Aula sobre Equivalência de Taxas de Juros e Séries de Pagamentos

3º Aula Equivalência de taxas de juros e séries de pagamentos Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de converter taxas de juros simples e compostas para diferentes períodos de tempo distinguir entre taxas nominais e taxas efetivas entender o conceito e a importância das chamadas taxas reais encontrar taxas reais a partir de taxas aparentes julgar melhores opções de taxas quando prefixadas ou pósfixadas calcular valores totais de séries de pagamentos uniformes e não uniformes trazendo todos os pagamentos recebimentos a valores presentes Carosas alunosas nesta aula entenderemos as diferenças entre as diversas taxas anunciadas pelo mercado taxas nominais ou efetivas aparentes ou reais prefixadas ou pósfixadas Esse conhecimento é de suma importância para cálculos de financiamentos ou investimentos uma vez que usar a taxa errada pode ocasionar sérios prejuízos devido à escolha equivocada para diferentes oportunidades Veremos isso a seguir Até agora já vimos os conceitos iniciais do uso da HP12C Nesta aula aprofundaremos ainda mais o seu uso Bons estudos 20 Engenharia Econômica Seções de estudo 1 Equivalências de taxas de juros 2 Taxa nominal e taxa efetiva 3 Taxa aparente e taxa real 4 Taxa prefi xada e taxa pósfi xada 5 Séries de pagamento 1 Equivalências de taxas de juros No mercado é muito comum encontrarmos períodos de operações fi nanceiras e taxas em diferentes unidades de tempo de forma que precisamos igualar as duas para podermos realizar qualquer cálculo desejado Os métodos que serão vistos nesta sessão são válidos para conversão de taxas de juros efetivas de um período para o outro Sabendo que a taxa em análise é de fato efetiva precisamos saber qual é o regime da capitalização para fazer a conversão corretamente isso porque se o regime for simples convertemos para o período da capitalização no regime simples e se o regime for composto convertemos para o período da capitalização no regime composto 11 Equivalências para juros simples Para o regime da capitalização de juros simples taxas proporcionais são aquelas que aplicadas sobre um mesmo valor principal produzem o mesmo montante para um mesmo intervalo de tempo ELIA 2018 Quando estamos trabalhando com juros simples a equivalência é de fato simples uma vez que como a taxa é linear ao longo do tempo para obter a taxa equivalente basta dividir ou multiplicar dependendo do caso o número de períodos que um couber dentro do outro pela taxa do período conhecido em relação ao desejado TORRES 2004 Na capitalização simples podemos escrever a fórmula básica de equivalência no tempo da seguinte forma i mensal x 12 i anual i taxa de juros A partir da relação demonstrada na fórmula básica generalizamos para os demais períodos ATENÇÃO Quando estamos trabalhando com juros simples o que acontece é uma simples proporcionalidade Podemos realizar uma simples regra de três A tabela a seguir evidencia através de um exemplo como pode ser feita a conversão de períodos para taxas nos juros simples Taxa de juros Ao ano aa 1 Ao semestre as 1 2 05 Ao trimestre at 1 4 025 Ao bimestre ab 1 6 0167 Ao mês am 1 12 0083 Ao dia ad 1 360 000278 Tabela equivalência de taxas de juros para regime de capitalização de juros simples Fonte elaborado pela autora 12 Equivalências para juros compostos Já quando se trata de juros compostos as taxas equivalentes são aquelas que quando aplicadas sobre o mesmo capital pelo mesmo prazo produzem o mesmo montante no regime de juros compostos ELIA 2018 Na capitalização composta temos a seguinte fórmula básica de equivalência no tempo 1 i mensal12 1 i anual i taxa de juros A partir dela temos a generalização Suponha que você queira calcular a taxa composta anual equivalente a uma taxa de 1 com juros compostos ao mês Vejamos as operações necessárias para realizar essa equivalência 21 Devido ao maior grau de complexidade para conversão de taxas de juros em períodos de capitalização composta surgem alguns macetes que podem ser usados para facilitar o entendimento e o cálculo Outra forma de calcular a equivalência de taxas de juros é através