Dependência- Cálculo 3

Trabalho da Disciplina Cálculo III Tema A aprendizagem de qualquer pessoa em relação a um conteúdo especifico é ditada pela forma como esta pessoa é capaz de analisar e propor soluções para desafios específicos Na área da engenharia existem exercícios e problemas que podem ser criados com o objetivo de colocar uma pessoa na postura de tomar uma decisão e então desenvolver de fato o conhecimento sobre o assunto uma vez que para elaborar um problema sobre determinado conteúdo o indivíduo sempre precisará saber do tema a fundo para conseguir responder a tal situação Neste sentido as questões exercícios e problemáticas na área da engenharia podem se dividir em 1 Exercício de reconhecimento o objetivo é fazer com que o aluno reconheça identifique ou lembre um conceito um fato específico uma definição uma propriedade etc 2 Exercícios de algoritmos aqueles que podem ser resolvidos passo a passo Geralmente no nível elementar são exercícios que pedem a execução dos algoritmos da adição subtração multiplicação e divisão de números naturais 3 Problemaspadrão a resolução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia A solução do problema já está contida no próprio enunciado e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvêlo 4 Problemasprocesso ou heurísticos em geral não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação uma estratégia que poderá leválo à solução Por isso tornamse mais interessantes do que os problemaspadrão 5 Problemas de aplicação retratam situações reais do dia a dia e exigem o uso da Matemática para serem resolvidos São também chamados de situaçõesproblema Através de conceitos técnicas e procedimentos matemáticos procurase associar um modelo matemático a uma situação real organizando os dados em tabelas traçando gráficos fazendo operações etc 6 Problemas de quebracabeça envolvem e desafiam grande parte dos alunos Geralmente constituem a chamada Matemática recreativa e sua solução depende quase sempre de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque que é a chave da solução Abordagem Passos para a elaboração do trabalho Você será inserido na posição do tomador de decisão e deverá realizar perguntas na modalidade de problemas de aplicação ou modalidade problemas de quebra cabeça Conforme apresentado acima e em seguida deverá indicar as respostas das mesmas com seus respectivos cálculos As questões deverão se relacionar com cada um dos tópicos a seguir Funções de Várias Variáveis Derivadas Parciais Integrais Múltiplas Integrais duplas e triplas Integrais em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Cálculo Vetorial Integrais de linha Integrais de superfície de funções reais Total de perguntas e Respostas 8 Questões Abordagem Forma de avaliação 1 Será avaliado o nível da questão portanto evitem questões diretas como defina o assunto qual a diferença entre e usem o conteúdo estudado para a elaboração de questões onde de fato o aluno devera saber o conteúdo e unir a teoria com o desenvolvimento 2 As questões que não tiverem a abordagem na forma de problemas de aplicação e problemas de quebra cabeça serão descartadas e o aluno perderá a pontuação de cada questão 3 Não serão aceitas mais de 8 questões na entrega do trabalho para aqueles que entregarem mais do que este número máximo será considerado as 8 primeiras questões 4 Questões que forem copiadas na integra da internet livro ou qualquer outro veículo serão descartadas usem a criatividade na alteração das questões para se inserir na tomada de decisão 5 O aluno poderá usar os modelos de questões já existentes mas deverá alterar e incorporar tomadas de decisão diferentes nas perguntas das questões 6 A criatividade e a estética da questão também contarão na pontuação final questões e respostas que não forem organizadas terão o decréscimo de 01 por questão 7 Não serão aceitas questões objetivas de múltiplas escolhas o aluno deverá fazer a resposta discursiva e incluir logo