Princípios Básicos da Engenharia Econômica e Matemática Financeira

1º Aula Princípios básicos da Engenharia Econômica Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de desenvolver e conhecer os princípios básicos da matemática financeira diferenciar juros simples e juros compostos calcular Valor Presente e Valor Futuro de operações financeiras em sistemas de capitalização simples e composta desenhar fluxos de pagamentos através do diagrama de fluxo de caixa identificar diferentes séries de pagamentos entender a importância do conceito de Valor do Dinheiro no Tempo Carosas alunosas esta é nossa primeira aula de Engenharia Econômica Começaremos introduzindo conceitos básicos de matemática financeira que são primordiais para o desenvolvimento da nossa disciplina A cada aula novos conceitos aparecerão sendo sempre complementares dos conteúdos vistos nas aulas anteriores Por isso é necessário seguir uma sequência de estudos da primeira até a última aula não deixando dúvidas sem ser esclarecidas Não deixem de me procurar estarei sempre à disposição para quaisquer esclarecimentos Bons estudos 6 Engenharia Econômica Seções de estudo 1 Introdução à Matemática Financeira 2 Juros simples e juros compostos 3 Fluxo de caixa e simbologia 4 Séries de pagamentos 5 Valor do dinheiro no tempo VDT 1 Introdução à Matemática Financeira A Matemática Financeira pode ser considerada como a principal ferramenta da Engenharia Econômica Seu princípio básico é a existência do chamado valor do dinheiro no tempo VTD Isso nos faz entender que todo dinheiro tem um custo em diferentes momentos Esse custo é fi xado pela taxa de juros que remunera ou que onera uma operação de aplicação fi nanceira ou um empréstimo respectivamente Dessa forma fi ca evidente que a Matemática Financeira está fundamentada na existência da taxa de juros ou seja do custo do dinheiro ABREU 2020 Sabendo da existência do valor do dinheiro no tempo podese afi rmar que executivos fi nanceiros têm obrigação de investir seu capital não podendo deixar recursos fi nanceiros disponíveis parados em caixa deixando apenas o mínimo estritamente necessário para as operações do dia a dia assim como devem saber escolher qual a melhor oportunidade para captação de recursos evitando pagar taxas abusivas Ao longo desta aula veremos conceitos fundamentais para o bom desenvolvimento do curso Não carreguem dúvidas tenham certeza de que compreenderam o signifi cado de cada conceito bem como sua aplicação 2 Juros simples e juros compostos Juro é a remuneração cobrada quando se empresta dinheiro por um determinado período PAMPLONA MONTEVECHI 2011 Em outras palavras o juro é como se fosse um aluguel pago a alguém pelo uso do dinheiro por certo tempo Fazendo uma analogia aos demais fatores de produção temos que o salário é a remuneração do trabalho o aluguel é a remuneração pelo uso da terra o lucro é a remuneração pela correta administração de um negócio e nesse mesmo sentido juros é a remuneração do uso do capital Conforme pode ser visto na fi gura abaixo Figura Remuneração dos fatores de produção Fonte Pamplona Montevechi 2011 Quando falamos de operações fi nanceiras e o mercado de capitais temos sempre que ter em mente duas fi guras principais o tomador e o credor O tomador é quem necessita de recursos um empréstimo em determinada quantia Já o credor é aquele que tem excesso de recursos e pode emprestar a quem necessita esperando receber uma remuneração por isso Da mesma forma podemos entender o conceito de juros de duas formas Para o credor é o rendimento obtido auferido por um indivíduo que tenha aplicado ou emprestado uma quantia por certo tempo Por outro lado para o tomador esses juros são o valor pago por um capital tomado emprestado em um determinado período de tempo ELIA 2018 O conceito de juros é mais comum em nossos dias do que podemos imaginar compras a crédito prestações da casa própria desconto de duplicatas vendas a prazo fi nanciamentos de automóveis empréstimos e tantos outras operações que fazemos diariamente envolvem a aplicação de juros LEMBREMSE Os termos juros e tempo estão intimamente associados Dáse ao ato de adicionar juros o nome de capitalização