Calculo 3

Trabalho da Disciplina Cálculo III Tema A aprendizagem de qualquer pessoa em relação a um conteúdo especifico é ditada pela forma como esta pessoa é capaz de analisar e propor soluções para desafios específicos Na área da engenharia existem exercícios e problemas que podem ser criados com o objetivo de colocar uma pessoa na postura de tomar uma decisão e então desenvolver de fato o conhecimento sobre o assunto uma vez que para elaborar um problema sobre determinado conteúdo o indivíduo sempre precisará saber do tema a fundo para conseguir responder a tal situação Neste sentido as questões exercícios e problemáticas na área da engenharia podem se dividir em 1 Exercício de reconhecimento o objetivo é fazer com que o aluno reconheça identifique ou lembre um conceito um fato específico uma definição uma propriedade etc 2 Exercícios de algoritmos aqueles que podem ser resolvidos passo a passo Geralmente no nível elementar são exercícios que pedem a execução dos algoritmos da adição subtração multiplicação e divisão de números naturais 3 Problemaspadrão a resolução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia A solução do problema já está contida no próprio enunciado e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvêlo 4 Problemasprocesso ou heurísticos em geral não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação uma estratégia que poderá leválo à solução Por isso tornamse mais interessantes do que os problemaspadrão 5 Problemas de aplicação retratam situações reais do dia a dia e exigem o uso da Matemática para serem resolvidos São também chamados de situaçõesproblema Através de conceitos técnicas e procedimentos matemáticos procurase associar um modelo matemático a uma situação real organizando os dados em tabelas traçando gráficos fazendo operações etc 6 Problemas de quebracabeça envolvem e desafiam grande parte dos alunos Geralmente constituem a chamada Matemática recreativa e sua solução depende quase sempre de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque que é a chave da solução Abordagem Passos para a elaboração do trabalho Você será inserido na posição do tomador de decisão e deverá realizar perguntas na modalidade de problemas de aplicação ou modalidade problemas de quebra cabeça Conforme apresentado acima e em seguida deverá indicar as respostas das mesmas com seus respectivos cálculos As questões deverão se relacionar com cada um dos tópicos a seguir Funções de Várias Variáveis Derivadas Parciais Integrais Múltiplas Integrais duplas e triplas Integrais em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Cálculo Vetorial Integrais de linha Integrais de superfície de funções reais Total de perguntas e Respostas 8 Questões Abordagem Forma de avaliação 1 Será avaliado o nível da questão portanto evitem questões diretas como defina o assunto qual a diferença entre e usem o conteúdo estudado para a elaboração de questões onde de fato o aluno devera saber o conteúdo e unir a teoria com o desenvolvimento 2 As questões que não tiverem a abordagem na forma de problemas de aplicação e problemas de quebra cabeça serão descartadas e o aluno perderá a pontuação de cada questão 3 Não serão aceitas mais de 8 questões na entrega do trabalho para aqueles que entregarem mais do que este número máximo será considerado as 8 primeiras questões 4 Questões que forem copiadas na integra da internet livro ou