após a pergunta 8 As respostas poderão ser realizas a mão ou digitalizadas entretanto fica a responsabilidade do aluno garantir a qualidade do material postado bem como a resolução do conteúdo 9 Caso o aluno opte por fazer em grupo apenas um aluno precisará fazer a postagem entretanto isso não impede que todos realizem a postagem no portal A escolha será dos alunos entretanto caso o material postado não possua o nome de um dos integrantes o aluno que não for identificado ficará com a nota zero Cálculo 3 Funções de várias variáveis 1 Verifique se a função u eᵃ²ᵏ²ᵗ sen kx é solução da equação de condução do calor ut a² uxx Sendo a equação do calor ut a² ²ux² com solução uxt eᵃ²ᵏ²ᵗ senkx u então ut a²k² eᵃ²ᵏ²ᵗ senkx a²k² uxt ux k eᵃ²ᵏ²ᵗ cos kx ²ux² k² eᵃ²ᵏ²ᵗ senkx k² uxt Formatação O trabalho deverá seguir a formatação mínima conforme é descrita abaixo sempre considerando a pergunta da questão e em seguida a resposta Cabeçalho do trabalho com identificação do grupo ou única pessoa caso seja individual Questão 01 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 02 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 03 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 04 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 05 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 06 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 07 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 08 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Portanto Dv f f0 π3 ů 3235 12 45 Dvf 335 25 Integrais múltiplas 1722 Calcule a integral dupla 17 D x cos y dA D é limitada por y 0 y x² x 1 Região de integrações y 0 y x² x 1 Interseção y x² x y com x 1 1 Concluímos que 0 x 1 e 0 y x² com seja concluímos que ut a² ²ux² 1117 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v 11 fxy eˣ sen y 0 π3 v 6 8 A derivada direcional é definida por Dv₀ fxy ů sendo fxy fx fy fxy eˣ sen y eˣ cos y f0 π3 1 32 1 12 32 12 u Também ů vv 6 8 6² 8² 6 8 100 ů 6 810 610 810 35 45 Portanto R x cosy dA 01 0x² x cosy dy dx 01 x siny0x² dx 01 x sinx² dx Substituição u x² du 2x dx 12 du x dx R x cosy dA 12 01 sinu du 12 cosu01 R x cosy dA 1 cos1 2 1927 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado 19 Abaixo do cone z x² y² e acima do disco x² y² 4 O volume é dado por V R x² y² dA com R x² y² 4 e em coordenadas polares x rcosϕ e y rsinϕ Logo x² y² 4 r² cos²ϕ r² sin²ϕ 4 r² cos²ϕ sin²ϕ 4 r² 4 r 2 0 r 2 com ϕ 0 ϕ 2π Portanto R x² y² dA 02π 02 r² r dr dϕ 02π dϕ 02 r² dr ϕ02π 02 r² dr 2π r³ 302 2π 83 16π 3 Por fim V 16π 3 u V 1728 Utilize coordenadas cilíndricas 17 Calcule E x² y² dV onde E é a região que está dentro do cilindro x² y² 16 e entre os planos z 5 e z 4 Em coordenadas cilíndricas x r cosϕ y r sinϕ e z z unidades x2 y2 16 r2 cos2 φ r2 sin2 φ 16 r2 cos2 φ sin2 φ 16 r2 16 r 4 Portanto a região de integração seria 0 r 4 0 φ 2π e 5 z 4 e com isso E x2 y2 dV 02π dφ 04 r2 dr 54 dz φ02π r3304 z54 2π 643 4 5 Portanto E x2 y2 dV 384π 2134 Utilize coordenadas esféricas 21 Calcule B x2 y2 z22 dV onde B é a bola com centro na origem e raio 5 Em coordenadas esféricas x r sen φ cos θ y r sen φ sen θ e z r cos φ com x2 y2 z2 r2 e a região de integração 0 φ π 0 θ 2π e 0 r 5 usase B x2 y2 z22 dV 02π dθ 0π sin φ dφ 05 r6 dr θ02π cos φ0π r7705 2π 2 577 1402497 116 Calcule a integral de linha onde C é a curva dada 1 C y3 ds C x t3 y t 0 t 2 Sendo C fxy ds C ft dxdt2 dydt2 dt 02 t3 3t22 12 dt 02 t3 9t4 1 dt Substituição u 9t4 1 du 36t3 dt C fxy ds 136 1145 u du 136 2u3231145 C fxy ds 145 145 1 54 515 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície s F dS ou seja calcule o fluxo de F através de S Fx y z xy ez i xy2 z3 j yex k S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x 3 y 2 z 1 O teorema da divergência é dado por s F dS v F dV sendo F Fxx Fyy Fzz F y ez 2xy z3 yez 2 x y z3 ou seja v F dV 03 02 01 2 x y z3 dz dy dx 2 03 x dx 02 y dy 01 z3 dz 2 x2203 y2202 z4401 v F dV 2 92 12 14 s F dS s F dS 92