da calculadora financeira HP12C Suponha novamente que desejamos calcular a taxa composta anual equivalente a uma taxa de 1 com juros compostos ao mês Através da calculadora poderíamos fazer da seguinte forma Digamos agora que precisamos calcular a taxa composta mensal equivalente a uma taxa de 12 com juros compostos ao ano Através da calculadora poderíamos fazer da seguinte forma Note a diferença de quando estamos convertendo através da calculadora financeira do período menor para o maior e quando estamos levando do período maior para o menor Do menor para o maior Do maior para o menor Informamos PV sempre 100 i dado pelo enunciado n correspondente a quantidade do período menor que cabe no maior exemplo 12 meses em 1 ano e 30 dias em um mês PV sempre 100 FV valor futuro quando PV100 n1 idado enunciado n correspondente a quantidade do período menor que cabe no maior exemplo 12 meses em 1 ano e 30 dias em um mês Pedimos FV i Interpretamos O aumento do PV para o FV que será a taxa de juros para o período procurado A taxa encontrada será a que estamos procurando no período desejado Tabela diferença entre conversão de taxas usando a HP12C Fonte elaborado pela autora 13 Exemplos envolvendo equivalências de taxas de juros 131 Exemplo 1 Determine a taxa de juros simples mensal trimestral e semestral equivalente a 36 ao ano Taxa mensal 36 ao ano 12 meses 3 ano mês Taxa trimestral 36 ao ano 4 trimestres 9 ano trimestre Taxa semestral 36 ao ano 2 semestres 18 ao semestre 132 Exemplo 2 Determine a taxa de juros simples anual bimestral e diária equivalente a 2 ao mês Taxa anual 2 ao mês 12 meses 24 ao ano Taxa bimestral 2 ao mês 2 meses 4 ao bimestre Taxa diária 2 ao mês 30 dias 00667 ao dia 133 Exemplo 3 Determine a taxa de juros mensal composta equivalente a uma taxa de juros anual de 4 ao ano Solução utilizando a fórmula 1 imn 1 ian 1 im12 1 0041 1 im 12 104 1 im 1041 12 im 1041 12 1 im 1003273739782 1 im 0003273739782 im 03273739782 ao mês Solução usando a HP12C PV 100 n 12 FV 104 pois ganhamos 4 ao ano i 03273739782 Cálculo do maior para o menor 22 Engenharia Econômica A taxa de juros de 4 ao ano é portanto equivalente à taxa mensal de 03273739782 134 Exemplo 4 Qual é a taxa semestral composta equivalente a uma taxa mensal de 1 Solução utilizando a fórmula 1 imn 1 isn 1 0016 1 is1 1016 1 is is 1016 1 is 10615201506010 1 is 615201506010 ao semestre Solução usando a HP12C PV 100 i 1 n 6 meses VF 10615201506010 Portanto 615201506010 ao semestre Cálculo do menor para o maior 2 Taxa nominal e taxa efetiva Alguns termos da Matemática Financeira podem gerar confusão na hora de fazer contas é o caso da taxa nominal e taxa efetiva Nesta sessão veremos a diferença entre eles Taxa Nominal É aquela em que não há coincidência entre a unidade de referência de seu tempo e unidade de tempo dos períodos de capitalização TORRES 2004 Apesar de não serem efetivas e portanto não poderem ser usadas para fazer os cálculos elas são muito utilizadas no mercado principalmente para divulgações de taxas de fi nanciamento por exemplo Em outras palavras podemos dizer que a taxa nominal é a taxa que está expressa em uma unidade de tempo diferente de seu período de capitalização ELIA 2018 Por esse motivo é uma taxa que não podemos usar para fazer os cálculos necessários devendo primeiro ser convertidas de modo a encontrar a sua taxa efetiva equivalente A TAXA DE CONVERSÃO DE TAXAS NOMINAIS EM TAXAS EFETIVAS OCORRE SEMPRE NO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES visto no tópico 11 desse material Vejamos um exemplo Você entra no site de um banco e vê um anúncio da seguinte forma Taxa nominal de apenas 24 ao ano com capitalização mensal Isso signifi ca que a taxa efetiva é de 2 ao mês pois 24 nominal ao ano 12 meses 2 ao mês efetivo Analogamente uma taxa nominal de 12 ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa de juros efetiva de 1 ao mês e assim por diante Efetiva É aquela em que há coincidência entre a unidade de referência de seu tempo com a unidade de tempo dos períodos de capitalização TORRES 2004 Ou seja a taxa efetiva é a taxa que está expressa na mesma unidade de tempo