qualquer outro veículo serão descartadas usem a criatividade na alteração das questões para se inserir na tomada de decisão 5 O aluno poderá usar os modelos de questões já existentes mas deverá alterar e incorporar tomadas de decisão diferentes nas perguntas das questões 6 A criatividade e a estética da questão também contarão na pontuação final questões e respostas que não forem organizadas terão o decréscimo de 01 por questão 7 Não serão aceitas questões objetivas de múltiplas escolhas o aluno deverá fazer a resposta discursiva e incluir logo após a pergunta 8 As respostas poderão ser realizas a mão ou digitalizadas entretanto fica a responsabilidade do aluno garantir a qualidade do material postado bem como a resolução do conteúdo 9 Caso o aluno opte por fazer em grupo apenas um aluno precisará fazer a postagem entretanto isso não impede que todos realizem a postagem no portal A escolha será dos alunos entretanto caso o material postado não possua o nome de um dos integrantes o aluno que não for identificado ficará com a nota zero Formatação O trabalho deverá seguir a formatação mínima conforme é descrita abaixo sempre considerando a pergunta da questão e em seguida a resposta Cabeçalho do trabalho com identificação do grupo ou única pessoa caso seja individual Questão 01 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 02 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 03 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 04 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 05 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 06 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 07 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 08 Tema xxxxxxxxxxxxxx Texto da questão Resposta Questão 1 Derivadas parciais Uma empresa de tecnologia está desenvolvendo um novo dispositivo cuja eficiência 𝐸 depende de duas variáveis a temperatura 𝑇 em graus Celsius e a umidade 𝐻 em porcentagem A relação entre a eficiência do dispositivo e essas variáveis é descrita pela função 𝐸𝑇 𝐻 5𝑇2 3𝑇𝐻 2𝐻2 100 A empresa quer otimizar a eficiência do dispositivo para uma temperatura de 25C e uma umidade de 50 Qual é a variação na eficiência do dispositivo se a temperatura e a umidade aumentarem ligeiramente a partir dos valores de 25C e 50 respectivamente Resposta Para encontrar a variação na eficiência do dispositivo quando a temperatura e a umidade aumentam ligeiramente precisamos calcular as derivadas parciais da função 𝐸𝑇 𝐻 em relação a 𝑇 e 𝐻 𝐸 𝑇 𝑇 5𝑇2 3𝑇𝐻 2𝐻2 100 𝐸 𝑇 10𝑇 3𝐻 𝐸 𝐻 𝐻 5𝑇2 3𝑇𝐻 2𝐻2 100 𝐸 𝐻 3𝑇 4𝐻 Avaliar as derivadas parciais nos pontos 𝑇 25 e 𝐻 50 𝐸 𝑇 𝑇25𝐻50 1025 350 𝐸 𝑇 𝑇25𝐻50 250 150 400 𝐸 𝐻 𝑇25𝐻50 325 450 𝐸 𝐻 𝑇25𝐻50 75 200 125 Usando as derivadas parciais para encontrar a variação na eficiência Se a temperatura aumenta em Δ𝑇 e a umidade aumenta em Δ𝐻 a variação na eficiência Δ𝐸 pode ser aproximada por Δ𝐸 𝐸 𝑇 𝑇25𝐻50 Δ𝑇 𝐸 𝐻 𝑇25𝐻50 Δ𝐻 Δ𝐸 400 Δ𝑇 125 Δ𝐻 Se assumirmos pequenas variações Δ𝑇 1 e Δ𝐻 1 temos Δ𝐸 4001 1251 Δ𝐸 400 125 Δ𝐸 275 A variação na eficiência do dispositivo para pequenos aumentos de 1C na temperatura e 1 na umidade é aproximadamente 275 unidades Questão 2 Integrais duplas em coordenadas polares Um reservatório de água tem a forma de uma região no plano XY definida pela área dentro do círculo de raio 4 centrado na origem A profundidade do reservatório varia de acordo com a função 𝑑𝑥 𝑦 10 𝑥2 𝑦2 onde 𝑑 é a profundidade