Lista de Exercícios Resolvidos: Cálculo III - Integrais e Aplicações na Engenharia

LISTA DE Cálculo III DepAdp Entrega pelo portal até dia 19062023 Valor 100 pontos Questão nº 01 Descreva uma aplicação de INTEGRAL na área da Engenharia 05 ponto Questão nº 02 Considere o traçado abaixo e calcule a integral 05 ponto x 1 x2 dx Questão nº 03 Calcule a Integral Indefinida abaixo 05 ponto x lnx dx Questão nº 04 Calcule a Integral Indefinida abaixo 05 ponto 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Questão nº 05 Calcule a Integral Indefinida abaixo explicando com detalhe sua resolução 05 pontos 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 Questão nº 06 Determine a área entre as curvas 05 pontos Questão nº 07 Calcule a Integral Indefinida abaixo explicando com detalhe sua resolução 05 pontos 𝑥 𝑠𝑒𝑛5𝑥 𝑑𝑥 Questão nº 08 Calcule a integral abaixo 05 pontos cada item abaixo LISTA DE Cálculo III DepAdp Entrega pelo portal até dia 19062023 Valor 100 pontos Questão nº 09 Calcule a área da região delimitada pelas curvas 05 pontos cada item abaixo a b 𝑓𝑥 2𝑥 1 no intervalo 01 c no intervalo de 13 Questão nº 10 Calcule as integrais duplas abaixo 05 pontos cada item abaixo a LISTA DE Cálculo III DepAdp Entrega pelo portal até dia 19062023 Valor 100 pontos b c d Q 2 As integrais podem aparecer em diversos problemas e aplicações em diversas áreas Em particular no campo das engenharias podemos citar as seguintes Cálculo do Volume de um sólido Trajetórias de Sistemas Satélites Excedente de Consumo de um produto Com efeito vamos descrever a primeira aplicação supracitada De fato o uso de integrais para o cálculo do volume de um sólido permite definirmos qual o volume que poderá ser ocupado por algum recipiente Assim sendo útil para a melhor gestão da produção por exemplo de um tanque para armazenagem de Cerveja Nesse sentido o volume V do tanque é dado por V R zxy dA 1 onde zfxy é uma função que descreve a curva associada ao sólido e R é a região do plano onde o sólido está bem definido Por exemplo para um tanque cilíndrico temos que xx02 yy02 a2 0 z h onde o cilindro tem base circular centrada em x0y0 e a altura dele é h Então veja que em coordenadas polares temos xx0 r cosθ yy0 r senθ dA r dr dθ Então supondo θ seja tal que 0 Θ θ0 onde θ0 é um ângulo fixo entre 02π temos que 12xx02 yy02 r2 cos2θ r2 sen2θ r2 a2 0 r a Daí tomando a região R rθ ℝ2 0 r a e 0 θ θ0 Com a função z h temos por 1 o volume de um tanque com base circular de raio a Note que como θ0 é fixo isso define no ϴ Estamos considerando um cilindro completo θ0 2π um meio cilindro θ0 π que é cortado transversalmente Assim o volume é V R zxy dA 0θ0 0a h r dr dθ h 0θ0 dθ 0a r dr h θ0θ0 r22 0a h θ0 a2 2 V h θ0 a2 2 Agora para o cilindro completo ie θ0 2π temos V 2π a2 h 2 π a2 h Que é o volume conhecido da geometria plana Para um tanque