que é o valor emprestado ou aplicado adicionado o valor correspondente de custo ou rendimento Os juros podem ser de capitalização simples ou composta No regime de capitalização a juros simples os juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial Já no regime de capitalização a juros compostos os juros de cada período são sempre calculados sobre o saldo do período anterior ABREU 2020 Nas próximas sessões veremos essas duas formas de capitalização com mais detalhes 21 Juros Simples Quando se trata de capitalização a juros simples o valor dos juros a serem pagos é constante igual para todos os períodos sendo defi nido no primeiro período da operação fi nanceira tanto para tomada de empréstimo quanto para aplicação de capital Tais juros não são calculados novamente ao longo de toda operação fi nanceira Por essa razão uma aplicação com base no regime de juros simples é muito limitada e só tem sentido se o prazo for muito curto ABREU 2020 Para calcular rendimentos quando estamos utilizando o conceito de juros simples consideramos que apenas o capital inicial rende juros Podemos calcular o valor desses juros constantes da seguinte forma J PV i n J juros PV Valor Presente i taxa de juros n número de períodos O valor fi nal que se tem depois do período de capitalização n é chamado de Valor Futuro FV e é o resultado da soma 7 do capital inicial PV com os juros J Portanto temos a seguinte fórmula FV PV J FV Valor Futuro PV Valor Presente J juros FV PV PV i n ou FV PV 1 i n Logo juntando as duas fórmulas acima temos que A fórmula apresentada acima nos mostra como corrigir o valor do dinheiro no tempo Vimos que a diferença entre o Valor Presente PV e o Valor Futuro FV é a parcela correspondente aos juros J De forma que quando queremos levar um valor presente para o futuro no sistema de capitalização a juros simples basta multiplicar o valor presente por 1 i n termo que pode ser chamado de fator de correção do dinheiro no tempo ATENÇÃO Nas fórmulas de juros simples vistas nesse tópico a taxa de juros i está expressa na forma decimal Por exemplo 10 deve ser usado como 010 5 deve ser usado como 005 e assim por diante Os valores de i e de n deverão ser compatíveis ou seja se i for expresso ao ano n deverá também ser expresso em anos A tabela a seguir simula um investimento de 100 unidades monetárias na data zero com um sistema de remuneração do capital a juros simples O período definido é de n4 e taxa de juros é i10 ao período Note que o valor dos juros é constante ao longo dos 4 períodos de capitalização JUROS R 1000 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 Saldo inicial 100 100 110 120 130 Juros 10 10 10 10 Saldo final 110 120 130 140 É o mesmo que dizer por exemplo que Frederico aplicou R 10000 na caderneta de poupança de seu banco e essa aplicação lhe renderá juros simples com taxa de 10 aa Suponha que Frederico queira saber qual será o saldo acumulado dessa aplicação ao final de quatro anos ANO Saldo Inicial Juros no período Saldo Final 1 R 10000 R 1000 R 11000 2 R 11000 R 1000 R 12000 3 R 12000 R 1000 R 13000 4 R 13000 R 1000 R 14000 O saldo disponível para resgate ao final dos quatro anos será de R 14000 211 Exemplo 1 Antônio pegou em um banco R 400000 emprestados à taxa de 25 ao ano Supondo que o pagamento será realizado ao final de um ano qual valor será pago por Antônio no vencimento do empréstimo FV PV 1 i n FV R 400000 x 1 0025 1 FV R 400000 x 1025 FV R 410000 Note que neste exemplo o valor solicitado pelo enunciado é o Valor Futuro FV 212 Exemplo 2 A ABC Store vende uma determinada mercadoria à vista por R 50000 e a prazo para pagamento em um mês por R 56000 Qual a taxa de juros incluída na compra a prazo FV PV 1 i n R 560 R 500 1 i 1 R 560 R 500 1 i R 560 R 500 500 i i R 560 R 500 500 i 012 12 ao mês Note que nesse exemplo o valor solicitado pelo enunciado é a taxa de juros i 213 Exemplo 3 A DD Vestuários LTDA pegou um empréstimo em um banco à taxa de juros de 55 ao mês e pagou após um mês no vencimento R 4431000 Qual o valor do empréstimo pego pela empresa FV PV 1 i n R 44310 PV 1 0055 1 R 44310 PV 1055 PV R 44310 1055 PV R 4200000 Note que nesse exemplo o valor solicitado pelo