em metros e 𝑥 𝑦 são as coordenadas no plano A empresa de gestão de recursos hídricos precisa calcular o volume total de água que o reservatório pode conter Qual é esse volume Resposta Para encontrar o volume de água que o reservatório pode conter precisamos calcular a integral dupla da função de profundidade 𝑑𝑥 𝑦 sobre a região definida pelo círculo de raio 4 A região 𝑅 é o círculo de raio 4 centrado na origem Em coordenadas polares esta região é descrita por 0 𝑟 4 e 0 𝜃 2𝜋 Expressando a profundidade em coordenadas polares 𝑥 𝑟 cos 𝜃 e 𝑦 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 então 𝑑𝑟 𝜃 10 𝑟2 Configurando a integral dupla em coordenadas polares 𝑉 𝑑𝑥 𝑦 𝑅 𝑑𝐴 𝑉 10 𝑟2 4 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 Calculando a integral interna 10𝑟 𝑟3 4 0 𝑑𝑟 10𝑟 4 0 𝑑𝑟 𝑟3 4 0 𝑑𝑟 5𝑟20 4 𝑟4 4 0 4 542 44 4 516 256 4 80 64 16 Calculando a integral externa 16 2𝜋 0 𝑑𝜃 16𝜃0 2𝜋 162𝜋 160 32𝜋 O volume total de água que o reservatório pode conter é 32𝜋 metros cúbicos Questão 3 Integral de linha de campo vetorial Considere o campo vetorial 𝐅𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 Seja 𝐶 a curva que consiste na união dos seguintes dois segmentos 𝐶1 a linha reta do ponto 00 ao ponto 10 𝐶2 a linha reta do ponto 10 ao ponto 11 Calcule a integral de linha de 𝐅 ao longo da curva 𝐶 Resposta Para calcular a integral de linha de 𝐅 ao longo da curva 𝐶 precisamos somar as integrais de linha ao longo dos segmentos 𝐶1 e 𝐶2 Para o segmento 𝐶1 do ponto 00 ao ponto 10 𝐫𝟏𝑡 𝑡 0 0 𝑡 1 𝐫𝟏 𝑡 10 O campo vetorial ao longo de 𝐶1 é 𝐅𝐫𝟏𝑡 0 𝑡 A integral de linha é 𝐅 𝐶1 𝑑𝐫 𝐅𝐫𝟏𝑡 1 0 𝐫𝟏 𝑡 𝑑𝑡 0 𝑡 1 0 10 𝑑𝑡 0 1 0 𝑑𝑡 0 Integral de linha ao longo de 𝐶2 Para o segmento 𝐶2 do ponto 10 ao ponto 11 𝐫𝟐𝑡 1 𝑡 0 𝑡 1 𝐫𝟐 𝑡 01 O campo vetorial ao longo de 𝐶2 é 𝐅𝐫𝟐𝑡 𝑡 1 A integral de linha é 𝐅 𝐶2 𝑑𝐫 𝐅𝐫𝟐𝑡 1 0 𝐫𝟐 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 1 1 0 01 𝑑𝑡 1 1 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 0 1 Somando as integrais de linha ao longo dos dois segmentos 𝐶1 e 𝐶2 obtemos 𝐅 𝐶 𝑑𝐫 𝐅 𝐶1 𝑑𝐫 𝐅 𝐶2 𝑑𝐫 𝐅 𝐶 𝑑𝐫 0 1 1 A integral de linha de 𝐅 ao longo da curva 𝐶 é 1 Questão 4 Integral dupla em coordenadas cartesianas Uma chapa metálica retangular tem uma densidade superficial dada por 𝜎𝑥 𝑦 𝑥 2𝑦 em kgm² onde 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas em metros A chapa ocupa a região delimitada por 0 𝑥 3 e 0 𝑦 2 Calcule a massa total da chapa metálica Resposta Para encontrar a massa total da chapa precisamos calcular a integral dupla da densidade superficial 𝜎𝑥 𝑦 sobre a região delimitada Massa 𝜎𝑥 𝑦 𝑅 𝑑𝐴 Massa 𝑥 2𝑦 2 0 3 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Calculando a integral interna em 𝑦 𝑥 2𝑦 2 0 𝑑𝑦 𝑥𝑦 𝑦20 2 𝑥2 22 𝑥0 02 2𝑥 4 Substituindo a integral interna na integral externa em 𝑥 2𝑥 4 3 0 𝑑𝑥 𝑥2 4𝑥0 3 32 43 02 40 9 12 0 21 A massa total da chapa metálica é 21 kg Questão 5 Integrais em coordenadas polares Um jardim circular tem um raio de 5 metros A densidade de flores por metro quadrado no jardim varia de acordo com a distância do centro e é dada pela função 𝜌𝑟 10 𝑟 onde 𝑟 é a distância ao centro do jardim Qual é o número total de flores no jardim Para encontrar o número total de flores no jardim precisamos calcular a integral dupla da densidade 𝜌𝑟 sobre a área do círculo com raio 5 Resolução A densidade é dada em função de 𝑟 então a integral dupla é Número total de flores 𝜌𝑟 𝑅 𝑑𝐴 Em coordenadas polares