Integrais Multiplas e Iteradas - Definição e Propriedades

Integrais Múltiplas e Iteradas Integrais Múltiplas I Integrais duplas em retângulos Comparando significados Assim como a integral definida de uma função de uma variável representa uma área com sinal a integral dupla de uma função de duas variáveis representa um volume com sinal Na figura seguinte vemos o retângulo R domínio da função de duas variáveis z fxy No caso temos a função sempre positiva em R ou seja o gráfico da função superfície está acima do plano Oxy O volume V do sólido que está acima do retângulo e abaixo do gráfico limitado lateralmente por quatro planos é aproximado pela soma dos volumes de paralelepípedos cujas bases são retângulos obtidos subdividindo o domínio da função conforme mostra a figura abaixo Observando a figura anterior notamos que a altura de de cada pequena caixa paralelepípedo é dada pelo valor de fxy calculado no centro da base e o pequeno volume da caixa é dV fxydA Aqui dA é a área da pequena base dA dx dy dy dx A figura abaixo ilustra uma aproximação Subdividindo o domínio R ao infinito obtemos o volume V do sólido descrito no 2º slide O limite da soma dos volumes das caixas é denominado a integral dupla de z fxy no domínio R e é denotado por R R f x ydA V volume do sólido descrito no 2º slide é o e fxydA f x ydA sendo dV Se a função z fxy for negativa em R isto é se o gráfico da função estiver abaixo do plano Oxy então denominando V o volume do sólido que está abaixo de R e acima do gráfico limitado lateralmente pelos quatro planos verticais já mencionados temos R V f x ydA g x ydA x ydA f gx y para todo xy em R então Se fxy 3 constante f x ydA k k k f x ydA 2 g x ydA f x ydA gx ydA fxy 1 es da integral dupla Propriedad R R R R R R R Integrais Iteradas Seja z fxy definida no retângulo Rabcd Na sequência veremos que ela representa uma área fxy dy Ax calculada para cada x logo é uma função de x é integral Esta d Essa operação é denominada c a y y e fxy é integrada em relação a y de constante notação fxy dy significa que x é mantido A d c d c y integração parcial em relação a depois em relação a x de a até b de dentro para fóra e que primeiro integramos com relação a y de c até d sendo fxydy dx ydydx fx Suprimindo os colchetes escrevemos integral do lado direito desta equação é denominada A fxydy dx Axdx b obtemos a a x a função Ax em relaçãoa x de x Integrando b a d c b a d c b a b a d c integral iterada d de dentro para fóra c até y a y de y relação a função de y resultante Ay em integramos be depois a até x y constante de x mantendo que primeiro integramos em relação a x fxydx ydxdy fx mesmo modo temos d c b a d c b a sendo dy Do ver figura seguinte Ax dx V eixo Oy o l de S no plano que passa por x perpendicularmente transversa volume de um sólido S conhecendo a área Ax da secção o volume e já apresentamos uma outra fórmula para calcular um Se a função é positiva em R a integral dupla representa Obs fxy dxdy fxy dydx x y dA f então c d ab fxy for bonitinha no retângulo R z Se de integrais iteradas é dado pelo teorema de Fubini termos método prático para calcular uma integral dupla em Um b a d c b a R b a d c fxydydx Axdx V fxydA vem e f xydy d Logo Ax y x é mantido constante