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Engenharia Mecânica ·
Cálculo 2
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DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES Seja f uma função e n 1 A derivada de ordem n de f indicada por f n e é definida por f nx f n1 se n 1 f se n 1 A notação de Leibnitz para a derivada de ordem n de f é dⁿfdxⁿ ou dⁿdxⁿ fx A definição de derivada de ordem n é na notação de Leibnitz é dⁿfdxⁿ ddx dⁿ¹fdxⁿ¹ A derivada de ordem zero de f é a própria f e f é à derivada de ordem 1 de f Para pequenos valores de n digamos n 1 2 ou 3 escrevese f f e f para indicar respectivamente as derivadas de ordem 1 2 e 3 de f Note que se y fx então escrevese y y no lugar de f f etc Exemplo 1 Determinar todas as derivadas de y x³ Temos y dydx 3x² y d²ydx² 3x²y 6x y d³ydx³ 6x 6 d⁴ydx⁴ 0 Vemos que para n 4 yⁿ dⁿydxⁿ 0 Exemplo 2 Determinar todas as derivadas de y 1x Note que y 1x x¹ Assim y x² y x² 2x³ y 2 3x⁴ y⁴ 2 3 4x⁵ y⁵ 2 3 4 5x⁶ Lembrando que n nn1n2 2 1 0 1 1 e que 1ⁿ 1 se n é par 1 se n é ímpar podemos escrever yⁿ 1ⁿ n xⁿ¹ Exemplo 3 Calcule f1 f1 e f1 sendo fx x Temos fx 12x12 12x12 12 x12 fx 12 12 x32 14 x32 fx 32 52 14 x52 158 x52 Assim f1 12 f1 14 e f1 158 Exemplo 4 Determine todas as derivadas de fx e2x Temos fx e2x e2x 2x 2e2x fx 2xe2x 2e2x 2x2e2x 2²e2x fx 2²e2x 2²e2x 2²x2e2x 2³e2x f⁴x 2³e2x 2³e2x 2³x2e2x 2⁴e2x Assim fⁿx 1ⁿ 2ⁿ e2x Exemplo 5 Determinar todas as derivadas de y ln x Temos y 1x x¹ y x¹ x² y x² 2 x³ y⁴ 2 x³ 2 3 x⁴ y⁵ 2 3 x⁴ 2 3 4 x⁵ Assim yⁿx 1ⁿ¹n 1 xⁿ Exemplo 6 Sendo y ex²3 cos 2x 5 sen 2x mostre que y 2y 5y 0 Temos y ex²3 cos 2x 5 sen 2x ex²3 cos 2x 5 sen 2x ex²3 cos 2x 5 sen 2x ex²6 sen 2x 10 cos 2x ex²7 cos 2x 11 sen 2x 2 y ex²7 cos 2x 11 sen 2x ex²7 cos 2x 11 sen 2x ex²14 sen 2x 22 cos 2x ex²29 cos 2x 3 sen 2x Assim y 2y 5y ex²29 cos 2x 3 sen 2x 2ex²7 cos 2x 11 sen 2x 5ex²3 cos 2x 5 sen 2x ex²29 cos 2x 3 sen 2x 14 cos 2x 15 sen 2x 25 sen 2x ex²0 0 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1 Sendo y ecos x calcular y 2 Sendo y xx² 1 calcular y 3 Sendo fx xeⁿx calcular fx 4 Sendo y ex5 cos 3x 7 sen 3x mostre que y 2y 10y 0 5 Sendo y x²x² 1 calcule E yy 6 Sendo y 5eⁿx 7eⁿ²ⁿx x 2 mostre que y 2y 3y 3x 4
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