cortado temos θ0 π e o tanque é Com volume V π a2 h 2 metade do anterior 2 x1 x2 dx Veja que sen2φ cos2φ 1 tg2φ 1 sec2φ Então disso segue que x tgφ Com efeito isso nos dá que dx sec2φ dφ Então temos que x1 x2 dx tgφ1 tg2φ sec2φ dφ tgφsec2φ sec2φ dφ tgφ dφ ln secφ C E percebe que de x tgφ nós temos que diagram x2 1 x 1 φ Logo secφ x2 11 x2 1 Então temos que x1 x2 dx ln x2 1 C 3 x lnx dx Façamos u lnx du 1x dx dx x du e também u lnx x eu Com efeito x lnx dx x u x du u x2 du u e2u du u e2u du dduu e2u du du u e2u2 12 e2u du C u e2u2 e2u4 C que sejai x lnx lnx x22 x24 C 4 x senx dx Vamos integrar por partes x senx dx x senx dx ddxx senx dx dx x cosx cosx dx x cosx senx C Portanto nós temos que x senx dx x cosx senx C 5 sen3x cosx dx Façamos u senx du cosx dx Logo segue que sen3x cosx dx u3 cosx ducosx u3 du u44 C Portanto temos que sen3x cosx dx sen4x4 C Q6 O gráfico das curvas são graph y x2 Os pontos A e B são os pontos x tais que y x2 x 6 Então temos que x2 x 6 0 x12 1 1 242 1 52 3 2 Logo A 2 e B 3 Então a área entre as curvas é dado por G onde G 23 x 6 x2 dx Com efeito G 23 x 6 x2 dx x22 6 x x33 23 92 18 273 22 12 83 52 30 353 1256 E a área é G 1256 Q7 x sen5x dx façamos u5x Então dxdu5 e logo x sen5x dx u5 senu du5 125 u senu du 125 u senu du senu du 125 u cosu cos u du 125 senu u cosu C x sen5x dx 125 sen5x 5x cos5x C Q8 a from 3 to 0 of x2 9x 7 dx x33 2x2 7x from 3 to 0 273 18 21 48 b 1x2 dx from 1 to 3 1x from 1 to 3 13 1 23 c from 4 to 9 of 2x x dx from 4 to 9 of 2x32 dx 2 x52 25 from 4 to 9 45 243 32 8945 d from π2 to π2 of sen θ dθ cos θ from π2 to π2 0 e from π4 to π4 of cos x dx senx from π4 to π4 22 22 2 f from ln2 to 3 of 5 ex dx 5 ex from ln2 to 3 5 e3 eln2 5 e3 2 Q9 a fx x2 1 e gx x 1 Gráfico das curvas são tais que y x2 1 y x 1 Note que fx gx x2 1 x 1 x2 x 2 0 Então nós temos que x12 1 1 4 22 1 32 x1 2 x2 1 Logo a área A do gráfico é A from 1 to 2 of gx fx dx from 1 to 2 of x 1 x2 1 dx from 1 to 2 of x x2 2 dx x22 x33 2x from 1 to 2 42 83 6 12 13 2 32 93 8 132 A 132 b fx 2x 1 em 0 1 Logo teremos que A from 0 to 1 2x 1 dx façamos u 2x 1 du 2 dx from u0 to u1 u du2 12 from 1 to 3 of u du 12 23 u32 from 1 to 3 13 332 1 13 27 1 A 13 27 1 c fx ex no intervalo 1 3 Com efeito A from 1 to 3 ex dx ex from 1 to 3 e3 e1 e3 e A e3 e Q10 a from 0 to 1 from 0 to 2 of x 2 dy dx from 0 to 1 of x 2 y from 0 to 2 dx 2 from 0 to 1 of x 2 dx 2 x22 2x from 0 to 1 212 2 102 from 0 to 1 from 0 to 2 of x 2 dy dx 5 b R dx dy AR R 2 x 4 2 y 6 Logo segue que AR R dx dy from 2 to 4 from 2 to 6 dy dx from 2 to 4 dx from 2 to 6 dy 4262 6 AR 6 c V ₀³ ₀³ˣ 3 x y dy dx ₀³ ₀³ˣ 3 x y dy dx ₀³ 3 xy y²2 ₀³ˣ dx ₀³ 3 x² 3 x²2 dx ₀³ 3 x²2 dx ₀² x 3²2 dx 12 ₀² x² 6x 9 dx 12 x³3 3x² 4x₀² 12 83 12 18 43 6 9 43 3 133 Therefore V 133 d V ₀² ₀⁶ 4 x² dy dx ₀² 4 x² dx ₀⁶ dy 4x x³3₀² y₀⁶ 8 83 6 8 2 1 13 323 Therefore V 323