Atividade de Calculo 3

LISTA DE Cálculo Diferencial e Integral III DepAdp Entrega pelo portal até dia 15062024 Valor 100 pontos Questão nº 01 Descreva uma aplicação de INTEGRAL na área da Engenharia 05 ponto Questão nº 02 Considere o traçado abaixo e calcule a integral 05 ponto x1 x2 dx Questão nº 03 Calcule a Integral Indefinida abaixo 05 ponto xlnxdx Questão nº 04 Calcule a Integral Indefinida abaixo 05 ponto xsenxdx Questão nº 05 Calcule a Integral Indefinida abaixo explicando com detalhe sua resolução 05 pontos sen3 xcosxdx Questão nº 06 Determine a área entre as curvas 05 pontos y x2 e y x 6 Questão nº 08 Verificar se a série abaixo converge ou diverge 05 pontos k0 to 54k Questão nº 12 Verificar se a série abaixo converge ou diverge 05 pontos k2 to 112k Lista de Exercícios Cálculo Questão 1 Dentre as diversas aplicações da integração na Engenharia podemos citar a análise da evolução das forças cortantes axial e do momento fletor ao longo de uma viga Para determinar o momento fletor e a força cortante em seções transversais de uma viga é necessário calcular as derivadas e integrais de funções que descrevem a distribuição de carga ao longo do comprimento da viga Por exemplo a equação do momento fletor 𝑀𝑥 em uma viga é dada por 𝑀𝑥 𝑉𝑥 𝑑𝑥 onde 𝑉𝑥 é a função da força cortante em função da posição 𝑥 Questão 2 Queremos calcular a integral x1 x2 dx Para isso realizaremos uma substituição Seja u 1 x2 então dudx ddx 1 x2 2x dx 12x du Logo temos que x1 x2 dx 12u du 12 1u du 12 lnu C 12 ln 1 x2 C Portanto x1 x2 dx 12 ln 1 x2 C Questão 3 Queremos calcular a integral 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 Pelo método de integração por partes temos que 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Seja 𝑢 ln𝑥 e 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑥 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 ln𝑥 1 𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 e 𝑣 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 Logo temos que 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 ln𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥2 2 ln𝑥 1 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 ln𝑥 𝑥2 4 𝐶 Portanto 𝑥 ln𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 ln𝑥 𝑥2 4 𝐶 Questão 4 Queremos calcular a integral 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 Pelo método de integração por partes temos que 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Seja 𝑢 𝑥 e 𝑑𝑣 sen𝑥 𝑑𝑥 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥𝑥 1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 e 𝑣 sen𝑥 𝑑𝑥 cos𝑥 Logo temos que 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 𝑥 cos𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑥 cos𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑥 cos𝑥 sen𝑥 𝐶 Portanto 𝑥 sen𝑥 𝑑𝑥 𝑥 cos𝑥 sen𝑥 𝐶 Questão 6 Queremos calcular a área entre as curvas y x2 e y x 6 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos x2 x 6 x2 x 6 0 x 3 x 2 0 x 3 x 2 Logo as curvas se interceptam em x 2 e x 3 Analisando as curvas temos x2 x 6 x2 x 6 0 x 3x 2 0 x 2 x 3 Logo no intervalo 2 3 temos que x 6 x2 Desse modo a área da região é dada por A from 2 to 3 x 6 x2 dx from 2 to 3 x 6 x2 dx x22 6x x33 from 2 to 3 92 18 9 2 12 83 92 9 83 10 92 182 83 303 272 223 816 446 1256 Portanto a área da região é 1256 unidades de área Graficamente temos Questão 5 Quereos calcular a integral sen3 x cosx dx Para isso realizaremos uma substituição Seja u senx então dudx ddx senx cosx du cosx dx Logo temos que sen3 x cosx dx u3 du u44 C sen4 x4 C Portanto sen3 x cosx dx sen4 x4 C Questão 8 Dada a série from k0 to 54k Pelo teste da razão temos lim k ak1 ak lim k 54k1 4k5 lim k 4k4k1 lim k 14 14 1 Portanto a série absolutamente convergente e consequentemente convergente Questão 12 Dada a série k2 to 12k Pelo teste da razão temos lim k ak1ak lim k 12k1 2k 1 lim k 2k 2k1 lim k 12 12 1 Portanto a série absolutamente convergente e consequentemente convergente