e c onde fxy área sob a curva C cuja equação é z a é que Ax Vemos R b a b a d c d c ver figura abaixo f x ydxdy fxydA eixo Oy temos ao te usando a secção transversal perpendicular Analogamen d c b a R Fórmulas de Integração C a u a ln u u du a 1 26 a C u tg u du a 1 25 sec u C du 1 u u 1 24 C sen u du u 1 23 C a sen u du u a 1 22 C a u ln u du a u 1 21 C u ln u du u 1 20 C u ln u du u 1 19 a C u sec du a u u 1 18 C tg u u du 1 1 17 C cotg u cossec u du 16 C tg u sec u du 15 C 4 sen 2u 1 2 u 1 u du c 14 C 4 sen 2u 2 u 1 1 sen u du 13 C cossec u cossec u cotg u du 12 C sec u sec u tag u du 11 C cotg u ln cossec u cossec u du 10 C tg u ln sec u sec u du 9 C ln sen u cotg u du 8 C ln cos u tg u du 7 cos u C sen u du 6 C sen u cos u du 5 ln a a a du 4 e C e du 3 C ln u u du u du 1 2 1 1 C para n n u u du 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 u u u u 1 1 n n 2a 1 a 1 1 1 1 1 1 a 1 os C 2 v uv uv f v u f uv uv f uv f u senu f cosu f u cosu f senu f u e f e f u nu f u f u u n 1 n u log e u f log u f a ulna f a f a a u u Fórmulas de Derivação é uma constante k f k f k f k x f nx f x f n 1 n 0 EXEMPLOS Exemplo Determinar o valor da seguinte integral dupla Integral de 1 a 2 e de 3 a 5 6x² 2y dx dy Resolução Integral Interna 10 Calculamos a integral interna Integral de 3 a 5 6x² 2y dx Integral de 3 a 5 6x² 2yx⁰ dx 6x²121 2yx⁰101 35 6x³3 2yx¹1 35 2x³ 2yx 35 25³ 2y5 23³ 2y3 250 10y 54 6y 196 4y 20 Calculamos a integral externa Integral de 1 a 2 e de 3 a 5 6x² 2y dx dy Integral de 1 a 2 196 4y dy Integral de 1 a 2 196y⁰ 4y¹ dy 196y⁰101 4y¹111 12 196y 2y² 12 1962 22² 1961 21² 400 198 202 Resposta Integral de 1 a 2 e de 3 a 5 6x² 2y dx dy 202 Integral de 3 a 5 e de 1 a 2 6x² 2y dy dx EXERCÍCIOS 2 1 3 0 2 3 0 2 1 2 y dxdy x y dydx b x a Determine o valor das integrais múltiplas indicadasa seguir 1 fx x²y a ₀³ ₁² x² y dy dx uⁿ du uⁿ¹n1 c n1 b ₁² ₀³ x² y dx dy Resolução 1º ₁² x² y dy ₁² x² y dy x² y1111 ₂¹ x²2 y² ₂¹ x²2 4 x²2 1 4x²2 1x²2 3x²2 2º ₀³ ₁² x² y dy dx ₀³ 3x²2 dx ₀³ 32 x² dx 32 x2121 ₀³ 32 x³3 ₀³ x³2 ₀³ 3³2 0³2 272 135 RESPOSTA ₀³ ₁² x² y dy dx 135 ₀³ ₁² x² y dy dx 135 item a 2 1 4 1 2 4 1 2 1 2 6x y dxdy 2x 6x y dydx d 2x c Determine o valor das integrais múltiplas indicadasa seguir 1 z 2x 6x²y c ₁⁴ ₁² 2x 6x² y dy dx Resolução opcional 1º ₁² 2x 6x² y dy 2 x y1111 6 x² y1111 ₂₁ x y² 2 x² y² ₂₁ 4² 2 4² y 1² 2 1² y 16 128 y 1 2 y 16 128 y 1 2 y 15 126 y 2º ₁⁴ ₁² 2x 6x² y dx dy ₁² 15 126 y dy ₁² 15 y⁰ 126 y¹ dy 15 y0101 126 y1111 ²₁ 15 y 63 y² ²₁ 15 y 63 y² ²₁ 152 63 2² 151 63 1² 282 48 234 RESPOSTA ₁⁴ ₁² 2x 6x² y dy dx 234 4y dydx x³ e Determine o valor das integrais múltiplas indicadasa seguir 1 2 0 2x x² integral iterada fxy x³ 4y Resolução 1º x²2x x³ 4y dy x²2x x³y 4y² dy x³ y⁰1 01 4 y¹1 11 x²2x x³y 2 y² x²2x x³ 2x 2 2x² x³ x² 2x²² 8x⁴ 24x⁴ x⁵ 2 x⁴ 2x⁴ 8 x² x⁵ 2 x⁴ 8x² x⁵ 2º 0² x²2xx³ 4y dy dx 0² 8x² x⁵ dx 8x²1 21 x⁵1 51 0² 8x³ 3 x⁶ 6 0² 16x³ 6 x⁶ 6 0² 162³ 6 2⁶ 6 160³ 6 0⁶ 6 64 6 0 64 6 32 3 Resp 0² x²2xx³ 4y dy dx 32 3 2 y 1 2 x xy tais que 0 R sendo x 3y Calcule a integral dupla R 2 dA 2 fxy x 3y² Resolução 1² 0² x 3y² dx dy ou 0² 1² x 3y² dy dx 1º 0² x 3y² dx 0¹ x 3y² 0 dx x² 2 3y² x 0² x² 6 x y² 2 0² 4 12 y² 2 0 2 6y² 2º 1² 0² x 3y² dx dy 1² 2 6y² dy 1² 2 y 