que é capitalizada Ao contrário da taxa nominal a taxa efetiva é a taxa pronta que pode ser utilizada para fazer cálculos Em outras palavras é a taxa que permite efetivamente calcular o valor dos juros produzidos a serem pagos ou recebidos ABREU 2020 Por exemplo quando temos uma taxa de 1 ao mês com capitalização mensal já temos a taxa efetiva de 1 ao mês Taxa de 1 ao mês com capitalização mensal Taxa efetiva de 1 ao mês Nesse caso se quisermos encontrar a taxa anual equivalente a essa taxa mensal precisamos saber qual é o regime da capitalização para fazer a conversão pois como vimos no tópico anterior se o regime for simples convertemos para o período da capitalização no regime simples e se o regime for composto convertemos para o período da capitalização no regime composto 21 Conversão de taxa nominal em efetiva e viceversa Se a taxa que precisamos trabalhar é divulgada na forma de taxa nominal primeiro teremos que convertêla em uma taxa efetiva para o período de capitalização para depois transformar para o prazo que desejamos via equivalência de taxas Vimos também que as taxas nominais são transformadas em taxas efetivas convertendo pelo período da capitalização no regime simples ABREU 2020 Dessa forma temos as seguintes regras para os períodos mais usados Taxa mensal x 12 taxa anual Taxa mensal x 6 taxa semestral Taxa semestral x 2 taxa anual 22 Exemplos de conversão de taxas 221 Exemplo 1 Um banco coloca na internet o segundo anúncio A melhor taxa do mercado Financiamento da casa própria por apenas 36 ao ano com parcelas mensais a A taxa anunciada pelo banco é nominal ou efetiva RESPOSTA A taxa anunciada pelo banco é nominal pois se a taxa de juros está ao ano e as parcelas são pagas mensalmente signifi ca que não há coincidência entre a unidade de referência de seu tempo e unidade de tempo dos períodos de capitalização b Se a taxa informada pode ser considerada nominal de 36 aa capitalizada mensalmente Qual a taxa ao mês efetiva RESPOSTA 36 aa nominal 12 meses 3 ao mês efetiva 23 222 Exemplo 2 Considerando uma taxa de juros composta de 36 ao ano com capitalização mensal Qual a taxa efetiva ao ano RESPOSTA Sabemos que a taxa de 36 ao ano capitalizada mensalmente se trata de uma taxa de juros nominal de forma que O primeiro passo é convertêla em efetiva Para realizar essa conversão temos 36 aa nominal 12 meses 3 ao mês efetiva O segundo passo é converter através de equivalências de taxas de juros para juros compostos de taxa mensal para taxa anual pois somente podemos aplicar as regras de equivalências de taxas de juros para conversão de taxa efetiva para efetiva Podemos realizar esse cálculo através de qualquer uma das opções vistas no tópico anterior desta aula Solução utilizando a fórmula 1 imn 1 ian 1 im12 1 ia1 1 003 12 1 ia 10312 1 ia ia 1425761 1 ia 0425761 ia 425761 ao mês Solução usando a HP12C PV 100 i 3 n 12 meses VF 1425761 Portanto 425761 ao ano Calculo do menor para o maior 223 Exemplo 3 Um investidor deseja aplicar seu capital em um fundo que possua o maior retorno possível Ele se depara com duas alternativas Banco A rendimento de 25 ao mês Banco B rendimento de 30 ao mês com capitalização diária Leve em conta apenas os conceitos de juros nominais e efetivos aprendidos sem considerar quaisquer outros fatores que possam infl uenciar na escolha de um investimento RESPOSTA A taxa informada pelo banco A já está na forma correta como iremos comparar Temos agora que ajustar a taxa informada pelo B pois se trata de uma taxa nominal para isso precisaremos de dois passos Converter a taxa nominal em taxa efetiva diária 30 am nominal 30 dias 1 ao dia efetiva Converter a taxa efetiva diária em taxa efetiva mensal Solução utilizando a fórmula 1 id30 1 im 1 00130 1 im 10130 1 im 1347849 1 im im 1347849 1 im 0347849 im 347849 ao mês efetiva Solução usando a HP12C PV 100 i 1 n 30 dias VF 1347849 Portanto 347849 ao mês efetiva Cálculo do menor para o maior 3 Taxa aparente e taxa real Falando ainda em diferenciação de taxas veremos nesta sessão a diferença entre taxas de juros aparente e taxa de juros real Taxa Aparente É a taxa informada com a infl ação embutida dentro