Transformada de Laplace - Conceitos e Aplicações na FIAP

TRANSFORMADA DE LAPLACE Introdução As Transformadas de Laplace consistem em conjunto de processos que representam um Método de Cálculo Operacional um método simples que serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais PVI Problema com Valores Iniciais em uma equação algébrica de modo a obter uma solução deste PVI de uma forma indireta sem calcular a solução geral da Equação Diferencial através de integrais e derivadas Pierre Simon Marquês de Laplace matemático astrônomo e físico francês 1749 1827 Esquema da Transformada de Laplace Espaço Original Equação Diferencial Condições Iniciais e de Contorno Solução do Problema Original Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Espaço da Transformada de Laplace Equação Algébrica Solução Transformada de Laplace No Função ft Transformada Fs Condição 1 1 1s s 0 2 t 1s² s 0 3 t² 2s³ s 0 4 tn nsn1 s 0 5 cosat ss²a² s 0 6 senat as²a² s 0 7 eat 1sa s a 8 eatcosbt sasa²b² s a 9 eatsenbt bsa²b² s a 10 chat ss²a² sa 11 shat as²a² sa 12 tcosat s²a²s²a²² s 0 13 tsenat 2ass²a²² s 0 Ordem A Lfg Lf Lg B L¹FG L¹F L¹G C Lk f k Lf D L¹kF k L¹F E Leᵃᵗ ft Fsa F L¹Fsa eᵃᵗ L¹Fs G Ltft Fs H Ltᵏft Fᵏs I FsGs Lfgt J Fss L ₀ᵗ fu du K Lfⁿ sⁿ Fs sⁿ¹ f0 sⁿ² f 0 sⁿ³ f 0 fⁿ¹0 L Lftt ₛ Fu du Item Fs ft 1 1 δt impulso unitário 2 1s ut degrau unitário 3 1s² t rampa 4 1sⁿ n34 tⁿ¹n1 5 1sa eᵃᵗ 6 1τs1 1τ eᵗτ 7 1saⁿ n23 tⁿ¹ eᵃᵗ n1 8 1τs1ⁿ n23 tⁿ¹ eᵗτ τⁿ n1 9 ssa² eᵃᵗ 1 at 10 1ssa 1a 1 eᵃᵗ 11 1sτs1 1 eᵗτ 12 1sτs1ⁿ 1 eᵗτ i0n1 tτᶦi Item Fs ft 13 1sasb 1ba eᵃᵗ eᵇᵗ 14 1τ₁s1τ₂s1 1τ₂τ₁ eᵗτ₁ eᵗτ₂ 15 ssasb 1ab aeᵃᵗ beᵇᵗ 16 scsasb caba eᵃᵗ cbab eᵇᵗ 17 τ₃s1τ₁s1τ₂s1 1τ₁ τ₁τ₃τ₁τ₂ eᵗτ₁ 1τ₂ τ₂τ₃τ₂τ₁ eᵗτ₂ 18 1ssasb 1ab 1 1ab beᵃᵗ aeᵇᵗ 19 1sasbsc eᵃᵗbaca eᵇᵗabcb eᶜᵗacbc 20 sdsasbsc da eᵃᵗbaca db eᵇᵗabcb dc eᶜᵗacbc 21 1s²a² 1a senat 22 1ss²a² 1a² 1 cosat FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA Transformada Inversa de Laplace Item Fs ft 23 ss² a² cosat 24 a cosφ s senφs² a² senat φ 25 1s a² b² 1b eat senbt 26 s asa² b² eat cosbt 27 eas δt a impulso unitário em t a 28 eass ut a degrau unitário em t a 29 wτs1s²w² wττ² w² 1 etτ 1τ² w² 1 senwt θ onde θ arctgwτ 30 1s² τs 1 τ etτ tτ 1 31 1sτ₁ s 1τ₂ s 1 1 1τ₂ τ₁ τ₁ etτ₁ τ₂ etτ₂ 32 τ₃ s 1sτ₁ s 1τ₂ s 1 1 τ₃ τ₁τ₁ τ₂ etτ₁ τ₃ τ₂τ₂ τ₁ etτ₂ 33 fs eas ft a wwwfiapcombr FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA Transformada Inversa de Laplace Inversões que Apresentam Respostas com Decaimento