Exercícios Cálculo 2

QUESTÃO 1 P 7 Q 6 R 9 T 15 Apresente o valor da integral definida indicada na figura abaixo P é menos P T é menos T Indique apenas o resultado 20 Pontos QUESTÃO 2 RM ABCDEF Caso não exista o algarismo F adote F 0 M 6 1 N 2 1 P 1208 1 Q 12PM 26PN R 312PMN Vx Px² Qx R V e x são distâncias em Km Para determinar o valor da área indicada na Figura 1 imagem gerada a partir de uma foto obtida com o apoio de um drone a função Vx pode ser usada como apoio conforme indicação da figuras complementares Apresente o valor da área indicada na Figura 1 em hectares Indique apenas o resultado com três casas decimais Durante o desenvolvimento do problema devemos utilizar o máximo de casas decimais O arredondamento com três casas decimais deve ser feito apenas na conclusão do processo Não devem ser feitos arredondamentos intermediários ou seja não devem ser feitos arredondamentos antes de se obter a solução do problema 20 Pontos QUESTÃO 3 O valor da integral definida indicada a seguir é 10 Pontos 1850 0 1850 4650 6250 6898 14350 QUESTÃO 4 Considere a função Gx K x representada no gráfico indicado abaixo sabendo que x e G estão em centímetros e o intervalo do eixo é 20 1 Para K 100 o valor da área destacada é 10 Pontos 2302585 cm² 29957 cm² 28904 cm² 23026 cm² 10000 cm² QUESTÃO 5 Considere a função Gx K x³ representada no gráfico indicado abaixo sabendo que x e G estão em centímetros e o intervalo do eixo x é 2 10 Para K 1000000 o valor da área destacada corresponde a 10 Pontos 1200 m² 12000 m² 1200000 m² 12000000 m² 120000000 m² 1200000000 m² 120000000000 m² QUESTÃO 6 Considere a função Gx 120x³ 3240 representada no gráfico indicado abaixo sabendo que x e G estão em metros e o intervalo do eixo x é 1 6 O valor da área destacada no gráfico é 15 Pontos 52480 m² 40980 m² 38400 m² 37290 m² 25280 m² 12480 m² QUESTÃO 7 Considere a função Gx 6x² 48x 72 representada no gráfico indicado abaixo sabendo que x e G estão em metros e o intervalo do eixo x é 2 9 O valor da área destacada no gráfico é 15 Pontos 260 m² 320 m² 388 m² 418 m² 438 m² 546 m² CÁLCULO Questão 1 Dada a integral definida ₜᴾ Qx R dx Para P 7 Q 6 R 9 e T 15 temos ₁₅⁷ 6x 9 dx 6 x²2 9x₁₅⁷ 3x² 9x₁₅⁷ 3 7² 9 7 3 15² 9 15 3 49 63 3 225 135 147 63 675 135 84 540 456 Portanto ₁₅⁷ 6x 9 dx 456 Questão 2 Sejam M 6 1 7 N 2 1 3 P 1208 1 120 9 1080 Q 12PM 26PN 12 7 1080 26 3 1080 90720 84240 174960 R 312PMN 312 7 3 1080 6552 1080 7076160 Seja a função Vx Px² Qx R 1080x² 174960x 7076160 Queremos calcular a área entre as curvas y 1080x² 174960x 7076160 e y 0 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 1080x² 174960x 7076160 0 1080x² 162x 6552 0 Resolvese a equação do segundo grau temos Δ 162² 4 6552 26244 26208 36 x 162 36 2 1 162 6 2 x₁ 162 6 2 168 2 84 x₂ 162 6 2 156 2 78 Logo as curvas se intersectam em x 78 e x 84 Analisando as curvas temos 1080x²174960x7076160 0 x²162x6552 0 x78x84 0 x 78 ou x 84 Logo no intervalo 78 84 a curva y 0 está acima da curva y 1080x² 174960x 7076160 Desse modo a área da região é dada por A ₇₈⁸⁴ 0 1080x² 174960x 7076160 dx ₇₈⁸⁴ 1080x² 174960x 7076160 dx 1080 x³3 174960 x²2 7076160x₇₈⁸⁴ 360x³ 87480x² 7076160x₇₈⁸⁴ 360 84³ 87480 84² 7076160 84 360 78³ 87480 78² 7076160 78 360 592704 87480 7056 7076160 84 360 474552 87480 6084 7076160 78 213373440 617258880 