Aula 7: Matrizes e Determinantes - Objetivos e Conteúdos

7º Aula Matrizes e determinantes Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de determinar os tipos de matriz e desenvolver cálculos específicos para cada matriz desenvolver cálculos de determinantes de 2 e 3 ordem realizar aplicação de cálculo de determinante de ordem arbitraria Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos matrizes e determinantes Aqui será descrito sobre matriz quadrada matriz linha e matriz coluna além de exemplo de produto de matriz Já para determinante apresentaremos alguns métodos para a solução delas Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 44 1 Matrizes 2 Determinantes 1 Matrizes A matriz do tipo m x n é formada por uma tabela de mn elementos dispostos em m linhas e n colunas se m n denomina se matriz quadrada de ordem n Matrizes que possuem m1 são chamadas de matriz linha Matrizes que possuem n1 são chamadas de matriz coluna Os elementos da matriz podem ser números reais ou complexos polinômios vetores funções Será considerada apenas matrizes de números reais A fi gura 1 demonstra alguns tipos de matrizes Fig 1 Tipos de matrizes Fonte DECAROLI Alésio Matrizes vetores e geometria analítica 1981 p 09 Seja A uma matriz de tipo m x n e sejam i e j dois números inteiros com 1 i m e 1 j n O elemento da matriz é indicado por aij por exemplo a23 indica o elemento que pertence a 2 linha e a 3 coluna As variáveis i e j podem ser substituídas por duas letras quaisquer vale ressaltar que duas matrizes A aij e B b ij de tipo m x n são iguais somente se aij b ij 1 i m 1 j n Exemplo matrix 3x3 Seções de estudo Adição de matrizes Dadas duas matrizes A e B chamase C de soma da matriz Onde C ij a ij b ij Pode ser feita a soma de matrizes somando simplesmente os elementos correspondentes conforme a fi gura 2 Fig 2 Soma de matrizes Fonte DECAROLI Alésio Matrizes vetores e geometria analítica 1981 p 10 A matriz do tipo m x n que tem todos os elementos iguais a zero chamase matriz nula e se indica por 0 Chamase de diferença entre a matriz A e a matriz B a soma de A com B Produto de um número real por uma matriz Dada uma matriz A e um número real t chamase produto de t por A a matriz B onde b ij t a ij Portanto para multiplicar uma matriz por um número basta multiplicar todos os seus elementos pelo número conforme a fi gura 3 Fig 3 Multiplicação de matrizes por um número real Fonte DECAROLI Alésio Matrizes vetores e geometria analítica 1981 p 11 Produto de matrizes Dada duas matrizes A e B chamase produto de A por B a matriz C m x n onde c ij de C é a soma dos produtos das respectivas entradas das linhas i de A pela coluna j de B Exemplo Matriz A 2x3 Matriz B 3x4 Calculando a matriz C AB C C 45 Observe que para a multiplicação de matrizes o número colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz Uma matriz m x k só pode ser multiplicada por uma matriz k x n resultando em uma matriz m x n No exemplo acima note que AB pode existir porém BA não Matriz Identidade I São chamadas de matriz identidade uma matriz quadrada onde os elementos da sua diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos da matriz são nulos Exemplo Matriz I3x3 ou I3 ordem 3 Observação Ao multiplicar uma matriz Anxn quadrada qualquer por sua matriz identidade Inxn temos que o resultado será a própria matriz A Matriz Oposta Chamase matriz oposta de A a matriz A ou seja basta inverter o sinal dos elementos da matriz Exemplo dada a matriz A 2 0 4 8 a oposta de A é A 2 0 4 8 Matriz transposta Dada uma matriz A a ijde tipo m x n chamase transposta de A a matriz B b ji de tipo n x m onde b ji a ij A matriz transposta de A é representada por At Para achar a matriz transposta basta trocar linhas por colunas conforme a fi gura 4 Fig 4 Matriz transposta Fonte DECAROLI Alésio Matrizes vetores e geometria analítica 1981 p 20 Dada uma matriz qualquer A chamase de matriz simetrica de A quando A At exemplo A At Diferença de duas matrizes de igual ordem é outra matriz de ordem igual a das matrizes dadase é obtida somando a primeira com a oposta da segunda Exemplo dadas A e B Tem se A B Isto é A B 2 Determinantes Cálculo do determinante de 2 ordem Considere a matriz A2x2 o determinante de A pode ser representado por DetA ou IAI A Logo Det A a d cb Exemplo Calcule o determinante da matriz abaixo A Det A 1 5 4 3 17 Basta multiplicar os termos da diagonal principal e descontar o produto dos termos da diagonal secundaria conforme a fi gura 5 Fig 5 Multiplicação dos termos de 2 ordem Fonte BASTARRICA Cleo Matrizes determinantes e sistemas lineares 1986 p 28 Outras propriedades do Determinante de segunda ordem A Det Det Det B Det t Det Cálculo de determinante de 3 ordem regra de Sarrus Dado a matriz A3x3 A Logo DetA a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 Transcrevese as duas primeiras colunas ao lado do quadro ou as duas primeiras linhas abaixo conforme a fi gura 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica 46 Álgebra linear Disponível em httpwwwmatpuc riobrcursosMAT1200roteirosa18052pdf Acesso em 21 Out 2019 Matriz inversa Disponível em httpsbrasilescola uolcombrmatematicamatrizinversahtm Acesso em 21 Out 2019 Sistemas e equações lineares Disponível em https mundoeducacaoboluolcombrmatematicasistemas equacoeslineareshtm Acesso em 21 Out 2019 Sistemas lineares Disponível em httpswww todamateriacombrsistemaslineares Acesso em 21 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena Fig 6 Multiplicação dos termos de 3 ordem Fonte BASTARRICA Cleo Matrizes determinantes e sistemas lineares 1986 p 29 Exemplo dado a matriz A abaixo DetA 2 3 0 3 1 0 1 0 2 0 3 1 2 1 2 0 0 3 DetA 0 0 0 0 4 0 DetA 4 Um determinante não se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas Det A a1p1 a2p2 anpn Det At a1p1 a2p2 anpn Portanto concluise que DetA Det At Todo determinante que tem uma fi la de zeros é nulo Como o determinante é uma soma de termos e cada termo provém de um produto e cada produto contém um elemento de cada linha e coluna Cada produto será nulo pois conterá sempre um zero o que anulará o termo correspondente e o determinante será uma soma de zeros portanto igual a zero D 2 0 0 3 0 Cálculo de determinante de ordem arbitrária Podemos defi nir um determinante de uma matriz quadrada de ordem arbitrária da seguinte forma Seja A3x3 Podemos defi nir DetA a11 a12 a13 Seguindo esta defi nição consideramos a matriz abaixo Seja A DetA a11 A11 a12 A12 1n1 a1n A1n onde Aij é o determinante da matriz n1 x n1 obtida de A eliminando a linha i e a coluna j Porém não iremos nos aprofundar nos cálculos de determinantes de ordem arbitrária Retomando a aula Ao chegar no fi nal da sétima aula vamos recordar o que aprendemos 1 Matrizes Nessa seção vimos os tipos de matrizes e especificamos cada uma delas conforme características ou quantidades de linhas e colunas Além de desenvolvimento de exemplos de somatórias de matrizes 2 Determinantes Nessa seção estudamos sobre determinante de 2 e 3ª ordem e como ocorre o desenvolvimento dos seus cálculos Os determinantes são produtos deduzidos de uma matriz de ordem n