dela ELIA 2018 Real É a taxa efetiva corrigida pela taxa infl acionária do período da operação TORRES 2004 ou seja e a taxa que quando informada já se encontra com a infl ação expurgada As aplicações fi nanceiras por exemplo pagam determinada taxa efetiva de retorno aos seus investidores sendo que a taxa real de retorno é menor por conta dos efeitos a infl ação 31 Calculando a taxa real A relação entre a taxa de retorno aparente aquela que é anunciada pelos bancos por exemplo a taxa real e taxa de infl ação é dada pela seguinte fórmula Analogamente Ficando claro que a taxa real é a taxa aparente expurgado o efeito da infl ação do período 32 Exemplo de cálculo de taxas reais 321 Exemplo 1 No ano de 20XX Ana teve seu salário reajustado de R100000 para R 150000 ou seja 50 de reajuste Ana sabe que a infl ação nesse mesmo ano foi de 40 Ela quer saber agora o quanto o poder de compra do seu salário diminuiu ou aumentou nesses últimos 12 meses em termos de taxa RESPOSTA Para calcular o verdadeiro poder de compra do salário da Ana precisamos usar a fórmula 1 taxa real 1 taxa infl ação 1 taxa i O enunciado nos forneceu duas taxas 50 taxa aparente de aumento salarial 40 taxa de infl ação Devemos calcular agora a taxa real 24 Engenharia Econômica 1 taxa real 1 04 1 05 1 taxa real 15 14 1 taxa real 1071429 taxa real 1071429 1 taxa real 0071429 taxa real 71429 Logo os 50 aparentes de aumento salarial correspondem a 71429 de ganho real 322 Exemplo 2 No período de um ano Maria teve seu salário de R 2000000 reajustado em 10 Ela estava muito satisfeita com o aumento conquistado porém Maria não levou em conta o efeito da infl ação do mesmo período em seu salário Sabendo que a infl ação foi de 12 no ano em quanto aumentou ou diminuiu o poder de compra do salário de Maria no período em termos de taxa RESPOSTA O enunciado nos forneceu duas taxas 10 taxa aparente de aumento salarial 12 taxa de infl ação Devemos calcular agora a taxa real 1 taxa real 1 taxa infl ação 1 taxa i 1 taxa real 1 012 1 01 1 taxa real 11 112 1 taxa real 0982143 taxa real 0982143 1 taxa real 0017857 taxa real 17857 Ou seja os 10 aparentes de aumento salarial de Maria correspondem na verdade a uma perda de 17857 no seu poder de compra 323 Exemplo 3 João deseja aplicar seu capital em um fundo que ofereça a maior taxa de juros ao procurar nos bancos de sua confi ança se depara com duas alternativas taxa efetiva prefi xada de 12 aa ou taxa pósfi xada real de 4 ao ano João deve levar em conta para fazer sua escolha a infl ação desse ano que foi de 75 Sabendo disso qual seria a melhor alternativa RESPOSTA A taxa prefi xada oferecida não necessita de nenhuma conversão já está dada conforme é aplicada Devemos agora entender qual será a taxa real referente à taxa pósfi xada 1 taxa real 1 taxa infl ação 1 taxa i 1 004 1 0075 1 taxa i 104 1075 1 taxa i 104 1075 1 taxa i 1118 1 taxa i taxa i 1118 1 taxa i 0118 taxa i 118 ao ano Logo a melhor opção seria investir na opção prefi xada 4 Taxa prefi xada e taxa pósfi xada As operações de mercado podem ser classifi cadas em operações de Renda fi xa Caderneta de Poupança Fundos DI e de Renda Fixa Títulos Públicos CDBs e outros Renda variável investimentos em ações bolsa de valores As operações de renda fi xa podem ser pósfi xadas ou prefi xadas ABREU 2020 Taxa prefi xada Na operação prefi xada o aplicador e o tomador já sabem no dia da transação qual será a taxa de retorno e também o valor do retorno do título a serem recebidos no dia do resgate Taxa pósfi xada Já quando se trata de uma operação com taxa pós fi xada o aplicador e o tomador só saberão a taxa de retorno e também o valor do título no dia da liquidação da transação 5 Séries de pagamento Nesta sessão estudaremos as diferentes formas de pagamentos e recebimentos ao longo do tempo com o intuito de calcular o seu valor na data zero o que chamamos de valor presente Sabendo que pagamentos e recebimentos podem ocorrer de diferentes formas veremos aqui diferentes tipos de séries de pagamentos 51 Séries uniformes As séries uniformes são aquelas que possuem pagamentos ou recebimentos iguais e sucessivos ou seja do mesmo valor e