Projeção e Ângulos de Vetores: Cálculo do Produto Vetorial e Propriedades

3º Aula Projeção e ângulos de vetores Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de realizar cálculo de produto vetorial e produto misto compreender como é feita a projeção de vetores englobar propriedades do produto vetorial Prezadosas alunosas Nesta aula estudaremos sobre produtos de vetores ângulo de dois vetores e projeção de um vetor Aqui proporcionaremos conteúdo para que seja realizado cálculos envolvendo produto vetorial e produto mistos além de incluir como é feita a projeção de vetores Bons estudos Álgebra Linear e Geometria Analítica 18 1 Produtos de vetores 2 Ângulo de dois vetores 3 Projeção de um vetor 1 Produtos de vetores Sendo x1 y1 z1 e x2 y2 z2 o produto escalar dos dois vetores é representado por Esse produto escalar também pode ser indicado por e se lê escalar x1 x2 y1 y2 z1 z2 Exemplo se 3 5 8 e 4 2 3 x 4 5x2 8 x 1 12 10 8 14 Módulo de um vetor x y z representado por é o número real não negativo ou em coordenadas Ou Exemplo se 2 1 2 então 3 Produto escalar no IR² Considerando os vetores x1 y1 e x2 y2 temos x1 x2 y1 y2 Se ᴓ é o ângulo entre e então cos ᴓ Se cos ɑ e cos β Cos ² ɑ cos² β 1 Proj Produto vetorial Dados os vetores x1 y1 z 1 e x2 y2 z2 estando nessa ordem chamase produto vetorial dos vetores x ao vetor x y1 z z 1 y2 x1 z 2 z 1 x2 x1 y2 y1 x2 Cada componente deste vetor pode ainda ser expresso Seções de estudo na forma de um determinante de 2 ordem x O produto vetorial do vetor pelo vetor é também indicado por e se lê vetorial Exemplo cálculo do produto vetorial dos vetores 5 4 3 e x x x 4 0 5 3 0 4 x 4 2 4 Caso a ordem dos vetores seja trocada obtemos x x x 0 4 3 5 4 0 x 4 2 4 Logo os vetores x e x são opostos isto é x x o que signifi ca que o produto vetorial não é comutativo Propriedades do produto vetorial Algumas propriedades do produto vetorial estão intimamente relacionadas com propriedades dos determinantes I x qualquer que seja II x x III x x x IV m x m x V x somente se um dos vetores é nulo ou se e são colineares Se é nulo as suas componentes são 0 0 0 x VI x é ortogonal simultaneamente aos vetores e x x 0 Exemplo O produto vetorial dos vetores 2 19 4 e 2 2 é o vetor x 6 11 10 O vetor x é ortogonal x 6 3 11 2 10 4 18 22 400 x 6 2 112 10 1 12 22 100 VII x ² ² ² ² de fato x VIII Se e se é o ângulo dos vetores e x sem ᴓ IX O produto vetorial não é associativo De fato o vetor x x é coplanar com e ao passo que o vetor x x é coplanar com e então x x x x O módulo do produto vetorial dos dois vetores e mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores e Fig 1 Paralelogramo ABCD Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 70 Área ABCD h à h sem ø x x sem ø Logo x área ABCD Exemplo o vetor x como também o vetor x é simultaneamente ortogonal a e Logo os versores de x e de x constituem a solução do problema x x x 6 9 2 12 6 24 x 15 10 30 x 15 10 30 Tendo em vista que x x vem x 15 10 30 Logo os versores correspondentes são 15 10 30 E Duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com coeficientes escalares x x O vetor x x é coplanar ou seja pode ser descrito da seguinte maneira x x m n Ao escolher a base ortonormal com paralelo a pode se determinar m e n os vetores e devem ser coplanares assim como deve ser paralelo a x conforme demonstra a Figura 2 Fig 2 Projeção com base ortonormal Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 87 Algumas propriedades do produto vetorial está diretamente relacionada às propriedades dos determinantes x qualquer que seja Se x podese afirmar que as componentes de x são todas nulas ou seja x1y1z10 ou x1 y1 z1 são proporcionais a x2 y2 z2 Exemplo o produto vetorial dos vetores 3 2 4 e 2 2 é o vetor x 6 11 10 o vetor x é ortogonal simultaneamente aos vetores e x 6 11 10 x 6 3 112 10 4 18 22 40 0 x 6 2 11 2 10 1 12 22 10 0 Produto Misto O produto misto é demonstrado por Tendo os vetores x1 y1 z1 x2 y2 z2 e x3 y3 z3 é possível desenvolver cálculo usando os Álgebra Linear e Geometria Analítica 20 componentes dos vetores Exemplo calcular o produto misto dos