Aula 5: Cálculos Relacionados ao Plano e Suas Componentes

5º Aula Plano Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de desenvolver cálculos relacionados ao plano compreender como planos e suas componentes se relacionam quando esses contêm ângulos incorporar como são obtidos planos paralelos aos planos coordenados Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos equação o plano determinação de um plano planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados e ângulo de uma reta com um plano Englobando como um vetor se comporta em um plano onde tem vários pontos Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 30 1 O plano 2 Determinação de um plano 3 Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados 4 Ângulo de uma reta com um plano 1 O plano Seja a x1 y1 z1 que pertence ao plano π e 0 0 0 um vetor normal ao plano O plano π é defi nido como sendo o conjunto de todos os pontos P x y z do espaço tendo o vetor ortogonal à conforme a fi gura 1 O ponto P é pertencente ao plano π apenas se 0 Fig 1 Projeção do plano π Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 143 Onde a b c e x x1 y y1 z z1 sendo um vetor ortogonal ao plano π ele será ortogonal a qualquer vetor representado neste plano Caso e 2 sejam vetores não colineares e paralelos ao plano e é ortogonal conforme a fi gura 2 temse x 2 Fig 2 Projeção de vetores Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 145 Exemplo determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto A 2 1 3 sendo 3 2 4 um vetor normal a π Temos normal ao plano logo a equação é Seções de estudo ax by cz d 0 3x 2y 4z d 0 O ponto A pertence ao plano e sua coordenadas devem verifi car a equação 3 2 2 1 43 d 0 6 2 12 d 0 d 8 Portanto a equação geral do plano π é 3x 2y 4z 8 0 2 Determinação de um plano Um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele A seguir veremos algumas formas de determinação de um plano onde um vetor normal sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores vetores base representados no plano A fi gura 3 mostra um plano que passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores e 2 não colineares x 2 Fig 3 Plano com dois vetores não colineares Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 150 A fi gura 4 apresenta um plano que passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor não colinear ao vetor x Fig 4 Plano com dois pontos A e B Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 150 A fi gura 5 expõe um plano que passa por três pontos A B e C não em linha reta x 31 Fig 5 Plano com três pontos Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 151 A fi gura 6 mostra um plano com duas retas r1 e r2 concorrentes 1 x 2 Fig 6 Plano com duas retas r1 e r2 concorrentes Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 151 A fi gura 7 expõe um plano com duas retas r1 r2 paralelas 1 x 2 Fig 7 Plano com duas retas r1 e r2 paralelas Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p151 A fi gura 8 evidencia um plano com uma reta r e um ponto B x Fig 8 Plano com uma reta r e um ponto B Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 152 Nas fi guras apresentadas de determinação de um plano um vetor normal sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano Estes dois vetores são chamados vetoresbase do plano Exemplo determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A 1 3 4 e é paralelo aos vetores 1 3 1 2 e 2 1 1 1 Solução os vetores base do plano são 1 e 2 e portanto um vetor normal ao plano conforme a fi gura 3 é 1 x 2 1 5 4 Então a equação geral do plano é 1 x 1 5 y 3 4 z 4 0 x 5 y 4 z 1 15 16 0 Ou x 5 y 4 z 2 0 Nesta equação um vetor normal ao plano é 1 1 1 1 5 4 1 5 4 3 Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados A equação ax by cz d 0 na qual a b e c não são todos nulos é a equação de um plano π sendo a b c um vetor normal a π Quando uma ou duas das componentes de são nulas ou quando d 0 estase em presença de casos particulares Ax by cz d 0 é um plano que passa pela origem A 0 b 0 c 0 d0 isto é d 0 Assim a equação ax by cz 0 Os planos paralelos aos eixos coordenados são obtidos se apenas uma das componentes do vetor a b c e nula o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados e portanto o plano π é paralelo ao mesmo eixo I Se a0 0 b c e a equação geral dos planos paralelos o eixo Ox é by cz d 0 II Os planos paralelos ao eixo Ou tem equação da forma ax cz d0 III Os planos paralelos ao eixo Oz tem equação da forma ax by d0 Os planos paralelos aos planos coordenados são obtidos se duas das componentes do vetor normal a b c são nulas é colinear a um dos vetores 1 0 0 ou 0 1 0 ou 0 0 1 o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores I Se a b 0 0 0 c c 0 0 1 c E a equação geral dos planos paralelos ao plano xOy é Álgebra Linear e Geometria Analítica 32 cz d 0 como c 0 vem z Os planos cujas equações são da forma z k A fi gura 9 mostra o plano de equação z 4 que também pode ser apresentada sob a forma Ox Ou z 40 Fig 9 Plano de equação z 4 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 160 II Os planos paralelos ao plano xOz têm por equação y k III Os planos paralelos ao plano yOz têm por equação xk A fi gura 10 mostra o plano π y3 Fig 10 Plano π 3 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 161 Exemplo determinar a equação geral do plano que passa por A 2 3 4 e é paralelo aos vetores 1 e 2 Solução Sendo P x y z o ponto genérico desse plano devese ter 1 2 0 0 x 2 Tratase de um plano paralelo ao plano yOz Equações paramétricas do plano Seja A x y z um ponto de um plano π e a1 b1 c1 e a2 b2 c2 