com o mesmo intervalo de tempo entre todas elas podendo ser realizados em qualquer período como meses semestres anos etc ABREU 2020 Figura fl uxo de caixa uniforme ou constante Fonte elaborado pela autora Podemos calcular o valor futuro para séries de pagamentos uniformes através da fórmula Já o cálculo do valor presente pode ser feito através da fórmula 25 Quando calculamos o valor presente de uma série de pagamentos dizemos que estamos trazendo todos os valores a valor presente Figura representação visual de trazer a série de pagamento a valor presente Fonte elaborado pela autora Além disso poderemos usar a calculadora financeira HP12C para facilitar as contas DICA Para cálculo de séries de pagamentos passaremos a usar o botão PMT da calculadora financeira HP12C porém ele só pode ser usado para realizar cálculos quando falamos de séries uniformes uma vez que a HP12C entende por PMT parcelas do mesmo valor e com mesmo intervalo de tempo entre todas elas Vejamos um exemplo Suponha que Mário coloque na poupança R 10000 ao final de cada ano iniciando neste ano ou seja em t0 Sabemos que a taxa de retorno dessa aplicação é de 10 ano e que ele repete isso por três anos Quanto Mário consegue resgatar ao final do terceiro ano t0 t1 t2 t3 R 10000 R 10000 R 10000 R 10000 Usando a fórmula FV PV 1 in Pmt 1 in1 Pmt 1 in2 Pmt 1 inn FV 100 113 100 112 100 111 100 110 FV 1331 121 110 100 FV 46410 Usando a calculadora financeira 100 PMT 4 n 10 i FV 46410 O retorno de Mário nesses quatro anos de investimento foi de R46410 Vamos a outro exemplo para fixação Considerando que Lucas invista mensalmente R50000 em um CDB que paga uma taxa de 15 ao mês ele faz essa aplicação ao longo de 18 meses Ao final desses 18 meses Lucas deseja resgatar todo o valor investido para dar de entrada na compra de uma moto Qual valor Lucas poderá resgatar t1 t2 t3 t18 R 50000 R 50000 R 50000 R 50000 R 50000 Usando a fórmula FV PV 1 in Pmt 1 in1 Pmt 1 in2 Pmt 1 inn FV 0 10153 500 101517 500 101516 500 110 FV 0 6440101 6344927 500 FV 1024468 Usando a calculadora financeira 500 PMT 18 n 15 i FV 1024468 Lucas poderá resgatar R1024468 ao final dos 18 meses de aplicação 52 Perpetuidades Chamamos de perpetuidades séries de pagamentos que não acabam ou seja não possuem data para terminar Quando se realiza investimentos em ativos perpétuos os investidores passam a receber fluxos de caixa periódicos que duram para sempre ABREU 2020 Figura exemplo de perpetuidade Fonte elaborado pela autora Para encontrarmos o valor presente de uma aplicação em perpetuidade usamos a seguinte fórmula FC Valor do Fluxo de Caixa em perpetuidade i taxa de juros Consideremos o seguinte fato Helena investiu um determinado valor em uma aplicação perpétua que paga uma taxa de juros de 10 ao ano Ela vai receber a cada ano em perpetuidade R1000000 a título de juros Qual foi o valor investido por Helena Valor Presente PV FC i Valor Presente PV R1000000 01 Valor Presente PV R 10000000 Helena investiu R10000000 nesta aplicação Outro exemplo bastante comum em séries perpétuas são cálculos de aluguel Suponha que Francisco alugue um 26 Engenharia Econômica imóvel cujo aluguel mensal é de R 100000 A taxa de retorno para aluguéis é 10 ao mês nessa região Francisco pretende comprar esse imóvel e por isso precisa saber o seu valor de mercado hoje Como encontrar o valor desde imóvel Valor Presente PV FC i Valor Presente PV R100000 001 Valor Presente PV R 10000000 Francisco deverá pagar R10000000 no imóvel sendo este o seu valor de mercado de acordo com o aluguel cobrado 521 Taxa de crescimento de perpetuidade Alguns fl uxos de caixa perpétuos apresentam uma taxa de crescimento ao longo de determinado período Para encontrarmos o valor presente quando o fl uxo perpétuo possui crescimento usamos a chamada fórmula do modelo de Gordon FC Valor do Fluxo de Caixa em perpetuidade i taxa de juros g taxa de crescimento Considere por exemplo que Alice deseja investir hoje em ações da empresa XYZ O dividendo dessa empresa projetado para o ano que vem é de R 100 por ação Sabemos que esse dividendo apresenta uma taxa de crescimento de 2 ao ano de ano para ano em condições