vetores 2 3 5 3 3 e 4 3 2 Propriedades do produto misto I 0 se um dos vetores é nulo se dois deles são colineares ou se os três são coplanares Se é nulo as suas componentes são 00 0 Se nem nem são nulos mas ambos são colineares m II o produto misto independe da ordem circular dos vetores isto é Entretanto o produto misto troca de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos isto é III IV m m m m Interpretação geométrica do módulo do produto misto Geometricamente o produto misto x é igual em módulo ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores e conforme a fi gura a seguir A fórmula obtida é V x Fig 3 Representante para o módulo do produto misto Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 82 Volume do tetraedro Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais Como todo prisma triangular equivale a três pirâmides de base e altura equivalentes a base e a altura do prisma o volume de cada uma destas pirâmides é do volume do paralelepípedo Sendo A B C e D quatro pontos do espaço não situados num mesmo plano e três a três não colineares conforme a fi gura 4 as retas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores e portanto o volume do tetraedro ABCD é V Fig 4 Tetraedro ABCD Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 84 2 Ângulo de dois vetores O ângulo entre dois vetores e não nulos varia de 90 21 a 180 o produto escalar de dois vetores está relacionado ao ângulo escalar que é formado por ele Se tendo ø como ângulo dos vetores e Então cos ø Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da fi gura 5 temos Fig 5 Triângulo ABC Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 44 ² ² ² 2 cos ø ² ² 2 ² ² 2 cos ø cos ø Portanto o produto escalar de dois vetores é o produto dos seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado Se 0 o cos ø deve ser um número positivo conforme a fi gura 6 neste caso o ângulo é agudo ou nulo Fig 6 ø De ângulo nulo Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 45 Se 0 o cos ø deve ser um número negativo conforme a fi gura 7 neste caso o ângulo é abtuso ou raso Fig 7 ø De ângulo raso Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 45 Se 0 o cos ø deve ser igual à zero neste caso o ângulo é reto conforme fi gura 8 Apenas neste caso podemos afi rmar que dois vetores são ortogonais pois o produto escalar é nulo Fig 8 ø De ângulo reto Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 46 Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles é nulo isto é 0 Exemplo 2 3 2 é ortogonal a 1 2 4 pois 2 1 3 2 2 4 2 6 8 0 3 Projeção de um vetor Os vetores e são diferentes de 0 e o ângulo por eles formado é ø De acordo com a fi gura 9 o vetor representa a projeção de sobre Do triângulo retângulo vem cos ᴓ Proj Fig 9 projeção de um vetor Fonte STEINBRUCH Alfredo Geometria analítica 1987 p 56 Exemplo determinar o vetor projeção de 2 3 4 sobre 1 1 0 Solução Proj Proj 1 1 0 Proj 1 1 0 Proj 1 1 0 Proj 1 1 0 Proj 0 Álgebra Linear e Geometria Analítica 22 Retomando a aula Parece que estamos indo bem Então para encerrar esta aula vamos recordar alguns pontos importantes 1 Produtos de vetores Nessa seção abordamos sobre produto escalar de dois vetores e como este é representado Também vimos algumas propriedades que caracterizam o produto vetorial e exemplos de desenvolvimento de cálculo de produto misto 2 Ângulo de dois vetores Nesse item estudamos a variação do ângulo entre dois vetores não nulos abrangendo algumas características que exemplificam caso o cosseno de ø seja positivo negativo ou igual à zero 3 Projeção de um vetor Nesse item vimos como é feita a projeção de vetores diferentes de zero e algumas maneira de descrever um vetor Após a escolha da base podese determinar os valores Produto misto Disponível em httpswwwyoutube comwatchvBXsx2CcH1kk Acesso em 11 Out 2019 Vetores Disponível em httpswwwsofisicacom brconteudosMecanicaCinematicaVetoresphp Acesso em 11 Out 2019 Produtos de vetores Disponível em httpefisica ifuspbrmecanicauniversitariovetoresprodvetores Acesso em 11 Out 2019 Vale a pena acessar Vale a pena Minhas anotações