Número total de flores 10 𝑟 5 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 Calculando a integral interna em 𝑟 10𝑟 𝑟2 5 0 𝑑𝑟 5𝑟2 𝑟3 3 0 5 552 53 3 502 03 3 525 125 3 125 125 3 125 1 1 3 125 2 3 250 3 Calculando a integral externa em 𝜃 250 3 2𝜋 0 𝑑𝜃 250 3 𝜃0 2𝜋 250 3 2𝜋 500𝜋 3 O número total de flores no jardim é 500𝜋 3 Questão 6 Integral de superfície Um arquiteto está projetando uma estrutura com a forma de um paraboloide elíptico dado pela equação 𝑧 4 𝑥2 𝑦2 Ele precisa calcular a área da superfície da parte da estrutura que está acima do plano 𝑧 0 Qual é a área da superfície da estrutura acima do plano 𝑧 0 Resolução Para encontrar a área da superfície da parte da estrutura que está acima do plano 𝑧 0 precisamos calcular a integral de superfície da função 𝑧 4 𝑥2 𝑦2 A região 𝑅 é o círculo de raio 2 centrado na origem pois 𝑧 0 implica 4 𝑥2 𝑦2 0 ou seja 𝑥2 𝑦2 4 A fórmula para a área da superfície 𝑆 dada por 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 é 𝐴 1 𝑧 𝑥 2 𝑧 𝑦 2 𝑅 𝑑𝐴 Calculando as derivadas parciais de 𝑧 𝑧 𝑥 2𝑥 𝑧 𝑦 2𝑦 Substituindo as derivadas parciais na fórmula da área 𝐴 1 2𝑥2 2𝑦2 𝑅 𝑑𝐴 𝐴 1 4𝑥2 4𝑦2 𝑅 𝑑𝐴 Convertendo para coordenadas polares 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝐴 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 A região 𝑅 em coordenadas polares é definida por 0 𝑟 2 e 0 𝜃 2𝜋 𝐴 1 4𝑟2 2 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 Calculando a integral interna em 𝑟 𝑟 2 0 1 4𝑟2 𝑑𝑟 Usamos a substituição 𝑢 1 4𝑟2 𝑑𝑢 8𝑟 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑟 1 8 𝑑𝑢 Quando 𝑟 0 𝑢 1 e quando 𝑟 2 𝑢 17 1 8 17 1 𝑢 𝑑𝑢 1 8 𝑢12 17 1 𝑑𝑢 1 8 2 3 𝑢32 1 17 1 8 2 3 1732 132 1 12 1732 1 1 12 1717 1 Calculando a integral externa em 𝜃 𝐴 1 12 2𝜋 0 1717 1 𝑑𝜃 𝐴 1 12 1717 1 𝑑 2𝜋 0 𝜃 𝐴 1 12 1717 12𝜋 𝐴 2𝜋 12 1717 1 𝐴 𝜋 6 1717 1 A área da superfície da estrutura acima do plano 𝑧 0 é 𝜋 6 1717 1 metros quadrados Questão 7 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas Uma fábrica está projetando um tanque de armazenamento químico que tem a forma de um cilindro com uma base circular de raio 3 metros e uma altura de 5 metros A densidade do líquido armazenado no tanque varia com a altura 𝑧 e é dada pela função 𝜌𝑧 1000 200𝑧 em kgm³ onde 𝑧 é a altura medida a partir da base do tanque Qual é a massa total do líquido armazenado no tanque Resolução Para encontrar a massa total do líquido armazenado no tanque precisamos calcular a integral tripla da densidade 𝜌𝑧 sobre o volume do cilindro O cilindro é definido por 0 𝑟 3 0 𝜃 2𝜋 e 0 𝑧 5 Configurando a integral tripla em coordenadas cilíndricas Massa 𝜌𝑧 𝑉 𝑑𝑉 Em coordenadas cilíndricas o volume elementar 𝑑𝑉 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 Substituindo a densidade e configurar os limites de integração Massa 1000 200𝑧 5 0 3 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑 Calculando a integral interna em 𝑧 1000 200𝑧 5 0 𝑑𝑧 1000 5 0 𝑑𝑧 200𝑧 5 0 𝑑𝑧 1000𝑧0 5 200 𝑧2 2 0 5 10005 10000 200 52 2 200 02 2 5000 200 25 2 5000 200 125 5000 2500 7500 Substituir a integral interna na integral dupla em 𝑟 e 𝜃 7500𝑟 3 0 2𝜋 0 𝑑𝑟 𝑑𝜃 Calculando a integral em 𝑟 7500𝑟 3 0 𝑑𝑟 7500 𝑟2 2 0 3 7500 32 2 7500 9 2 7500 45 33750 Calculando a integral em 𝜃 33750 2𝜋 0 𝑑𝜃 33750 𝜃0 2𝜋 33750 2𝜋 67500𝜋 A massa total do líquido armazenado no tanque é 67500𝜋 kg Questão 8 Integração em coordenadas esféricas Uma esfera sólida de raio 4 metros tem uma densidade