Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real - Análise Real II

Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Analise Real Matematica 2022 Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringa Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Aula 16 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor 3 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Neste capıtulo vamos obter o conceito de derivada de funcoes reais de uma variavel real estudar suas principais propriedades e algumas de suas principais aplicacoes 35 Derivadas de Ordem Superior 36 Formula de Taylor Nesta secao estamos considerando f I R R onde I R e um intervalo dado e estamos interessados em estudar as derivadas de ordem superior da funcao f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Para cada n N definimos a nesima derivada de f em a I por f a f a f a f a f na f n1a Observamos aqui que se a for um extremo do intervalo I as derivadas acima sao as derivadas laterais adequadas Por exemplo se f R R e definida por f x xm m N entao temos que f a mam1 f a mm 1am2 f na mm 1 m n 1amn se n m e f na 0 se n m Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Definicao 161 Sejam f I R R uma funcao definida em um intervalo I R e n N 1 Diremos que f e nvezes derivavel em a I quando existir um intervalo a J R tal que f e n 1vezes derivavel em I J e f na existir 2 Diremos que f e nvezes derivavel em I quando f for nvezes derivavel para todo x I 3 Diremos que f e de classe Cn em I quando f for nvezes derivavel em I e f n I R R for uma funcao contınua Neste caso denotaremos que f CnI 4 Diremos que f e C em I quando f CnI para todo n N Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Por abuso de notacao diremos que f e de classe C0 em I quando f for contınua em I e denotaremos por f C0I Assim 1 f x sen x e um funcao de classe C em R isto e f CR 2 gx cos x e um funcao de classe C em R isto e g CR 3 se hx anxn an1xn1 a2x2 a1x a0 e uma funcao polinomial para an a2 a1 a0 R e n N entao h CR Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Exemplo 162 Consideremos a funcao f R R definida por f x xx Vamos verificar a qual classe a funcao f pertence Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor De fato Primeiro observemos que f x xx x2 se x 0 0 se x 0 x2 se x 0 que tem representacao grafica dada na figura abaixo Figure Grafico da Funcao f x xx Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Para x 0 temos f x 2x Para x 0 temos f x 2x Para x 0 temos f 0 lim h0 f 0 h f 0 h lim h0 f h h Mas lim h0 f h h lim h0 h2 h 0 Tambem lim h0 f h h lim h0 h2 h 0 Logo f 0 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Assim f x 2x se x 0 0 se x 0 2x se x 0 que tem representacao grafica dada pela figura abaixo Figure Grafico da Derivada da Funcao f x xx Portanto f e f sao contınuas em R mostrando que f C1R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Vamos agora calcular f x para x R Para x 0 temos f x 2 Para x 0 temos f x 2 Para x 0 temos f 0 lim h0 f 0 h f 0 h lim h0 f h h Mas lim h0 f h h lim h0 2h h 2 Tambem lim h0 f h h lim h0 2h h 2 Logo f 0 nao existe Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Férmula de Taylor Assim Fx 2 sex 0 2 sex 0 que tem representacao grafica dada pela figura abaixo Figure Grafico da Segunda Derivada da Funcao fx xx Assim f nao é continua em x 0 mostrando que f nao é uma funcao de classe C em R concluindo o exemplo O Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Nesta secao estamos considerando f I R R onde I R e um intervalo dado e estamos interessados em aproximar uma funcao dada por um polinˆomio e aplicar esse resultado para investigar se um ponto crıtico e ponto de maximo ou mınimo da funcao Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Definicao 163 Seja f I R R uma funcao nvezes derivavel em a int I Definimos o polinˆomio de Taylor de ordem n da funcao f no ponto a int I como sendo ph a0 a1h a2h2 anhn onde a0 f a a1 f a a2 f a 2 an f na n Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Exemplo 164 Consideremos f R R definida por f x sen x Vamos calcular o polinˆomio de Taylor de ordem 4 no ponto a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor De fato Temos a0 f 0 sen 0 0 a1 f 0 cos 0 1 a2 f 0 2 sen 0 2 0 a3 f 30 3 cos 0 6 1 6 a4 f 40 4 sen 0 24 0 Logo ph a0 a1h a2h2 a3h3 a4h4 h 1 6h3 completando o exemplo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Exercıcio 165 Considerando f R R definida por f x cos x Calcule o polinˆomio de Taylor de ordem 4 no ponto a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Lema 166 Se ph e o polinˆomio de Taylor de ordem n de uma funcao f I R R nvezes derivavel em a int I entao a funcao r J R R definida por rh f a h ph onde J h R a h I e nvezes derivavel em 0 J e r0 r 0 r 0 r n0 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Demonstracao Como f e n vezes derivavel em a int I e p e um polinˆomio em h entao r e nvezes derivavel em 0 Tambem r0 f a p0 f a f a 0 r 0 f a a1 f a f a 0 r 0 f a 2a2 