Lista de Exercícios Cálculo B - Áreas de Regiões e Volumes UFBA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UFBA INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA DISCIPLINA MATA03 CALCULO B LISTA 1 Area de regioes no plano 1 Esboce a regiao limitada pelas curvas indicadas e encontre sua area a y x y 3x b 3y x 8 y x c y x2 3x y 0 x 5 d y x 22 y x e y x y x2 2 f x 1 y2 x y2 1 2 Esboce a regiao R e encontre sua area a R x y R2 x2 1 y 0 b R x y R2 0 y sen x 0 x 2π c R x y R2 x y 3 0 x 1 d R x y R2 x2 1 y x 1 e R x y R2 x 0 x3 x y x2 5x 3 Represente a area da regiao R por uma integral a R e a regiao no primeiro quadrante limitada pelo eixo x pela reta y 3x e pelo cırculo x2 y2 4 b R e a regiao de intersecao dos cırculos x2 y2 4 e x 22 y 22 4 4 Encontre a area da regiao limitada pela parabola y x2 pela reta tangente a esta parabola em 1 1 e pelo eixo Ox 5 Encontre o numero b tal que a reta y b divida a regiao limitada pelas curvas y x2 e y 4 em duas regioes com areas iguais Dica b b b3 6 Determine m de modo que a area da regiao acima da reta y mx e abaixo da parabola y 2xx2 seja 36 7 Encontre os valores de c tais que a area da regiao delimitada pelas parabolas y x2 c2 e y c2 x2 seja 576 1 2 Volumes 1 Determine o volume do solido S tal que a A base de S e um cırculo de raio a e as secoes transversais perpendiculares a um eixo da base sao quadrados b A base de S e a regiao parabolica R x y x2 y 1 e as secoes transversais perpen diculares ao eixo y sao triˆangulos equilateros com um lado na base c A base de S e a regiao limitada pela parabola y 1x2 e pelo eixo x e as secoes transversais perpendiculares ao eixo x sao triˆangulos isosceles com altura igual a base d S e um tetraedro com trˆes faces perpendiculares entre si e as trˆes arestas perpendiculares entre si com comprimentos de 3cm 4cm e 5cm e S e uma calota de uma esfera de raio r e altura h f S e uma pirˆamide regular com altura h 9 e base quadrada de lado ℓ 4 2 Encontre o volume comum de dois cilindros circulares cada um com raio r se os eixos dos cilindros se intersectam em ˆangulos retos 3 Utilize o metodo das secoes transversais para determinar o volume do solido gerado pela rotacao da regiao limitada por a y 1 x x 1 x 2 y 0 em torno do eixo x b y x 2 3 x 1 y 0 em torno do eixo y c y x2 y 4 ao redor da reta y 4 d y x4 y 1 ao redor da reta y 2 e y ln x y 0 x e em torno do eixo x f y cosh x y x2 x 1 x 1 em torno do eixo x g y ex 1 x 0 x 1 y 1 em torno do eixo x 4 Utilize o metodo da casca cilındrica para determinar o volume do solido gerado pela rotacao da regiao limitada por a y 1 x x 1 x 2 y 0 em torno do eixo y b y 3 2x x2 x y 3 em torno do eixo y c y 4x 22 y x2 4x 7 em torno do eixo y d y lnx x 1 x 2 y 0 em torno do eixo y e y ln x y 0 x e em torno do eixo y 3 f y x y 0 x 1 em torno do eixo y g y 2 1 x2 x 1 x 2 em torno do eixo y h y 2 1 x2 y x2 x 1 x 2 em torno do eixo y 5 Calcule o volume do solido de revolucao gerado pela rotacao da regiao limitada por a x y y2 x 0 0 y 1 em torno do eixo y b y x x 2 x 4 y 0 ao redor da reta x 1 c y x 1 y 0 x 5 em torno da reta y 3 d x y 3 x 4 y 12 em torno do eixo x e x 2y2 y 0 x 2 em torno da reta y 2 f y x 1 y 0 x 0 x 2 em torno do eixo x 6 Seja S o toro gerado pela rotacao do cırculo x R2 y2 r2 ao redor do eixo y Construa as integrais que representam o volume do S pelo metodo das secoes transversais e pelo metodo das cascas cilındricas 7 Considere a regiao R limitada pelas curvas y x y 0 e x c 0 a Encontre o valor de c para o qual o solido obtido pela rotacao de R em torno do eixo x tenha volume igual a 8π b Para c 4 encontre b c de modo que o solido obtido pela rotacao de R em torno da reta y b tenha volume igual a 8π Comprimento de graficos e centroide 1 Calcule o comprimento das curvas a y x2 2 ln x 4 2 x 4 b x 1 3 yy 3 1 y 9 c x y4 8 1 4y2 1 y 2 d y lncos x 0 x π 3 2 Mostre que o comprimento da curva y 1 4ex ex em qualquer intervalo e igual ao valor da area da regiao limitada pela curva 3 Determine o centroide da regiao limitada por a y 4 x2 y 0 2 x 2 b y x y 3 x 0 c x y2 2y y x d x2 y2 1 x2 y2 4 x 0 y 0 e y ex x 0 x 1 y 0 f y x 2 y x2 4 g y sen x y cos x 0 x π 4 h y x y 1 x y 0 x 2 4 Utilize o Teorema de PappusGuldin para determinar a o volume do solido de revolucao gerado pela rotacao do hexagono regular inscrito no cırculo x 22 y2 1 ao redor do eixo y b o volume do solido de revolucao gerado pela rotacao do triˆangulo com vertices nos pontos 2 3 2 5 5 4 ao redor do eixo x c o centroide da regiao A x y R2 x2 y2 4 x 0 y 0 Area de superfıcies 1 Determine a area da superfıcie de revolucao gerada pela rotacao das curvas a y ex ex 2 1 x 1 em torno do eixo x b x y3 3 0 y 1 em torno do eixo y c y 1 x 0 x 1 em torno do eixo y d y 3 x 2 2 x 6 em torno do eixo x e y cos2x 0 x π 6 em torno do eixo x f y 1 x2 0 x 1 em torno do eixo y 2 Determine a integral que representa do elipsoide gerado pela rotacao da curva x2 9 y2 4 1 y 0 em torno do eixo x GABARITO Área de regiões no plano 1 a 12 b 8 c 796 d 92 e 203 f 83 2 a 43 b 4 c 73 d 92 e 163 3 a 03 4 y2 y3 dy b 02 4 x2 2 4x x2 dx 4 112 5 4 23 6 4 7 6 6 Volumes 1 a 16a33 b 32 c 815 d 10 e πh2r h3 f 48 2 16r33 3 a π2 b 3π4 c 512π15 d 208π45 4 a π2 b 27π2 c 16π d 4π ln 2 32π 5 a π30 b 76π3 c 24π d 27π2 e 13π3 f 26π3 6 volS 8πR 0r r2 y2 dy volS R rR r 4πxr2 x R2 dx Comprimento de gráficos e centróide 1 a 6 ln 22 b 327 c 3316 d ln2 3 3 a 0 85 b 2710 94 c 35 32 d 289π 289π e 1e 1 e 14 f 12 85 g π2 442 1 142 1 h 831 2 ln 2 6 1 2 ln 2 4 a 63π b 24π c 83π 83π Área de superfície 1 a π2 e2 4 e2 b π9 22 1 c π2 d 49π e π32 π ln2 34 f π55 16 2 a 8π9 03 81 5x2 dx