594397440 170838720 532228320 551940480 190512000 190550880 190512000 190550880 38880 Logo a área da região é 38880 km² Portanto a área da figura 1 é 2 38880 77760 km² isto é 7776000 ha Questão 3 Dada a integral definida ₅⁵ 5t⁴ 810 dt Resolvendo a integral temos ₅⁵ 5t⁴ 810 dt 5 t⁵5 810t₅⁵ t⁵ 810t₅⁵ 5⁵ 810 5 5⁵ 810 5 3125 4050 3125 4050 925 925 925 925 1850 Portanto ₅⁵ 5t⁴ 810 dt 1850 Questão 4 Seja a função GxKx Para K100 temos Gx100x Queremos calcular a área entre as curvas y100x e y0 no intervalo 201 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 100x0 1000 absurdo Logo as curvas não se intersectam Analisando as curvas temos 100x0 x0 Logo no intervalo 201 a curva y0 está acima da curva y100x Desse modo a área da região é dada por A1 20 0100x dx1 20 100x dx100lnx120100ln1100ln20100ln1100ln201000100ln200100ln20100ln201002995729957 Portanto a área da região é 29957 cm² Questão 5 Seja a função GxKx³ Para K1000000 temos Gx1000000x³ Queremos calcular a área entre as curvas y1000000x³ e y0 no intervalo 210 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 1000000x³0 10000000 absurdo Logo as curvas não se intersectam Analisando as curvas temos 1000000x³0 x0 Logo no intervalo 210 a curva y1000000x³ está acima da curva y0 Desse modo a área da região é dada por A102 1000000x³ 0 dx102 1000000x³ dx102 1000000x³ dx1000000x²2102500000x²10250000010²5000002²500000100500000450001250005000125000120000 Portanto a área da região é 12000000 cm² ou seja 1200 m² Questão 6 Queremos calcular a área entre as curvas y120x³ 3240 e y0 no intervalo 16 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 120x³ 32400 120x³3240 x³3240120 x³27 x3 Logo as curvas se intersectam em x3 Analisando as curvas temos 120x³ 32400 120x³3240 x³27 x3 Logo no intervalo 13 a curva y0 está acima da curva y120x³ 3240 Já no intervalo 36 a curva y120x³ 3240 está acima da curva y0 Desse modo a área da região é dada por A₁31 0120x³ 3240 dx31 120x³ 3240 dx120x⁴4 3240x3130x⁴ 3240x31303⁴ 32403301⁴ 324013081 972030 32402430 972030 3240729032707290 327010560 A₂63 120x³ 32400 dx63 120x³ 3240 dx120 x⁴4 3240x6330x⁴ 3240x63306⁴ 32406303⁴ 3240338880 194402430 972019440729019440 729026730 AA₁ A₂10560 2673037290 Portanto a área da região é 37290 m² Questão 7 Querermos calcular a área entre as curvas y 6x2 48x 72 e y 0 no intervalo 2 9 Determinando os pontos de interseção entre as curvas temos 6x2 48x 72 0 6x2 8x 12 0 6x 2x 6 0 x 2 ou x 6 Logo as curvas se intersectam em x 2 e x 6 Analisando as curvas temos 6x2 48x 72 0 6x2 8x 12 0 6x 2x 6 0 2 x 6 Logo no intervalo 2 2 e 6 9 a curva y 0 está acima da curva 6x2 48x 72 Já no intervalo 2 6 a curva 6x2 48x 72 está acima da curva y 0 Desse modo a área da região é dada por A1 22 0 6x2 48x 72 dx 22 6x2 48x 72 dx 6 x3 3 48 x2 2 72x22 2x3 24x2 72x22 2 23 24 22 72 2 2 23 24 22 72 2 2 8 24 4 72 2 2 8 24 4 72 2 16 96 144 16 96 144 64 256 64 256 320 A2 26 6x2 48x 72 0 dx 26 6x2 48x 72 dx 6 x3 3 48 x2 2 72x26 2x3 24x2 72x26 2 63 24 62 72 6 2 23 24 22 72 2 2 216 24 36 72 6 2 8 24 4 72 2 432 864 432 16 96 144 0 64 0 64 64 A3 69 0 6x2 48x 72 dx 69 6x2 48x 72 dx 6 x3 3 48 x2 2 72x69 2x3 24x2 72x69 2 93 24 92 72 9 2 63 24 62 72 6 2 729 24 81 72 9 2 216 24 36 72 6 1458 1944 648 432 864 432 162 0 162 0 162 A A1 A2 A3 320 64 162 546 Portanto a área da região é 546 m2