Aula sobre Vetores: Segmentos Orientados e Equipolentes

1º Aula Vetores Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de estudar cálculos desenvolvidos com vetores compreender e distinguir a diferença de alguns tipos de vetores entender as características de alguns segmentos Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos sobre segmento orientado segmentos equipolentes vetor e operação com vetores Aqui apresentaremos exemplos de cálculos e quais as características e propriedades são dadas para alguns tipos de segmentos Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 6 1 Segmento orientado 2 Segmento equipolente 3 Vetor 4 Operação com vetores 1 Segmento orientado Uma reta com sentido de percurso e indicada por uma seta é determinada como reta orientada Fig 1 Reta orientada Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 01 Para determinar um segmento orientado é necessário um par ordenado de pontos onde o primeiro ponto é chamado de origem do segmento o segundo chamado de extremidade STEINBRUCH 1987 Um segmento orientado representado por AB indica o sentido do segmento através de uma seta em uma de suas extremidades este tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B Fig 2 Segmento orientado Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 01 O segmento orientado nulo é aquele que a extremidade coincide com a origem como no caso de um segmento AA estes têm comprimento igual a zero Para o segmento orientado AB é determinado BA como sendo um segmento oposto STEINBRUCH 1987 Para determinar a medida de um segmento é necessário fi xar uma unidade de comprimento associando um número real não negativo Essa medida do segmento é o seu comprimento ou seu módulo O comprimento do segmento AB é indicado por O segmento da fi gura 3 possui 5 unidades de comprimento 5 uc Seções de estudo Fig 3 Medida de um segmento Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 02 Dois segmentos não nulos AB e CD têm a mesma direção e suas retas são paralelas ou coincidentes O sentido de dois segmentos pode ser comparado se eles têm a mesma direção Fig 4 Segmento paralelo Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 03 Fig5 Segmento paralelo Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 03 Segmentos paralelos com a mesma direção onde a fi gura 5 tem sentido diferente Fig6 Segmento coincidentes Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 03 Segmentos coincidentes com a mesma direção onde a fi gura b tem sentido diferente 7 2 Segmento equipolente Os segmentos são equipolentes quando tem a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento Dois segmentos nulos são sempre equipolentes e a equipolência entre segmentos é representada por exemplo de equipolência dos segmentos AB e CD é dada por ABCD STEINBRUCH 1987 Se os segmentos não pertencem à mesma reta para que AB seja equipolente a CD é necessário que ABCD e AC BD STEINBRUCH 1987 e o comprimento dos lados AB e CD devem ser iguais O mesmo se aplica para AC e BD Onde ABCD deve ser um paralelogramo Fig7 Segmento equipolente em reta Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 03 Fig8 Segmento em paralelogramo Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 03 3 Vetor Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB Se AB é um segmento orientado o vetor será representado por Quando não se quer destacar nenhum representante usamse letras latinas etc STEINBRUCH 1987 Fig9 Conjunto de segmento equipolentes Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 04 O vetor determinado por AB pode ser indicado por ou AB ou As características de um vetor são as mesmas dos outros segmentos orientados isto é o módulo a direção e o sentido do vetor O módulo de se indica por Dois vetores e são vetores iguais se AB CD Os segmentos nulos são equipolentes entre si assim determinam um único vetor sendo esse o vetor nulo ou vetor zero indicado por STEINBRUCH 1987 Se é representante de um vetor é o vetor oposto este é indicado por ou Um vetor é considerado vetor unitário se 1 O versor de um vetor não nulo é um vetor unitário de mesma direção e sentido de A fi gura 10 tem um vetor de módulo 3 os vetores e são vetores unitários pois os dois têm módulo 1 Porém apenas o vetor tem a mesma direção e sentido de Após análise está claro que o versor de é o vetor Fig10 Vetores Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 06 Os vetores são considerados colineares se tiverem a mesma direção Suas representantes AB e CD devem pertencer a uma mesma reta ou retas paralelas A fi gura 11 Álgebra Linear e Geometria Analítica 8 exemplifi ca dois vetores e com suas representantes AB e CD Fig 11 Vetores colineares Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 06 Os vetores são coplanares quando estão no mesmo plano A fi gura 12 demonstra vetores não nulos e com suas representantes ABCD e EF pertencentes a um mesmo plano π Dois vetores quaisquer são sempre coplanares podendo sempre ser tomado um ponto no espaço e com origem nele imaginar os dois representantes pertencentes a um plano π Fig 12 Vetores coplanares Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 07 Fig 13 Vetores coplanares Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 07 Fig 14 Vetores não coplanares Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 07 O ângulo de dois vetores e não nulos é o ângulo ᴓ formado pelas semirretas AO e OB Fig 15 Vetores não nulos Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 12 Fig 16 vetores com ângulo ᴓ Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 12 Se ᴓ π e tem a mesma direção e sentidos contrários conforme a fi gura 17 Fig 17 vetores com sentido contrário Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 12 Se ᴓ 0 e tem a mesma direção e mesmo sentido conforme a fi gura 18 Fig 18 Vetores com mesmo sentido Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p13 O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor Caso é ortogonal a e m é um número real qualquer é ortonormal a m 4 Operação com vetores Através da soma de dois vetores pode ser obtido outro vetor Na fi gura 19 temos os vetores e representados pelos segmentos orientados AB e BC Os pontos A e C geram o vetor que por defi nição é a soma dos vetores e 9 Fig 19 Adição de vetores Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 07 A diferença de dois vetores é obtida com a expressão Dados dois vetores e representados pelos segmentos AB e AC obtendo o paralelogramo ABDC a soma de é representado pelo segmento orientado AD e a diferença é representado pelo segmento orientado CB Fig 20 Paralelogramo com a soma dos vetores Fig 21 Paralelogramo com a diferença dos vetores Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 08 Dado um vetor 0 e um número real k 0 o produto de k por é um vetor Sendo a direção de a mesma de Algumas observações relevantes são Se k 0 e possuem o mesmo sentido k 0 e possuem sentidos opostos se k0 ou 0 o produto é o vetor nulo Exemplo Resolva a operação com vetores dado os vetores e de acordo com a fi gura construir o vetor 2 3 Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 09 Solução Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 09 Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 Segmento orientado Nessa seção vimos como é determinado um segmento orientado e quais os tipos de segmentos Demonstramos como é possível determinar a direção sentido e medidas dos segmentos 2 Segmento equipolente Nessa seção abordamos sobre como é estipulado que tal segmento é equipolente e quais as características e propriedades são dadas para esse tipo de segmento 3 Vetor Nessa seção estudamos sobre quais os tipos de vetores e suas características para que o mesmo possa ser determinado de maneira correta e diferenciálos conforme a definição de cada um 4 Operação com vetores Nessa seção analisamos como é possível obter a soma e a diferença entre vetores E como deve ser desenvolvida a multiplicação de vetores por um número real Álgebra Linear e Geometria Analítica 10 Vetor e segmento orientado Disponível em https wwwyoutubecomwatchvlbVZFvP6L9E Acesso em 01 Out 2019 O que são vetores Disponível em httpsbrasilescola uolcombroqueefi sicaoquesaovetoreshtm Acesso em 01 Out 2019 Segmentos equipolentes Disponível em https wwwsomatematicacombremediovetoresvetores22 php Acesso em 01 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena Minhas anotações