enunciado é o Valor Presente PV 214 Exemplo 4 Um cliente de um banco pegou emprestado R 150000 a uma taxa de 35 ao mês Quando liquidou esse empréstimo o valor pago foi de R 255000 quantos meses esse cliente demorou para liquidar o empréstimo FV PV 1 i n R 2550 R 1500 1 0035 n R 2550 R 1500 5250 n n R 2550 R 150000 5250 n 20 meses 8 Engenharia Econômica Note que nesse exemplo o valor solicitado pelo enunciado é o período n 22 Juros compostos No regime de capitalização a juros compostos o valor dos juros a serem pagos a cada período muda de acordo com o saldo credor ou devedor que é atualizado a cada período ABREU 2020 Por essa razão a aplicação com base no regime de juros compostos é universal e muito mais comum no nosso dia a dia em comparação com os juros simples Quando se trata de juros compostos o juro é incorporado ao valor presente no fi nal de cada período de forma que no mês seguinte também passará a render juros Observe No primeiro período FV1 PV PV i PV 1 i V No segundo período FV2 FV1 FV1 i FV1 1 i PV 1 i 1 i PV 1 i 2 No terceiro período FV3 FV2 FV2 i FV2 1 i PV 1 i 2 1 i PV 1 i3 E assim por diante de forma que podemos generalizar para n períodos A expressão geral para cálculo de juros compostos dada por FV PV 1in ATENÇÃO Nas fórmulas de juros compostos vistas nesse tópico a taxa de juros i está expressa em forma decimal Por exemplo 10 deve ser usado como 010 5 deve ser usado como 005 e assim por diante Os valores de i e de n deverão ser compatíveis ou seja se i for expresso ao ano n deverá também ser expresso em anos A tabela a seguir simula um investimento de 100 unidades monetárias na data zero com um sistema de remuneração do capital a juros compostos O período defi nido é de n4 e a taxa de juros é i10 por período Note que o valor dos juros varia ao longo dos 4 períodos de capitalização devido à alteração do valor do saldo inicial que atualiza todo mês Isso porque no sistema de capitalização de juros compostos o juro é incorporado ao valor presente no fi nal de cada período e passa a também render juros t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 Saldo inicial 100 100 110 121 1331 Juros 10 11 121 1331 Saldo fi nal 110 121 1331 14641 Analogamente ao exemplo anterior vamos supor que Frederico aplicou R 10000 na caderneta de poupança de seu banco e essa aplicação lhe renderá juros compostos com taxa de 10 aa Suponha que Frederico queira saber qual será o saldo acumulado dessa aplicação ao fi nal de quatro anos ANO Saldo Inicial Juros no período Saldo Final 1 R 10000 R 1000 R 11000 2 R 11000 R 1100 R 12100 3 R 12100 R 1210 R 13310 4 R 13000 R 1331 R 14641 O saldo disponível para resgate ao fi nal dos quatro anos será de R 14641 Note que quanto maior o período de rendimento mais os juros compostos se distanciam dos juros simples observe o gráfi co Gráfi co comparação de investimentos entre juros simples e juros compostos Fonte elaborado pela autora 221 Exemplo 1 Alice realizou uma aplicação fi nanceira de R 2000000 por 12 meses à taxa de 15 ao mês Qual o valor de resgate FV PV 1in FV R 20000 1 0015 12 FV R 20000 11956 FV R 2391200 Note que nesse exemplo o valor solicitado pelo enunciado é o Valor Futuro FV 222 Exemplo 2 Fernanda tem uma dívida de R 2500000 para pagar em 5 meses mas ela procura o banco pois deseja quitar hoje Qual o valor que Fernanda deverá pagar se o banco trabalha com uma taxa de juros mensal de 4 ao mês FV PV 1in R 25000 PV 1 0045 R 25000 PV 12166 PV R 2054900 Note que nesse exemplo o valor solicitado no enunciado é o Valor Presente PV 9 223 Exemplo 3 Joyce pegou um empréstimo de R 1460000 à taxa de 138 ao ano Ela somente permaneceu com o valor emprestado por 128 dias corridos pois foi ao banco liquidar o empréstimo antecipadamente Qual o valor que Joyce deve pagar ao banco FV PV 1 in FV R 14600 1 0138128360 FV R 1400000 Note que nesse exemplo o valor solicitado no enunciado é o Valor Futuro FV mas o cuidado maior deve ser na defi nição do expoente no qual aparece o prazo da operação pois como a taxa é ao ano dividimos o número de dias dado pelo enunciado por 360 dias comerciais no ano 23 Diferentes nomenclaturas dos juros Na Matemática Financeira quando nos