variável dada pela função 𝜌𝑟 5000 100𝑟 em kgm³ onde 𝑟 é a distância do centro da esfera A esfera está cheia de um material cuja densidade depende apenas da distância ao centro Qual é a massa total do material dentro da esfera Resolução Para encontrar a massa total do material dentro da esfera precisamos calcular a integral tripla da densidade 𝜌𝑟 sobre o volume da esfera Definindo a região de integração em coordenadas esféricas 0 𝑟 4 0 𝜃 2𝜋 0 𝜙 𝜋 Configurando a integral tripla em coordenadas esféricas Em coordenadas esféricas o volume elementar 𝑑𝑉 𝑟2 sin 𝜙 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝜃 Massa 𝜌𝑟 𝑉 𝑑𝑉 Massa 5000 100𝑟 4 0 𝜋 0 2𝜋 0 𝑟2 sin 𝜙 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑑 Calculando a integral interna em 𝑟 5000𝑟2 100𝑟3 4 0 𝑑𝑟 5000 𝑟2 4 0 𝑑𝑟 100 𝑟3 4 0 𝑑𝑟 5000 𝑟3 3 0 4 100 𝑟4 4 0 4 5000 43 3 100 44 4 5000 64 3 10064 320000 3 6400 320000 3 19200 3 300800 3 Substituindo a integral interna na integral dupla em 𝜙 e 𝜃 300800 3 𝜋 0 2𝜋 0 sin 𝜙 𝑑𝜙 𝑑 Calculando a integral em 𝜙 sin 𝜙 𝜋 0 𝑑𝜙 cos 𝜙 0 𝜋 cos𝜋 cos0 1 1 2 Calculando a integral em 𝜃 300800 3 2𝜋 0 2 𝑑𝜃 601600 3 𝑑 2𝜋 0 𝜃 601600 3 2𝜋 1203200𝜋 3 A massa total do material dentro da esfera é 1203200𝜋 3 kg ou aproximadamente 12592805 kg Questão 1 Derivadas parciais Uma empresa de tecnologia está desenvolvendo um novo dispositivo cuja eficiência E depende de duas variáveis a temperatura T em graus Celsius e a umidade H em porcentagem A relação entre a eficiência do dispositivo e essas variáveis é descrita pela função E T H 5T 23TH2 H 2100 A empresa quer otimizar a eficiência do dispositivo para uma temperatura de 25C e uma umidade de 50 Qual é a variação na eficiência do dispositivo se a temperatura e a umidade aumentarem ligeiramente a partir dos valores de 25C e 50 respectivamente Resposta Para encontrar a variação na eficiência do dispositivo quando a temperatura e a umidade aumentam ligeiramente precisamos calcular as derivadas parciais da função E T H em relação a T e H E T T 5T 23TH 2H 2100 E T 10T3 H E H H 5T 23TH2 H 2100 E H 3T4 H Avaliar as derivadas parciais nos pontos T25 e H50 E T T25 H50 10 253 50 E T T25 H50 250150400 E H T25 H50 3 254 50 E H T25 H50 75200125 Usando as derivadas parciais para encontrar a variação na eficiência Se a temperatura aumenta em ΔT e a umidade aumenta em Δ H a variação na eficiência Δ E pode ser aproximada por Δ E E T T 25 H50 ΔT E H T 25 H50 Δ H Δ E 400 ΔT125 Δ H Se assumirmos pequenas variações ΔT1e Δ H 1 temos Δ E 400 1125 1 Δ E 400125 Δ E275 A variação na eficiência do dispositivo para pequenos aumentos de 1C na temperatura e 1 na umidade é aproximadamente 275 unidades Questão 2 Integrais duplas em coordenadas polares Um reservatório de água tem a forma de uma região no plano XY definida pela área dentro do círculo de raio 4 centrado na origem A profundidade do reservatório varia de acordo com a função d x y 10x 2y 2 onde d é a profundidade em metros e x y são as coordenadas no plano A empresa de gestão de recursos hídricos precisa calcular o volume total de água que o reservatório pode conter Qual é esse volume Resposta Para encontrar o volume de água que o reservatório pode conter precisamos calcular a integral dupla da função de profundidade d x y sobre a região definida pelo círculo de raio 4 A região R é o círculo de raio 4 centrado na origem Em coordenadas polares esta região é descrita por 0r 4 e 0θ2 