dois vetores não colineares Um ponto P x y z pertence ao plano π que passa por A e é paralelo aos vetores e somente se existir números reais h e t tais que h t Fig 10 Plano π que passa por A Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 165 Escrevendo a equação em coordenadas obtemos x x y y z z h a1 b1 c1 t a2 b2 c2 Esta é a equação paramétrica do plano quando h e t denominados parâmetros variam de a o ponto P percorre o plano π Exemplo As equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A 2 1 3 e é paralelo aos vetores 3 3 1 e 2 1 2 são X 2 3 h 2 t Y 1 3 h t Z 3 h 2t Para obter algum ponto deste plano basta arbitrar valores para h e t por exemplo h2 e t3 X 2 3 2 2 3 2 Y 1 3 2 1 3 2 Z 3 1 2 2 3 1 33 Portanto A 2 2 1 é um ponto do plano Ângulo de dois planos Sejam os planos π1 a1x b1y c1z d10 π2 a2x b2y c2z d20 Então 1 a1 b1 c1 e a2 b2 c2 são vetores normais a π1 e π2 respectivamente conforme a fi gura 11 Fig 11 Vetores normais a π1 e π2 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 167 Chamase ângulo de dois planos π1 e π2 o menor ângulo que um vetor normal de π1 forma com um vetor normal de π2 sendo ᴓ este ângulo temse Cos ᴓ com 0 ᴓ Exemplo determine o ângulo entre os planos π1 2x 3y 5 z 8 0 π2 3x 2 y 5 z 4 0 Solução os vetores 1 2 1 5 e 3 2 5 são vetores normais a estes planos Cos ᴓ Cos ᴓ Cos ᴓ Cos ᴓ Cos ᴓ logo ᴓ arc cos 4 Ângulo de uma reta com um plano Se uma reta r com a direção do vetor e um plano π sendo um vetor normal a π conforme a fi gura 12 O ângulo ᴓ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo Ɵ que a reta r forma com uma reta normal ao plano Fig 12 Reta r com a direção do vetor Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 171 Tendo em vista que Ɵ ᴓ portanto cos Ɵ sen ᴓ Condições de paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano I Para a reta r e o plano π temos Se r π O paralelismo de r e π implica a ortogonalidade dos vetores e Fig 13 Vetores ortogonais Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 172 II Se o perpendicularismo de r e π implica o paralelismo dos vetores e Álgebra Linear e Geometria Analítica 34 Fig 14 Vetores paralelos Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 172 Condições para que uma reta esteja contida num plano Uma reta r está contida num plano π se I O vetor diretor de r é ortogonal ao vetor normal ao plano π II Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano Interseção de dois planos A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se desejam determinar Uma reta está determinada quando se conhece dois de seus pontos ou um ponto e um vetor diretor da mesma Um ponto pertence a reta interseção se suas coordenadas satisfazem simultaneamente a equação dos dois planos Considerando os planos não paralelos π1 5x 2y z 7 0 π2 3 x 3 y z 4 0 O sistema é indeterminado e em termos de x sua solução é y 2 x 3 z 9 x 13 Estas são as equações reduzidas da reta interseção dos planos π1 e π2 sendo os pontos desta interseção da forma x y z x 2 x 3 9 x 13 Parábola Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d STEINBRUCH 1987 Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de F e d A fi gura 15 tem assinalado sete pontos que são equidistantes do ponto F e da reta d STEINBRUCH 1987 Fig 15 Figura com sete pontos equidistantes Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 204 Sendo P o pé da perpendicular baixada de um ponto P do plano sobre a reta d conforme a fi gura 16 P pertence à parábola se d P F d P P ou Fig 16 Figura de um ponto P do plano Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 204 Elipse É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fi xos desse plano é constante Considerando no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d F 1 F2 2c seja um número real 2 a 2c Obtémse d P F1 d P F2 2a Fig 17 Elipse Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 226 Hipérbole É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias em valor absoluto a dois pontos fi xos desse plano é constante Considerando no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d F1 F2 2c seja um número real 2 a 2c Obtémse d P F1 d P F2 2 a Fig 18 Hipérbole Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 244 35 Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 O plano Nessa seção abordamos como um determinado vetor se comporta no plano π que é definido como o conjunto de todos os pontos e como ocorre a projeção de vetores não colineares e paralelos ao plano 2 Determinação de um plano Nessa seção estudamos diversas formas de determinação de um plano contendo um vetor normal que é sempre dado pelo produto vetorial de dois vetores 3 Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados Nessa seção analisamos como são obtidos os planos paralelos aos eixos coordenados e descrevemos caso tenha uma ou duas componentes do vetor normal nula 4 Ângulo de uma reta com um plano Nessa seção vimos como uma reta atua com ângulos distintos Exemplificamos sobre retas paralelas ou perpendiculares ao plano Além de demonstrar casos de parábola elipse e hipérbole Determinação de um plano Disponível em https wwwyoutubecomwatchvurbHrqJaNYk Acesso em 09 Out 2019 Plano Disponível em httpsbrasilescolauolcom brmatematicaplanohtm Acesso em 09 Out 2019 Geometria plana ângulos entre retas concorrentes e transversais Disponível em httpswwwyoutubecom watchvIjhOF6YepY Acesso em 09 Out 2019 Ângulo formado entre duas retas Disponível em httpsmundoeducacaoboluolcombrmatematica anguloformadoentreduasretashtm Acesso em 09 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena Minhas anotações