Cálculo III - Trabalho sobre Dependência de Inverno e Aplicações de Integrais

TRABALHO DEPENDÊNCIA DE INVERNO CÁLCULO III NOME RA NOTA 1 valor 20 pontos Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por 2 valor 20 pontos Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e 3 valor 20 pontos Calcule a integral iterada 4 valor 20 pontos Calcule a integral de linha ao longo do caminho e 5 valor 20 pontos Calcule a integral de linha onde a curva C é dada C FÓRMULAS 1 n n n x dx x d 1 1 1 n C n x dx x n n 1 1 1 n C n x dx x n n C x senx dx cos C senx cos x dx fxy 2x3 xy2 5x2 y2 Primeiro vamos determinar os pontos críticos que são os x e y tais que xf 0 yf 0 Então temos que xf x2x3 xy2 5x2 y2 6x2 y2 10x yf y2x3 xy2 5x2 y2 2xy 2y Igualando a zero temos 6x2 10x y2 0 2yx 1 0 É evidente que o par 00 é solução Além disso se x 1 temos 2yx 1 0 Além do que 612 101 y2 0 6 10 y2 0 4 y2 0 y 2 Esses pares 12 e 12 também são soluções Por fim consideremos y0 e x 0 Nesse caso temos 6x2 10x y2 0 6x2 10x 0 6x 10 0 x 53 Temos o par 53 0 Agora vamos calcular a hessiana Com efeito D 2x2f 2yxf 2xyf 2y2f 12x 10 2y 2y 2x 2 2x 212x 10 4y2 4x 16x 5 y2 Dxy 4x 16x 5 y2 Agora vamos aplicar os pontos em D Com efeito teremos Para 00 D00 415 0 20 0 Para 53 0 D53 0 453 1653 5 y2 423 153 0 40 0 Para 1 2 D1 2 406 5 4 16 0 Para 1 2 D1 2 40 1 4 22 1650 Dos resultados acima segue que os pontos 12 e 12 são pontos de sela uma vez que D1 2 0 conforme teste da derivada segunda Por outro lado para 00 e 53 0 analisamos 2x2f Com efeito 2x2f 12x 10 Então 2x2f00 10 0 2x2f530 12 53 10 20 10 10 0 Logo segue do teste da derivada segunda que 00 é mínimo local pois D00 0 e 2x2f00 0 Por outro lado 530 é máximo local uma vez que D530 0 e 2x2f530 0 2 Vamos analisar os graficos das funcoes x y x y2 y para determinar os extremos da integracao Com efeito temos diagram with shaded area Onde a interseccao é obtida fazendo x y y y2 y y2 2y 0 y 0 e y 2 Logo podemos escrever essa regiao por R xy R2 0 y 2 e y2 y x y Ademais para a eixo z vamos ter 0 z 3x2 y2 Entao o volume procurado sera obtido fazendo V dV dzdxdydz dx dy 0 y2 y2y 3x2y2 Entao teremos v dV dzdxdydz dx dy 0 y2 y2y 3x2y2 02 y2y y 3x2 y2 dx dy 02 x3 xy2 y2y y dy 02 y3 y3 y2y3 y2y y2 dy 02 2y3 y4 2y3 y2y3 dy 02 y3 y4 y3 y13 dy 02 4y3 y4 y3 y3 3y2 3y 1 dy 02 y6 3y5 4y4 5 y3 dy y77 3y66 4y55 5 y47 02 277 3 266 4 255 5 274 28435 E o volume buscado é V 28435 3 Calcularemos 0π2 0y 0x cosx y z dz dx dy Com efeito 0π2 0y 0x cosx y z dz dx dy 0π2 0y 0x cosx y z dz dx dy 0π2 0y sinx y z 0x dx dy 0π2 0y sin2x y siny x dx dy 0π2 cos2x y2 cosy x 0y dy 0π2 cos3y2 cos2y cosy2 cosy dy 0π2 cos3y2 cos2y cosy2 dy 0π2 sin3y6 sin2y2 siny2 dy sin3π26 sinπ22 16 12 16 12 412 13 Logo temos que 0π2 0y 0x cosx y z dz dx dy 13 IntegralC x2 dx y2 dy z2 dz Ao longo do caminho C C1 C2 com C1 000 a 121 e C2 121 até 320 Note que o integrando pode ser associado ao campo vetorial F x2 y2 z2 Logo temos que IntegralC x2 dx y2 dy z2 dz IntegralC F dr Além disso veja que F é conservativo e seu campo escalar associado é Vxyz x33 y33 z33 Então temos que V i ddx j ddy k ddzx33 y33 z33 i ddxx33 y33 z33 j ddyx33 y33 z33 k ddzx33 y33 z33 i x2 j y2 k z2 F E logo F V Então temos IntegralC x2 dx y2 dy z2 dz IntegralC F dr Integral000320 V dr V000320 V320 V000 333 233 033 0 273 83 353 Portanto IntegralC x2 dx y2 dy z2 dz 353 IntegralC x y3 ds onde C é C xt 4 sen t yt 4 cos t zt 3 t com 0 t π2 Com efeito temos que IntegralC xy3 ds integral0π2 4 sen t 4 cos t3 sqrtddt 4 sen t2 ddt 4 cos t2 ddt 3 t2 dt integral0π2 256 sen t cos3 t sqrt16 cos2 t sen2 t 9 dt integral0π2 256 sen t cos3 t sqrt25 dt integral0π2 256 sen t cos3 t 5 dt 256 5 integral0π2 sen t cos3 t dt Para a integral fazemos u cos t du sen t dt Logo integral sen t cos3 t dt integral sen t u3 du sen t integral u3 du u44 cos4 t4 Portanto segue que IntegralC xy3 ds 256 5 integral0π2 sen t cos3 t dt 256 5 cos4 t40π2 256 54 320 Ou seja IntegralC xy3 ds 320