π Expressando a profundidade em coordenadas polares xr cosθ e yrsinθ então d r θ 10r 2 Configurando a integral dupla em coordenadas polares V R d x y dA V 0 2π 0 4 10r 2r dr d Calculando a integral interna 0 4 10rr 3dr 0 4 10r dr 0 4 r 3dr 5r 20 4r 4 4 0 4 5 4 24 4 4 5 16256 4 806416 Calculando a integral externa 0 2π 16d θ 16θ0 2π 16 2π 16 0 32π O volume total de água que o reservatório pode conter é 32π metros cúbicos Questão 3 Integral de linha de campo vetorial Considere o campo vetorial F x y y x Seja C a curva que consiste na união dos seguintes dois segmentos C1 a linha reta do ponto 00 ao ponto 10 C2 a linha reta do ponto 10 ao ponto 11 Calcule a integral de linha de F ao longo da curva C Resposta Para calcular a integral de linha de F ao longo da curva C precisamos somar as integrais de linha ao longo dos segmentos C1 e C2 Para o segmento C1 do ponto 00 ao ponto 10 r1 tt 00t 1 r1 t10 O campo vetorial ao longo de C1 é F r1t 0t A integral de linha é C1 F dr 0 1 F r1 t r1 tdt 0 1 0t 10dt 0 1 0 dt0 Integral de linha ao longo de C2 Para o segmento C2 do ponto 10 ao ponto 11 r2 t1t 0t 1 r2 t01 O campo vetorial ao longo de C2 é F r2t t 1 A integral de linha é C2 F dr 0 1 F r2 t r2 t dt 0 1 t 1 01dt 0 1 1dt 0 1 dt1 Somando as integrais de linha ao longo dos dois segmentos C1 e C2 obtemos C F dr C1 F dr C2 Fdr C F dr011 A integral de linha de F ao longo da curva C é 1 Questão 4 Integral dupla em coordenadas cartesianas Uma chapa metálica retangular tem uma densidade superficial dada por σ x y x2 y em kgm² onde x e y são as coordenadas em metros A chapa ocupa a região delimitada por 0 x3 e 0 y2 Calcule a massa total da chapa metálica Resposta Para encontrar a massa total da chapa precisamos calcular a integral dupla da densidade superficial σ x y sobre a região delimitada Massa R σ x y dA Massa 0 3 0 2 x2 y dydx Calculando a integral interna em y 0 2 x2 y dy xy y 20 2 x 2 2 2x 0 0 2 2 x4 Substituindo a integral interna na integral externa em x 0 3 2 x4 dx x 24 x0 3 3 24 30 24 0 9120 21 A massa total da chapa metálica é 21 kg Questão 5 Integrais em coordenadas polares Um jardim circular tem um raio de 5 metros A densidade de flores por metro quadrado no jardim varia de acordo com a distância do centro e é dada pela função ρ r 10r onde r é a distância ao centro do jardim Qual é o número total de flores no jardim Para encontrar o número total de flores no jardim precisamos calcular a integral dupla da densidade ρ r sobre a área do círculo com raio 5 Resolução A densidade é dada em função de r então a integral dupla é Número total de flores R ρ r dA Em coordenadas polares Número total de flores 0 2π 0 5 10r r dr d Calculando a integral interna em r 0 5 10rr 2dr 5r 2r 3 3 0 5 5 5 25 3 3 5 0 20 3 3 5 25125 3 125125 3 12511 3 125 2 3 250 3 Calculando a integral externa em θ 0 2π 250 3 d θ 250 3 θ0 2 π 250 3 2π 500π 3 O número total de flores no jardim é 500π 3 Questão 6 Integral de superfície Um arquiteto está projetando uma estrutura com a forma de um paraboloide elíptico dado pela equação z4x 2y 2 Ele precisa calcular a área da superfície da parte da estrutura que está acima do plano z0 Qual é a área da superfície da estrutura acima do plano z0 Resolução Para encontrar a área da superfície da parte da estrutura que está acima do plano z0 precisamos calcular a integral de superfície da função z4x 2y 2 A região R é o círculo de raio 2 centrado na