6y² dy 2 y 6y³ 3 1² 2 y 2 y³ 1² 22 2 2³ 21 21³ 12 0 12 02 Figura abaixo 02 R 2y e acima do retângulo 16 x superfície z da Calcule o volume do sólido S que está abaixo 3 2 2 Resolução 0² 0² 16 x² 2y² dx dy 1º 0² 16 x² 2y² dx 0² 16x x³ 3 2y² x dx 16x x³ 3 2y² x 0² 48x x³ 3 6 y² x 0² 48 2 2³ 6 y² 2 3 48 0 0³ 6 y² 0 88 12 y² 3 2º 0² 0² 16 x² 2y² dx dy 0² 88 12 y² 3 dy 13 0² 88 12 y² dy 13 88 y 12 y³ 3 0² 13 88 y 4 y³ 0² 13 882 4 2³ 880 40³ 13 144 48 3º V 48 uv 48 uv R 2 1 y 3 0 x xy tq 0 R 6x Calcule a integral dupla 4 5y dA y 4 3 fxy 6x²y³ 5y4 Resolução 0103 6x²y³ 5y⁴ dx dy 0301 6x²y³ 5y⁴ dy dx 1º 03 6x²y³ 5y⁴ dx 23 x³ y³ 5 y⁴ x03 2 x³ y³ 5 x y⁴03 2 3³ y³ 5 3 y⁴ 2 0³ y³ 5 0 y⁴ 54 y³ 15 y⁴ 2º 01 03 6x² y³ 5 y⁴ dx dy 01 54 y³ 15 y⁴ dy 54 y⁴4 15 y⁵5 01 27 y⁴2 3 y⁵ 01 27 y⁴2 6 y⁵ 01 27 1⁴ 6 1⁵ 2 27 0⁴ 6 0⁵ 2 212 RESPOSTA 01 03 6x²y³ 5y⁴ dx dy 212 R 3 y 1 3 x xy tq 0 R Calcule o valor da seguinte integral dupla 5 1dA x xy 2 2 fxy xy²x² 1 fxy xy²x² 1 6 Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela superfície gerada pela função z fxy 4 x y inferiormente pela região R delimitada por x 0 x 2 y 0 e y x4 12 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R 7 Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela superfície gerada pela função z fxy x y inferiormente pela região R delimitada por x 0 x 2 y x² e y 2x e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R 8 Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pela superfície gerada pela função z fxy x³ 4y inferiormente pela região R delimitada por x 0 x 2 y x² e y 2x e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R fxy x³ 4y FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA Respostas wwwfiapcombr 2 x 3 Ax a função A apresentada anteriormente é neste caso E 2 x 3 2 1 x 2 2 x 2 2 y dydx x temos Considerando x como constante a 2 2 2 2 2 2 3 0 2 1 2 y 1 y 2 2 y x Solução Questão 1 2 27 3 2 x dx y dy dx 3 x y dydx x agora essa função de x de 0 até 3 Integramos 2 x 3 0 3 0 2 3 0 2 1 2 3 0 2 1 2 Solução Questão 1 que a ordem da integração não afeta o resultado Observemos 2 27 ydy 9 dy x ydx dy y dxdy x Aqui integramos primeiro em relaçãoa x b 2 y 9 3 y x 2 3 2 1 2 1 2 1 3 x 0 x 2 1 3 0 2 2 1 3 0 2 Solução Questão 1 323 e 234 d 234 c Solução Questão 1 12 2 7dx x dx dA dA 2 2 0 2 0 2 0 2 1 7x 2 x 3 x 3y dydx 3y x 1 Integrando primeiro em relação a y Solução Teorema de Fubini temos Pelo 2 y 1 2 x xy tais que 0 R sendo x 3y Calcule a integral dupla 2 0 2 y 1 y 2 R 2 R 2 y xy Solução Questão 2 figura seguinte ver gráfico da função está abaixo do plano Oxy o resultado negativo significa que no seu domínio R O 12 6y dy 2 dy x 3y dxdy dA 3y x 2 Integrando primeiro em relação a x Solução y 2y 2 3xy 2 x 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x 0 x R 2 1 2 0 2 2 Solução Questão 2 48 3 dy 4y 3 88 dy 2 3 dxdy 2y y 2 Solução 2 0 2 0 2 2 0 2 x 0 x 2 2 3 y 3 y 4 88 2y x 3 x 1 x 16 R 2 0 2 0 2 2 16 x dA 16 x V Solução Questão 3 FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA Respostas 1 a 272 b 272 c 234 d 234 e 323 2 12 3 48 4 212 5 9ln2 6 375 uv 7 5215 uv 8 323 uv wwwfiapcombr httpwwwwolframalphacomwidgetsviewjspid6f74c84350404431153 40180b223bb21 httpwwwcalculadoraonlinecombrgraficaavancada