1 e 2 Resposta final Opção 5 28 Questão 22 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton 16431727 e é aplicado em cálculos de probabili dades estatísticas Desenvolvendo x114 como um polinômio na variável x qual a soma dos coeficientes numéricos deste polinômio Solução Observe que o resultado do desenvolvimento de x114 é um polinômio na variável x Considere um polinômio genérico na forma Px A0 A1xA2x2 Anxn A soma dos coeficientes de Px pode ser obtida fazendo P1 A0 A1 A2 An Em resumo a soma dos coeficientes de um polinômio em x é o valor numérico do polinômio para x 1 A resposta procurada portanto é 1114 214 Resposta final Opção 1 214 29 Questão 23 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binô mio Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton 16431727 e é aplicado em cálculos de probabilidades estatísticas No desenvolvimento de 2x15 x3 74 qual é o termo em x2 Solução Pelo Polinômio de Leibniz obtemos 2x15 x3 74 4 α1α2α32x15α1x3α27α3 4 α1α2α32α17α3x15α13α2 Para que o expoente de x seja 2 devemos ter α1 α2 α3 4 15α1 3α2 2 Observe que a equação 15α1 3α2 2 não possui solução com α1 e α2 inteiros não negativos Logo não há termo em x2 Resposta final Opção 1 Não há termo em x2 30 Questão 24 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binô mio Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton 16431727 e é aplicado em cálculos de probabilidades estatísticas No desenvolvimento de x4 2x3 5x15 qual o coeficiente do monômio x4 Solução Pela aplicação do Polinômio de Leibniz obtemos x4 2x3 5x15 5 α1α2α3α4x4α12x3α25xα31α4 5 α1α2α3α42α25α3x4α13α2α3 Para que o expoente de x seja 4 devemos ter α1 α2 α3 α4 5 4α1 3α2 α3 4 As soluções são α1 α2 α3 α4 Coeficiente 0 0 4 1 5154 3125 0 1 1 3 5425 200 1 0 0 4 511 5 Somando os coeficientes obtidos para o termo x4 do desenvolvimento chegamos em 3125x4 200x4 5x4 3330x4 Portanto a resposta procurada é 3330 Resposta final Opção 2 3330 31 Questão 25 O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton 16431727 e é aplicado em cálculos de probabilidades estatísticas Na igualdade 2n 2 2 n 2 X onde n 1 o lado esquerdo pode ser facilmente identificado como a quantidade de duplas que podem ser formadas a partir de 2n pessoas disponíveis Quanto a lado direito uma forma de interpretálo é separando as 2n pessoas em dois grupos de n pessoas em cada e então as parcelas n 2 n 2 seriam a quantidade de duplas em que as duas pessoas estão no mesmo grupo de n pessoas Ficam faltando então a quantidade de duplas que podemos formar onde cada pessoa da dupla pertence a um dos dois grupos de n pessoas Esta parcela está representada por X Então tal parcela X vale Solução Desenvolvendo as expressões em ambos os membros da igualdade obtemos 2n 2 2n 22n 2 2n2n 12n 2 22n 2 n2n 1 2n² n 2 n 2 X n 2n 2 X 2 nn 1n 2 2n 2 X nn 1 X n² n X Igualando os dois resultados obtidos chegamos em 2n² n n² n X Logo X n² Resposta final Opção 5 n²