Teorema do Valor Medio TVM: Explicacao e Consequencias

O TEOREMA DO VALOR MÉDIO TVM Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função contínua no intervalo a b e derivável em todos os pontos do intervalo a b Considere a reta secante s ao gráfico de f pelos pontos A a fa e B b fb Agora vamos deslocar a reta s paralelamente a si mesmo Note que existe um ponto ponto P c fc com c entre a e b em que s é a reta tangente ao gráfico nesse ponto Isto é existe algum ponto P c fc com a c b tal que a reta tangente ao gráfico de f é paralela à reta s O coeficiente angular da reta secante s é ms fb fa b a e o coeficiente angular da reta tangente t é mt fc Portanto fc fb fa b a isto é fc fb fa b a fb fa t s p P b a c x FIGURA 1 Interpretação geométrica para o TVM O teorema do valor médio TVM Seja f uma função contínua no intervalo a b e derivável em a b Então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que fb fa fcb a Obs Apesar do nome o ponto c não é necessariamente o ponto médio do segmento a b Algumas consequências do TVM Teorema de Rolle Se f satisfaz as condições do TVM no intervalo a b além disso fa fb então existirá algum ponto c entre a e b tal que fc 0 Aplicando o TVM à função f em a b obtemos fcb a Mas então fcb a 0 o que acarreta fc 0 pois b a 0 y t x FIGURA 2 O teorema de Rolle Seja f função contínua num intervalo I e derivável no interior de I Se fx 0 para todo x no interior de I f é constante De fato sejam x1 e x2 dois pontos do intervalo I tal que x1 x2 e suponha que x1 c x2 Como f é derivável para todo c em x1 x2 segue que f é continua em x1 x2 e portanto f é contínua no intervalo x1 x2 Aplicando o TVM nesse intervalo obtemos fx2 fx1 fcx2 x1 para algum c em x1 x2 Como fc 0 então fx2 fx1 0 pois fc 0 Assim fx2 fx1 Se aliás disso f é crescente definida e for continua nos ponto a e b então fa lim x b fx fb e mesma para o ponto b Assim f será constante em todo intervalo a b Seja f função contínua num intervalo I e derivável no interior de I Se fx 0 para todo x no interior de I então f é crescente nesse intervalo Analogamente se fx 0 para todo x no interior de I então f é decrescente nesse intervalo Uma função f é dita crescente num intervalo I se para todos x1 e x2 em I x1 x2 fx1 fx2 Uma função f é dita decrescente num intervalo I se para todos x1 e x2 em I x1 x2 fx1 fx2 Prova da afirmação acima sejam x1 e x2 dois pontos de I com x1 x2 Como f é derivável em a b segue que f que f é continua nesse intervalo Portanto f é continua em x1 x2 Aplicando o TVM nesse último intervalo obtemos fx2 fx1 x2 x1 para algum c em x1 x2 Como fc e x2 x1 são ambos positivos obtemos fx2 fx1 0 isto é fx2 fx1 Portanto f é crescente em a b Exemplo 1 Considere a função f 3x2 2x 1 Vamos determinar os intervalos de crescimentodecrescimento de f Derivando f temos fx 3x2 2x 1 Desejamos saber onde f é positiva e onde é negativa isto é queremos os sinais de f Inicialmente encontramos suas raízes Δ 16 2 16 1 x1 1 x2 13 6 O gráfico de f e seus sinais estão na figura abaixo f 1 13 FIGURA 3 Sinais de fx 3x2 2x 1 Assim f é decrescente no intervalo 1 13 e é crescente em 1 13 Para indicar o crescimentodecrescimento da função f usamos o seguinte esquema 13 f FIGURA 4 Crescimentodecrescimento de f A figura abaixo mostra o gráfico de f e as retas tangentes nos pontos P1 1 f1 e P2 13 f13 O ponto x 1 é dito um ponto de máximo local de f e o ponto x 13 é dito um ponto de mínimo local de f