referimos às taxas de juros podemos usar diferentes nomenclaturas que são sinônimos só dependem do ponto de vista de quem está pagando ou recebendo e de qual lado da operação estamos Abreu 2020 lista da seguinte forma Taxa de retorno quando alguém investe espera receber por isso uma taxa de retorno Por exemplo quando alguém aplica em um título para receber juros de 1 ao mês a cada mês que recebe os juros está recebendo a taxa de retorno do seu investimento no título Taxa de desconto quando alguém pega recursos emprestados deve descontar do seu caixa um valor para pagar os juros ao credor Esse valor pago é comumente chamado de taxa de desconto Taxa de juros um agente do mercado que observa uma operação de empréstimo com pagamento de juros referese a essa como taxa de juros do pagamento ou do recebimento Taxa do custo do capital quando uma empresa remunera os investidores que investiram e emprestaram capital dinheiro ela diz que está pagando a taxa do custo do capital Já o banco diz que se trata de uma taxa de juros ou taxa de retorno e Taxa mínima de atratividade TMA é a taxa mínima que leva alguém a aplicar ou investir recursos fi nanceiros em determinado investimento Por exemplo se você tem o seu dinheiro aplicado em um fundo de renda fi xa que remunera à taxa de juros de 14 ao ano e é convidado pelo gerente do banco a investir em um fundo de renda fi xa que promete pagar 12 ao ano você agradecerá mas não aceitará a proposta pois a sua TMA atual é de 14 aa 3 Fluxo de caixa e simbologia O movimento do dinheiro no tempo pode ser representado pelo chamado diagrama de fl uxo de caixa DFC que é o conjunto de entradas receitas e saídas despesas de caixa durante um período de tempo ELIA 2018 A montagem do fl uxo de caixa pode ser feita através da representação ao longo de uma linha de tempo do momento que ocorre cada entrada ou saída de caixa Ao montar o fl uxo de caixa três elementos precisam ser observados O valor fi nanceiro em módulo A data da ocorrência O sinal do fl uxo de caixa a ser representado por uma seta vertical que indicará se é uma entrada ou saída de caixa Grafi camente o Diagrama de Fluxo de Caixa DFC é representado por um eixo horizontal que representa o tempo dividido em períodos como dias meses anos Cada fl uxo de caixa é representado por vetores verticais que podem ter as seguintes orientações Entradas de Caixa representadas com a seta para cima Saídas de Caixa representadas com a seta para baixo Figura ilustração de um fl uxo de caixa genérico com uma saída de capital e quatro entradas sucessivas Fonte elaborado pela autora O valor de um fl uxo de caixa é em função do tempo seja ele negativo pagamento ou positivo recebimento por isso necessita ser representado em uma escala cronológica que o situe exatamente na época de sua ocorrência ATENÇÃO Os fl uxos de caixa somente podem ser indicados no início ou no fi nal do período de análise Assim se os períodos forem mensais considerase que todas as entradas ou saídas ocorrem no início ou no fi nal do mês Se for necessário os períodos de análise devem ser encurtados 10 Engenharia Econômica Ao longo desta disciplina adotaremos a seguinte simbologia PV valor presente capital inicial FV valor futuro saldo corrigido no tempo já incluindo os juros PMT valor das prestações depósitos ou saques periódicos n prazo ajustado para o mesmo período da taxa de juros i taxa efetiva de juros 31 Exemplos envolvendo desenho de fl uxo de caixa 311 Exemplo 1 Uma empresa desembolsa na data zero R 150000 para a compra de estoque Na data 1 recebe R 65000 referente a vendas realizadas à vista Na data 2 da mesma forma recebe R 80000 Na data 3 essa mesma empresa paga um empréstimo no valor de R 50000 Por fi m na data 4 recebe R 95000 referente a novas vendas à vista Represente o diagrama de fl uxo de caixa 312 Exemplo 2 Anna realiza um investimento no valor de R 1000000 na data zero e resgata mensalmente ao logo de seis meses R 20000 referente ao rendimento de sua aplicação Represente o diagrama de fl uxo de caixa 4 Séries de pagamentos Chamamos de série de pagamentos uma sequência fi nita ou infi nita de pagamentos desembolsos ou de recebimentos ganhos em determinadas