origem pois z0 implica 4x 2 y 20 ou seja x 2 y 24 A fórmula para a área da superfície S dada por zf x y é A R 1 z x 2 z y 2 dA Calculando as derivadas parciais de z z x2 x z y 2 y Substituindo as derivadas parciais na fórmula da área A R 12 x 22 y 2dA A R 14 x 24 y 2dA Convertendo para coordenadas polares xr cosθ yrsinθ dArdrd θ A região R em coordenadas polares é definida por 0r 2 e 0θ2 π A 0 2π 0 2 14r 2r dr d Calculando a integral interna em r 0 2 r14 r 2dr Usamos a substituição u14r 2 du8r dr r dr1 8 du Quando r0 u1 e quando r2 u17 1 17 1 8 udu 1 8 1 17 u 1 2du 1 8 2 3 u 3 21 17 1 8 2 3 17 321 3 2 1 12 17 3 21 1 12 17171 Calculando a integral externa em θ A 0 2π 1 12 17 171dθ A 1 12 17171 0 2π dθ A 1 12 17171 2π A2 π 12 17171 Aπ 6 17 171 A área da superfície da estrutura acima do plano z0 é π 6 17171 metros quadrados Questão 7 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas Uma fábrica está projetando um tanque de armazenamento químico que tem a forma de um cilindro com uma base circular de raio 3 metros e uma altura de 5 metros A densidade do líquido armazenado no tanque varia com a altura z e é dada pela função ρ z 1000200 z em kgm³ onde z é a altura medida a partir da base do tanque Qual é a massa total do líquido armazenado no tanque Resolução Para encontrar a massa total do líquido armazenado no tanque precisamos calcular a integral tripla da densidade ρ z sobre o volume do cilindro O cilindro é definido por 0r 3 0θ2π e 0 z5 Configurando a integral tripla em coordenadas cilíndricas Massa V ρ z dV Em coordenadas cilíndricas o volume elementar dV r dr dθ dz Substituindo a densidade e configurar os limites de integração Massa 0 2π 0 3 0 5 1000200 z r dzdr d Calculando a integral interna em z 0 5 1000200z dz 0 5 1000dz 0 5 200 z dz 1000 z0 5200 z 2 2 0 5 1000 51000 0 200 5 2 2 200 0 2 2 5000200 25 2 5000200125 50002500 7500 Substituir a integral interna na integral dupla em r e θ 0 2π 0 3 7500r dr dθ Calculando a integral em r 0 3 7500r dr 7500 r 2 2 0 3 7500 3 2 2 7500 9 2 750045 33750 Calculando a integral em θ 0 2π 33750dθ 33750θ0 2π 337502π 67500 π A massa total do líquido armazenado no tanque é 67500 π kg Questão 8 Integração em coordenadas esféricas Uma esfera sólida de raio 4 metros tem uma densidade variável dada pela função ρ r 5000100r em kgm³ onde r é a distância do centro da esfera A esfera está cheia de um material cuja densidade depende apenas da distância ao centro Qual é a massa total do material dentro da esfera Resolução Para encontrar a massa total do material dentro da esfera precisamos calcular a integral tripla da densidade ρ r sobre o volume da esfera Definindo a região de integração em coordenadas esféricas 0r 4 0θ2π 0ϕ π Configurando a integral tripla em coordenadas esféricas Em coordenadas esféricas o volume elementar dV r 2sinϕdr d ϕ dθ Massa V ρ r dV Massa 0 2π 0 π 0 4 5000100r r 2sinϕ dr d ϕd Calculando a integral interna em r 0 4 5000r 2100r 3dr 5000 0 4 r 2dr100 0 4 r 3dr 5000 r 3 3 0 4100 r 4 4 0 4 5000 4 3 3 100 4 4 4 5000 64 3 100 64 320000 3 6400 320000 3 19200 3 300800 3 Substituindo a integral interna na integral dupla em ϕ e θ 0 2π 0 π 300800 3 sinϕ d ϕd Calculando a integral em ϕ 0 π sin ϕd ϕ cos ϕ0 π cos π cos0 11 2 Calculando a integral em θ 0 2π 300800 3 2dθ 601600 3 0 2π d θ 601600 3 2 π 1203200π 3 A massa total do material dentro da esfera é 1203200π 3 kg ou aproximadamente 12592805 kg