Lista de Exercicios Calculo 3

1 Calcule as derivadas de segunda ordem da função fx y x³y 2y² 𝑦𝑥² 4𝑥 2 Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por fx y 2x³ xy² 5x² y² 3 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico 𝑍 4 x² y² e acima do quadrado 𝑅 11 𝑋 02 5 Calcule a integral da função descrita por 𝑍 na região dada 𝑍 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 3x²y² z 𝐺 𝑥 𝑦 𝑧0 𝑥 3 1 𝑦 2 0 𝑧 4 LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO III Questão 1 Calculando as derivadas de primeira ordem de fxy temos fx x x³y 2y² yx² 4x 3x²y 2yx 4 fy y x³y 2y² yx² 4x x³ 4y x² Calculando as derivadas de segunda ordem de fxy temos fxx x 3x²y 2yx 4 6xy 2y fyy y x³ 4y x² 4 fxy y 3x²y 2yx 4 3x² 2x Questão 2 Caculando as derivadas parciais de fxy temos fx x 2x³ xy² 5x² y² 6x² y² 10x fy y 2x³ xy² 5x² y² 2xy 2y 2yx 1 Para determinar os pontos críticos devemos verificar os pontos onde as derivadas parciais são nulas isto é 6x² y² 10x 0 2yx 1 0 Pela segunda equação temos que 2y0 y0 x 10 x 1 Substituindo y0 na primeira equação temos 6x² 0 10x 0 2x3x 5 0 x 0 x 53 Substituindo x 1 na primeira equação temos 61² y² 101 0 6 y² 10 0 y² 4 0 y² 4 y 2 y 2 Portanto os pontos críticos são 12 12 00 e 53 0 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem de fxy temos fxx x 6x² y² 10x 12x 10 fyy y 2yx 1 2x 1 2x 2 fxy y 6x² y² 10x 2y Para determinar a natureza dos pontos críticos devemos calcular o determinante da matriz Hessiana de fxy nos pontos críticos Se Dxy 0 e fxxxy 0 então fxy tem um mínimo local em xy Se Dxy 0 e fxxxy 0 então fxy tem um máximo local em xy Se Dxy 0 então xy é um ponto de sela Logo temos D fxx fxy 12x 10 2y fyx fyy 2y 2x 2 12x 102x 2 2y2y 24x² 24x 20x 20 4y² 24x² 44x 20 4y² D12 241² 441 20 42² 24 44 20 16 16 0 D12 241² 441 20 42² 24 44 20 16 16 0 D00 240² 440 20 40² 20 0 fxx00 120 10 10 0 D530 2453² 4453 20 40² 6009 2203 20 6009 6609 1809 1209 403 0 fxx530 1253² 10 2010 10 0 Portanto 12 e 12 são pontos de sela 00 é um ponto de mínimo local e 530 é um ponto de máximo local Questão 3 Queremos calcular a integral dupla ₀² ₁¹ 4 x² y² dx dy Calculando a integral interna temos ₁¹ 4 x² y² dx 4x x³3 xy²₁¹ 4 13 y² 4 13 y² 4 13 y² 4 13 y² 8 23 2y² 263 2y² Substituindo na integral externa temos ₀² 263 2y² dy 26y3 2y³3ᵧ₀ᵧ₂ 2623 22³3 0 0 523 163 363 12 Portanto a integral dupla é ₀² ₁¹ 4 x² y² dx dy 12 Questão 4 Queremos calcular a integral iterada ₀π2 ₀y ₀x cosx y z dz dx dy Para calcular a integral mais interna realizaremos uma substituição de variável