datas Para representação dessas séries a melhor ferramenta a ser utilizada é o Diagrama de Fluxo de Caixa DFC visto no tópico anterior pelo auxílio visual fornecido impulsionando a compreensão de problemas envolvendo séries ELIA 2018 As séries são consideradas fi nitas quando existir uma última prestação e infi nita se não existir uma última prestação Para esse último caso damos o nome de perpetuidade Figura exemplo de série fi nita com um número limitado de prestações Fonte elaborado pela autora Figura exemplo de série infi nita perpetuidade quando não há um número limitado de prestações Fonte elaborado pela autora Como vimos no início desta aula quando falamos de operações fi nanceiras devemos sempre entender qual lado estamos analisando o do credor quem empresta ou do tomador quem toma empréstimo Antes de determinarmos o sinal a ser representado no Diagrama de Fluxo de Caixa DFC em determinada série de pagamentos é fundamental a defi nição do ponto de vista As fi guras abaixo ilustram a mesma operação de empréstimo em pontos de vista diferentes Figura fl uxo de caixa na visão do poupador que empresta um valor e recebe rendimento pelo seu capital emprestado Fonte elaborado pela autora Figura fl uxo de caixa na visão do tomador que recebe o empréstimo na data zero e paga pelo uso do capital emprestado Fonte elaborado pela autora 11 As séries de pagamento podem ser do tipo uniforme quando possuírem pagamentos ou recebimentos constantes de mesmo valor e mesmo intervalo de tempo ou seja quando todos os termos forem iguais e portanto as fl echas da representação serão simétricas Figura fl uxo de caixa uniforme ou constante Fonte elaborado pela autora Podem também ser não uniformes quando os termos forem diferentes e portanto as fl echas da representação terão tamanhos diferentes Figura fl uxo de caixa não uniforme Fonte elaborado pela autora Por fi m as séries de pagamento podem ser periódicas quando o intervalo entre dois de seus termos for sempre constante ou não periódicas quando esse intervalo não for constante Figura série periódica quando o termo se repete período a período Fonte elaborado pela autora Figura série não periódica quando o termo passa alguns períodos sem se repetir Fonte elaborado pela autora 5 Valor do dinheiro no tempo VDT O valor do dinheiro no tempo é expresso de um lado pelo valor ganho com aplicações realizadas e por outro lado pelo valor perdido por conta de aplicações que deixaram de ser feitas Ou seja se alguém aplicar recursos hoje poderá ganhar juros com essa aplicação já se não aplicar deixará de ganhar o possível resultado dessa aplicação ABREU 2020 O princípio que explica a existência do VTD é o da equivalência que se baseia no fato de que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo Assim uma determinada quantia teria signifi cados econômicos diferentes em épocas diferentes ELIA 2018 Por exemplo digamos que uma empresa esteja vendendo uma máquina agrícola por R 10000000 e que o cliente tenha pedido por duas alternativas de pagamento pagar os R 10000000 à vista ou dar um cheque para daqui a 30 dias Quando consideramos o conceito do VDT percebemos que essas opções não são equivalentes pois se você receber os R 10000000 hoje poderá aplicálos em um fundo de investimento que proporciona uma taxa de retorno de 05 ao mês por exemplo Assim ao fi nal de 30 dias você terá os R 10000000 mais os juros de R 50000 Caso resolva aceitar o pagamento somente daqui a 30 dias você só terá os R 10000000 iniciais deixando de ganhar perdendo portanto os R 50000 da aplicação disponível Por essa razão dizemos que existe valor do dinheiro no tempo VDT e nesse exemplo o VDT é de R 50000 ATENÇÃO NÃO SE SOMA OU SUBTRAI QUANTIAS EM DINHEIRO QUE NÃO ESTEJAM NA MESMA DATA RECURSOS SÓ SÃO COMPARÁVEIS NA MESMA DATA 51 Exemplos envolvendo o conceito do VDT 511 Exemplo 1 Maria deve pagar hoje R 100000 correspondentes a uma compra realizada na loja KLL LTDA O banco junto ao qual a KLL LTDA opera aceita aplicações remunerandoas a uma taxa de juros de 1 ao mês já livre de imposto de renda Caso Maria opte por realizar o pagamento somente no mês que vem quanto a empresa perderá por conta