de perpetuidade A taxa de retorno esperada para as ações da empresa XYZ é de 12 ao ano Qual o valor de equilíbrio de mercado de cada ação da XYZ hoje na bolsa de valores Valor Presente PV FC i g Valor Presente PV 1 012 002 Valor Presente PV 1 010 Valor Presente PV R 1000 O equilíbrio de mercado para essa ação hoje é de R1000 53 Fluxos não uniformes Os fl uxos não uniformes são aqueles cujos recebimentos ou pagamentos variam para mais ou para menos são diferentes ao longo do tempo e não têm nenhuma relação entre si ABREU 2020 Figura fl uxo de caixa não uniforme Fonte elaborado pela autora Podemos calcular o valor presente para séries de pagamentos não uniformes através da fórmula Além disso poderemos usar a calculadora fi nanceira HP12C para facilitar as contas DICA Para o cálculo de séries de pagamentos não uniformes usaremos os botões AZUIS da calculadora fi nanceira HP12C Lembremse toda vez que desejarmos selecionar um comando azul da calculadora precisaremos clicar no botão g imediatamente antes de acionar a tecla desejada Quadro teclas azuis HP12C Fonte elaborado pela autora Quadro teclas alaranjadas HP12C Fonte elaborado pela autora Um exemplo seria a empresa WWW tem diferentes pagamentos para receber ao longo dos próximos seis meses Porém o gerente fi nanceiro precisa pagar as contas que vencem neste mês e não possui dinheiro em caixa de forma que ele liga no banco e pede para antecipar os recebíveis da empresa dos próximos seis meses para a data de hoje O gerente do banco diz que a taxa de antecipação é no valor de 2 ao mês Calcule quanto a empresa WWW receberá hoje se os pagamentos previstos são os seguintes t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 VP R29400 R61600 R93800 R75800 R33300 R90000 27 Usando a fórmula PV FC1 1 i1 FC2 1 i2 FCn 1 in PV 294 1021 616 1022 938 1023 758 1024 333 1025 900 1026 PV 2882352 5920799 8839050 70036 301608 7991745 PV 3565 Usando a calculadora fi nanceira 0 CF0 294 g CFj 616 g CFj 938 g CFj 758 g CFj 333 g CFj 900 g CFj 2 i f NPV 3565 A empresa WWW receberá hoje R 3565 caso opte por antecipar todas as suas contas a receber dos próximos seis meses Ao fi nal desta terceira aula vamos recordar sobre o que aprendemos até aqui Retomando a aula 1 Equivalências de taxas de juros Nesta seção vimos a conversão de taxas de juros efetivas de um período para o outro 2 Taxa nominal e taxa efetiva Aqui aprendemos a converter taxa nominal em taxa efetiva uma vez que as taxas nominais não podem ser usadas para fazer cálculos 3 Taxa aparente e taxa real Falando ainda em diferenciação de taxas vimos a diferença entre taxas de juros aparente e taxa de juros real 4 Taxa prefi xada e taxa pósfi xada Por fi m vimos que as operações de mercado podem ser classifi cadas em operações de renda fi xa e de renda variável sendo que a primeira pode ser pósfi xada ou prefi xada 5 Séries de pagamento Saindo do assunto taxas estudamos as diferentes formas de pagamentos e recebimentos ao longo do tempo com o intuito de calcular o seu valor na data zero o que chamamos de valor presente JUROS SIMPLES Matemática financeira Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvij5fdb1cClE Acesso em 20 jan 2020 TAXA EQUIVALENTE JUROS COMPOSTOS Matemática Financeira Disponível em httpswww youtubecomwatchvoENaGvlolsw Acesso em 20 jan 2020 Calculando Taxas Equivalentes Conversão de Taxas no Regime Composto 2ª Parte Final Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvXUj1bTyU8AY Acesso em 20 jan 2020 Como transformar taxa nominal em efetiva Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvQKOB6iXMj8 Acesso em 20 jan 2020 Vale a pena assistir ABREU JOSÉ CARLOS Matemática Financeira Apostila do curso de pós administração FGV Rio de Janeiro 2020 ELIA BRUNO DE SOUSA Matemática Financeira Apostila do curso de MBA em Gestão Finanças Controladoria E Auditoria FGV Rio de Janeiro 2018 TORRES Roberta MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA a teoria e a prática 2004 94 f TCC Graduação Curso de Matemática UFSC Florianópolis 2004 Disponível em httpscoreacuk downloadpdf30377671pdf Acesso em 20 jan 2020 Vale a pena ler Vale a pena Minhas anotações