Seja x y z u então dudz 1 e consequentemente du dz Se z 0 então u x y Se z x então u 2x y Logo temos ₀x cosx y z dz xy2xy cosu du senuuxyu2xy sen2x y senx y Substituindo na próxima integral temos ₀y sen2x y senx y dx ₀y sen2x y dx ₀y senx y dx Para calcular a integral acima realizaremos substituições de variáveis Seja v 2x y então dvdx 2 e consequentemente dx 12 dv Seja w x y então dwdx 1 e consequentemente dx dw Se x 0 então v y e w y Se x y então v 3y e w 3y Logo temos ₀y sen2x y dx y3y senv2 dv cosv2vyv3y cos3y2 cosy2 ₀y senx y dx y2y senw dw coswwyw2y cos2y cosy ₀y sen2x y senx y dx cos3y2 cosy2 cos2y cosy cos3y2 cos2y cosy2 Substituindo na próxima integral temos ₀π2 cos3y2 cos2y cosy2 dy 12 ₀π2 cos3y dy ₀π2 cos2y dy 12 ₀π2 cosy dy Para calcular a integral acima realizaremos substituições de variáveis Seja a 3y então dy 13 da Seja b 2y então dy 12 db Se y 0 então a 0 e b 0 Se y π2 então a 3π2 e b π Logo temos 12 ₀π2 cos3y dy 12 ₀3π2 cosa3 da 16 sena03π2 16 sen3π2 sen0 16 1 0 16 ₀π2 cos2y dy ₀π cosb2 db 12 senb0π 12 senπ sen0 12 0 0 0 12 ₀π2 cosy dy 12 seny0π2 12 senπ2 sen0 12 1 0 12 Portanto a integral iterada é ₀π2 ₀y ₀x cosx y z dz dx dy 16 0 12 16 36 26 13 Questão 5 Calculando a integral tripla temos ₀4 3x2 y2 z dz 3x2 y2 ₀4 z dz 3x2 y2 z2204 3x2 y2 422 022 3x2 y2 8 24x2 y2 12 24x2 y2 dy 24x2 12 y2 dy 24x2 y3312 24x2 233 133 24x2 83 13 24x2 73 56x2 ₀3 56x2 dx 56 ₀3 x2 dx 56 x3303 56 333 033 56 273 56 9 504 G fxyz dV ₀3 12 ₀4 3x2 y2 z dz dy dx 504 Questão 6 a Calculando a integral tripla temos ₀2 12xy2 z3 dz 12xy2 ₀2 z3 dz 12xy2 z4402 12xy2 244 044 12xy2 164 12xy2 4 48xy2 ₀3 48xy2 dy 48x ₀3 y2 dy 48x y3303 48x 333 033 48x 273 48x 9 432x 12 432x dx 432 12 x dx 432 x2212 432 222 122 432 42 12 432 32 648 G fxyz dV 12 ₀3 ₀2 12xy2 z3 dz dy dx 648 Questão 6 b Calculando a integral tripla temos ₀²ˣʸ x dz x ₀²ˣʸ 1 dz x zᶻ²ˣʸ𝓏₀ x 2 x y 2x x² xy ₓ²ˣ 2x x² xy dy 2xy x²y xy²2ʸˣ 2x² x³ x³2 2x³ x⁴ x⁵2 2x² x³ x³2 2x³ x⁴ x⁵2 2x² x³2 x⁴ x⁵2 ₀¹ 2x² x³2 x⁴ x⁵2 dx 2x³3 x⁴8 x⁵5 x⁶12ˣ¹ₓ₀ 23 18 15 112 0 0 0 0 80120 15120 24120 10120 31120 ₀¹ ₓ²ˣ ₀²ˣʸ x dz dy dx 31120 Questão 6 c Calculando a integral tripla temos ₀ʸ y dz y ₀ʸ 1 dz y zᶻʸ𝓏₀ y y y² ₀ˣ² y² dy y³3ʸˣ²ᵧ₀ x⁶3 ₀² x⁶3 dx 13 ₀² x⁶ dx 13 x⁷7ˣ²ₓ₀ 13 2⁷7 0⁷7 13 1287 12821 ₀² ₀ˣ² ₀ʸ y dz dy dx 12821 Questão 6 d Calculando a integral tripla temos ₀ʸ y dz y ₀ʸ 1 dz y zᶻʸ𝓏₀ y y y² ʸ² ² y² dx y² ʸ² ² 1 dx y² xˣ²ₓʸ y² 2 ʸ 2y² y⁵² ₀⁴ 2y² y⁵² dy 2y³3 2y⁷²7ᵧ⁴ᵧ₀ 2 4³3 2 4⁷²7 0 0 1283 2567 7 12821 3 25621 7 12821 6 12821 12821 ₀⁴ ʸ² ₀ʸ y dz dx dy 12821