desse um mês de atraso Como é chamada essa perda RESPOSTA Se Maria pagar hoje a KLL LTDA poderá aplicar o valor pago e no fi nal do mês terá os R 100000 pagos mais o resultado da aplicação que será de R 1000 Daqui a um mês a KLL LTDA terá então R 101000 Por outro lado se Maria pagar daqui a um mês a KLL LTDA não terá os R 100000 para aplicálos Logo os R 100000 continuarão sendo R 100000 De forma que a KLL LTDA perderá R 1000 caso o cliente não pague conforme o combinado Houve portanto a chamada perda de valor do dinheiro no tempo VDT 12 Engenharia Econômica 512 Exemplo 2 A DFG Acessórios recebeu R 1000000000 de seus clientes no mês de Janeiro de 20XX Nessa data todas as suas dívidas e contas a pagar estão pagas pelos próximos 30 dias Isso signifi ca que esses recursos recebidos hoje estão disponíveis para aplicação pelos próximos 30 dias O banco por meio do qual a DFG Acessórios opera aceita aplicações remunerandoas a uma taxa de juros de 1 ao mês já livre de imposto de renda Suponha que o gerente fi nanceiro tenha esquecido de fazer essa aplicação durante um mês ou seja o dinheiro fi cou parado na conta da empresa A sua missão é determinar qual o valor da perda que a empresa teve Como se chama essa perda RESPOSTA Dado que o gerente fi nanceiro não aplicou os recursos houve sim uma perda pois se tivesse aplicado o dinheiro disponível a empresa receberia os juros desses 30 dias Considerando que o montante disponível para aplicação era de R 1000000000 e que a taxa de juros é de 1 ao mês o valor dos juros seria de R 10000000 Dessa forma devido ao esquecimento houve uma perda de R 10000000 que é chamada perda de valor do dinheiro no tempo VDT Ao fi nal desta primeira aula vamos recordar sobre o que aprendemos até aqui Retomando a aula 1 Introdução à Matemática Financeira Nesta seção explicamos que o princípio básico da matemática fi nanceira é a existência do chamado valor do dinheiro no tempo VTD Isso nos faz entender que todo dinheiro tem um custo em diferentes momentos 2 Juros simples e juros compostos Vimos que juros é a remuneração cobrada quando se empresta dinheiro por um determinado período sendo que podem ser de capitalização simples ou composta Quando se trata de capitalização a juros simples o valor dos juros a serem pagos é constante sendo defi nido no primeiro período da operação fi nanceira No regime de capitalização a juros compostos o valor dos juros a serem pagos a cada período muda de acordo com o saldo credor ou devedor que é atualizado a cada período 3 Fluxo de caixa e simbologia O Diagrama de Fluxo de Caixa DFC é representado por um eixo horizontal que representa o tempo dividido em períodos Cada fl uxo de caixa é representado por vetores verticais que podem ter as seguintes orientações Entradas de Caixa Saídas de Caixa 4 Séries de pagamentos Chamamos de série de pagamentos uma sequência fi nita ou infi nita de pagamentos desembolsos ou de recebimentos ganhos em determinadas datas 5 Valor do dinheiro no tempo VDT Por fi m verifi camos que de fato o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo Juros Simples e Compostos Prof Gui Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvNS1AVfrVAgQ Acesso em 01 de fevereiro de 2020 Juros Simples Exercícios Resolvidos Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvncit6BfaGaA Acesso em 01 de fevereiro de 2020 Fluxo de Caixa e Orçamento Disponível em https wwwyoutubecomwatchvU8sJI8feaQ4 Acesso em 01 de fevereiro de 2020 O Valor do Dinheiro no Tempo Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8LoOFpoQWys Acesso em 01 de fevereiro de 2020 Aula de Valor do dinheiro no tempo Prof Henrique Martins Disponível em httpswwwyoutubecom watchvPTVT3vdd4Y Acesso em 01 de fevereiro de 2020 Vale a pena assistir ABREU JOSÉ CARLOS Matemática Financeira Apostila do curso de pósadministração FGV Rio de Janeiro 2020 ELIA BRUNO DE SOUSA Matemática Financeira Apostila do curso de MBA em Gestão Finanças Controladoria e Auditoria FGV Rio de Janeiro 2018 PAMPLONA EDSON DE OLIVEIRA MONTEVECHI JOSÉ ARNALDO BARRA Engenharia Econômica 2011 Disponível em httpsdocplayercom br54132715Engenhariaeconomicahtml Acesso em 30012020 Vale a pena ler Vale a pena