f a 2f a 2 0 e assim sucessivamente obtemos que r n0 f na nf na n 0 provando o lema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Lema 167 Seja r J R R uma funcao nvezes derivavel em J Se 0 int J e r0 r 0 r 0 r n0 0 entao lim h0 rh hn 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Demonstracao Faremos a demonstracao por inducao sobre n Para n 1 temos que r0 r 0 0 Logo rh h r0 h 0 h r0 h r0 h Portanto lim h0 rh h r 0 0 Suponhamos que o resultado seja valido para todo k n 1 e mostremos que o resultado seja valido para k n Por hipotese temos que r0 r 0 r 0 r n0 0 Assim r 0 r 0 r 0 r n10 0 A hipotese de inducao aplicada a funcao r implica que lim h0 r h hn1 0 isto e dado ε 0 existe δ 0 tal que 0 h δ r h hn1 ε Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Por outro lado o teorema do valor medio implica que existe c 0 h ou c h 0 tal que rh r0 r ch 0 e portanto rh r ch Assim para 0 c h δ entao rh hn r ch hn r c hn1 r c cn1 ε mostrando que lim h0 r h hn 0 e que o resultado e valido para k n O Princıpio da Inducao Finita completa entao a prova do lema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Teorema 168 Formula de Taylor com Resto Infinitesimal Seja f I R R um funcao nvezes derivavel em a int I Entao para todo h R tal que a h I temos que f a h f a f ah f a 2 h2 f na n hn rh onde lim h0 rh hn 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Demonstracao Seja J h R a h I e definamos r J R R por rh f a h ph onde ph a0 a1h a2h2 anhn e o polinˆomio de Taylor de ordem n no ponto a int I ou seja rh f a h f a f ah f a 2 h2 f na n hn O Lema 166 implica que r0 r 0 r 0 r n0 0 e o Lema 167 implica que lim h0 rh hn 0 completando a prova do teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Corolario 169 Seja f I R R uma funcao nvezes derivavel em um ponto a int I tal que f ia 0 1 i n e f na 0 Temos a se n e par entao i a e ponto de mınimo local se f na 0 ii a e ponto de maximo local se f na 0 b se n e ımpar entao a nao e ponto de maximo e nem e ponto de mınimo Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Demonstraao Pela Formula de Taylor temos para h R tal queahel que fa FDa a Fa gl 2 n1 n fah fa f ah h Feb Saye h h rh onde h Al moe Logo Fa oy np fa rh Como a int existe 6 0 tal que para 0 h 6 temos eathel n Pla OM 9 50 Fa 0 n hn n Pla OM 9 se a 0 n hn Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Logo a se n e par entao hn 0 para todo h δ δ e h 0 i se f na 0 entao f a h f a para todo h δ δ e h 0 mostrando que a e ponto de mınimo estrito local de f ii se f na 0 entao f a h f a para todo h δ δ e h 0 mostrando que a e ponto de maximo estrito local de f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor b Se n e ımpar entao hn 0 para h δ 0 e hn 0 para h 0 δ Portanto se f na 0 entao f a h f a para todo h 0 δ f a h f a para todo h δ 0 se f na 0 entao f a h f a para todo h 0 δ f a h f a para todo h δ 0 Em qualquer caso a nao e ponto de maximo nem ponto de mınimo local de f Provamos assim o corolario Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Exemplo 1610 Vamos estudar se o ponto crıtico a 0 e maximo ou mınimo das funcoes f g R R definidas por f x x5 e gx x4 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor De fatoPara gx x4 temos que g x 4x3 g 0 0 g x 12x2 g 0 0 g x 24x g 0 0 g 4x 24 g 40 24 0 Como n 4 que e par e g 4x 24 0 entao a 0 e ponto mınimo estrito local de g Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Para f x x5 temos que f x 5x4 f 0 0 f x 20x3 f 0 0 f x 60x2 f 0 0 f 4x 120x f 40 0 f 5x 120 f 50 120 0 Como n 5 que e ımpar entao a 0 nao e ponto de maximo nem e ponto de mınimo de f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Definicao 1611 Seja f I R R uma funcao nvezes derivavel em um ponto a int I Se a int I tem a propriedade do item b do Corolario 87 diremos que a e um ponto de inflexao horizontal de f Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Corolario 1612 Regra de LHospital Sejam f g I R R duas duncoes nvezes derivaveis no ponto a I f ia gia 0 para 0 i n 1 e g na 0 entao lim xa f x gx f na g na Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Demonstracao Para h R tal que a h I temos que f a h f na n hn rf h e ga h g na n hn rgh com lim h0 rf h hn lim h0 rgh hn 0 Logo existe δ 0 tal que f a h hnf na n rf h hn e ga h hng na n rgh hn 0 para 0 h δ Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Portanto para 0 h δ temos que f a h ga h hn f na n rf h hn hn gna n rg h hn f na g na provando o resultado Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Derivadas de Ordem Superior Formula de Taylor Teorema 1613 Sejam f e g duas funcoes derivaveis em um mesmo intervalo b c R exceto possivelmente em um numero a b c Suponhamos que 1 g x 0 para todo x b c com x a 2 ou lim xa f x 0 e lim xa gx 0 ou lim xa f x e lim xa gx 3 ou lim xa f x g x existe ou lim xa f x g x Entao lim xa f x gx lim xa f x g x Os resultados acima continua valido quando substituimos x a por x a x a x ou x Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022