Aula sobre Distância entre Pontos, Retas e Planos

6º Aula Distância entre pontos retas e planos Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de realizar cálculo envolvendo pontos retas e planos distinguir superfícies quadráticas cônicas e cilíndricas incorporar características sobre superfícies quadráticas Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos distância entre dois vetores distância entre duas retas e distância entre dois planos Será apresentado pontos que caracterizam distância entre dois pontos distância entre uma reta superfícies quadráticas quadráticas centradas cônicas e cilíndricas Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 38 1 Distância entre dois pontos 2 Distância entre duas retas 3 Distância entre dois planos 1 Distância entre dois pontos A distância d entre os pontos P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 é o módulo do vetor isto é d P1 P2 Portanto d P1 P2 Exemplo calcular a distância entre os pontos P1 7 3 4 e P2 1 0 6 Solução x1 7 x2 1 y1 3 y2 0 z1 a z2 6 d P1 P2 d P1 P2 d P1 P2 Distância de um ponto a uma reta Seja uma reta r defi nida por um ponto P1x1 y1 z1 e pelo vetor diretor a b c e seja P x y z um ponto qualquer do espaço Os vetores e determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância d de P a r que pretendemos calcular conforme a fi gura1 Fig 1 Projeção de reta Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 191 Seções de estudo A área A de um paralelogramo é dada pelo produto da base pela altura A d Ou com a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial A x Após a comparação das equações obtémse d x d d r Exemplo calcular a distância do ponto P 2 0 7 à reta R Solução A reta r passa pelo ponto P1 0 2 3 e tem direção do vetor 2 2 1 Seja ainda o vetor 2 2 10 d r d r d r d r d r O produto vetorial x 2 2 1 x 2 2 10 É dado por 22 18 8 2 Distância entre duas retas A distância d entre duas retas r e s concorrentes é nula por defi nição A distância d entre as retas r e s paralelas é a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra reta STEINBRUCH 1987 conforme a fi gura 2 39 Fig 2 Distância entre as retas r e s Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 193 D r s d s r a distância entre duas retas paralelas se reduz ao cálculo da distância de um ponto a uma reta Exemplo calcular a distância entre as retas R y 2 x 3 Z 2 x S x 1 2 t Y 1 4 t Z 3 4 t Solução As retas são paralelas pois um vetor diretor de r é 1 2 2 e um vetor diretor de s é 2 4 4 e 2 O cálculo da distância entre r e s é feito por D r s d s com r Um ponto de r é 0 3 0 e s passa por 1 1 3 e tem a direção de 2 4 4 d s d s d s d s d s Retas reversas Será considerada duas retas r e s reversas a reta r defi nida por um ponto x1 y1 z1 e pelo vetor diretor a1 b1 c1 e a reta s pelo ponto P2 x2 y2 z2 e pelo vetor diretor a2 b2 c2 Os vetores e e x2 x1 y2 y1 z2 z1 determinam um paralelepípedo conforme fi gura 3 A base desse paralelepípedo é defi nida pelos vetores e e a altura corresponde a distância d entre as retas r e s porque a reta s é paralela ao plano da base do paralelepípedo uma vez que sua direção é a do vetor Fig 3 Paralelepípedo Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 194 A equação obtida é d d r s Exemplo calcule a distância entre as retas R y1 X 2 S x 3 Y 2t 1 Z t 3 Solução A reta r passa pelo ponto P1 2 1 4 e tem a direção do vetor 1 0 2 e a reta s pelo ponto P2 3 1 3 e tem a direção de 0 2 1 Então 5 2 1 16 x 4 1 2 d r s d r s d r s Distância de um ponto a um plano Seja um ponto P x y z e um plano π ax by cz d 0 Álgebra Linear e Geometria Analítica 40 Seja A o pé da perpendicular conduzida por P sobre o plano π conforme a fi gura 4 e P x y z um ponto qualquer desse plano Fig 4 Plano π Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 196 O vetor a b c é normal ao plano π e o vetor tem a mesma direção A distância d do ponto P ao plano π é d π o vetor é a projeção do vetor na direção de d π x x y y z z Portanto d π x x y y z z d π P pertence ao plano π portanto d d π Exemplo calcular a distância do ponto 4 2 5 ao plano π 2 x y 2 z 8 0 Solução I Coordenadas do ponto x 4 y 2 e z5 II Componentes do vetor normal a 2 b 1 e c 2 d π d π d π 4 3 Distância entre dois planos A distância é defi nida somente quando os planos forem paralelos Dados dois planos π1 e π2 paralelos a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro d π1π2 d π2 com π1 Exemplo calcular a distância entre os planos π1 2x 2y z 5 0 π2 4x 4y 2z 14 0 Solução um ponto de π1 é 0 0 5 e um vetor normal a π2 é 4 4 2 Portanto d π1π2 d π2 d π1π2 Distância de uma reta a um plano A distância de uma reta a um plano é defi nida somente quando a reta é paralela ao plano Dada uma reta r paralela a um plano π a distância d da reta ao plano é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano STEINBRUCH 1987 isto é d r π d π com r Superfícies quadráticas É representada por uma equação do 2 grau nas três variáveis x y e z Ax² by² cz² 2dxy 2exz 2fyz mx ny pz q 0 onde pelo menos um dos coefi cientes é diferente de zero Através de mudança de coordenadas a equação anterior pode ser transformada em Ax² By² Cz² D Caso nenhum dos coefi cientes sejam nulos a equação pode ser reescrita e denominada superfície quadrática centrada 1 Superfície cônica Superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer passando sempre por um ponto 41 dado não situado no plano desta curva A reta é denominada geratriz a curva plana é a diretriz e o ponto fi xo dado é o vértice da superfície cônica STEINBRUCH 1987 Superfície cilíndrica Seja C uma curva plana e f uma reta fi xa não contida nesse plano Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta r que se move paralelamente a reta fi xa f em contato permanente com a curva plana C STEINBRUCH 1987 A reta r que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica conforme demonstra a fi gura 5 STEINBRUCH 1987 Fig 5 Superfície cilíndrica Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 287 Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 Distância entre dois pontos Nessa seção abordamos cálculos sobre a distância entre dois pontos e distância de um ponto a uma reta onde os vetores e determinam um paralelogramo Desenvolvemos fórmulas através de interpretação geométrica 2 Distância entre duas retas Nessa seção vimos a distância de retas paralelas concorrentes e reversas Além de fórmulas e exemplos para desenvolvimento de cálculos sobre a distância de um ponto a um plano 3 Distância entre dois planos Nessa seção estudamos a definição da distância entre dois planos e distância de uma reta a um plano Apresentamos características de superfície quadrática superfície cônica e superfície cilíndrica Distância entre dois pontos Disponível em https wwwtodamateriacombrdistanciaentredoispontos Acesso em 10 Out 2019 Distância entre duas retas Disponível em https wwwyoutubecomwatchreload9vWT8rogk3uQ4 Acesso em 10 Out 2019 Distância entre ponto reta e planos Disponível em httpswwwsomatematicacombremedioespacial espacial53php Acesso em 10 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena Minhas anotações