Oscilatório ξ 1 A 1 ξ² B 1 ξ²τ C ξτ Item Fs ft 34 1τ²s² 2ξτs 1 1Aτ ect senBt 35 1sτ²s² 2ξτs 1 1 1A ect senBt φ onde φ arctgBC 36 τ₁ s 1τ² s² 2ξτs 1 1Aτ 1 2τ₁ C τ₁ τ²12 ect senBt φ onde φ arctgτ₁ B1 τ₁ C wwwfiapcombr Transformada de Laplace para Derivadas de Funções Seja ft uma função e Lft a transformada de Laplace dessa função Lft Fs Lft s Lft f0 Lft s² Lft sf0 f0 Lfnt sn Lft sn1f0 sn2f0 sn3f0 fn10 Temos ft y Assim Ly Fs Ly s Fs y0 Ly s²Fs sy0 y0 Lyn sn Fs sn1y0 sn2y0 sn3y0 fn10 Equações Diferenciais Lineares Forma geral das Equações Diferenciais Lineares de 1a ordem y Pxy Qx Forma geral das Equações Diferenciais Lineares de 2a ordem y f1xy f2xy Qx Forma geral das Equações Diferenciais Lineares de ordem n yn f1xyn1 f2xyn2 fn1xy fnxy Qx Se Qx 0 as equações diferenciais lineares são denominadas Equações Diferenciais Lineares Homogêneas Resolução de Equações Diferenciais Lineares Exercício 1 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 1a Ordem y 6x 5 RESOLUÇÃO 1º MODO Transformada de NewtonLeibniz y 6x 5 dydx 6x 5 dy 6x 5 dx i dy 6x 5 dx y⁰ dy 6x¹ 5x⁰ dx y⁰ dy 6x¹ dx 5x⁰ dx y⁰ dy 6 x¹ dx 5 x⁰ dx y0101 C₁ 6 x1111 C₂ 5 x0101 C₃ y C₁ 6 x²2 C₂ 5x C₃ y 3x² 5x C₂ C₃ C₁ y 3x² 5x C FUNÇÃO PRIMITIVA OU ANTIDERIVADA DA FUNÇÃO y 6x 5 É A SOLUÇÃO GERAL DA EDO Resolução 2º modo Transformada de Laplace 1º Transformada de Laplace y 6x 5 Ly L6x 5 Ly L6x¹ L5x⁰ Ly 6Lx¹ 5Lx⁰ Lxⁿ n λⁿ¹ Ly Lfx λFλ f0 f0 y0 k λFλ y0 6 1 λ² 5 0 λ¹ λFλ y0 6 1 λ² 5 1 λ¹ λFλ 6 λ² 5 λ y0 λFλ 6 λ² 5 λ C Fλ 6 λ² 5 λ C λ Fλ 6 λ² 5 λ C 1 λ Fλ 6 λ³ 5 λ² C λ FUNÇÃO PRIMITIVA NA FORMA LAPLACIANA 2º Transformada Inversa de Laplace L¹Fλ L¹6 1 λ³ 5 1 λ² C 1 λ L¹Fλ 6 L¹1 λ³ 5 L¹1 λ² C L¹1 λ¹ L¹1 λⁿ xⁿ¹ n1¹ fx 6x31 31 5x21 21 Cx11 11 fx 6x² 2 5x¹ 1 Cx⁰ 0 fx 6x² 2 5x 1 C 1 1 fx 3x² 5x C FUNÇÃO PRIMITIVA OU ANTIDERIVADA DA FUNÇÃO fx 6x 5 SOLUÇÃO GERAL DA EDO Exercício 2 Resolver a Equação Diferencial Linear de 1a Ordem y 3x² 6 sujeita à condição inicial f0 1 Resolução 1º modo Transformada de NewtonLeibniz 1º dydx 3x² 6 dy 3x² 6 dx dy 3x² 6 dx dy 3x² 6 dx dy 3x² 6 dx y⁰¹ 01 C₁ 3x²¹ 21 6x⁰¹ 01 C₂ y¹ 1 C₁ 3x³ 3 6x 1 C₂ y x³ 6x C₂ C₁ y x³ 6x C fx x³ 6x C é a solução geral da equação diferencial 2º Temos f0 1 x0 y1 fx x³ 6x C 1 0³ 60 C 1 C fx x³ 6x 1 é a solução particular da equação diferencial y 3x² 6 sujeita à condição inicial f0 1 RESPOSTA fx x³ 6x 1 1o Transformada de Laplace Objetivo Obter isolar Fs 2o Transformada Inversa de Laplace Fλ 6λ4 6λ2 1λ L1Fλ L16λ4 6λ2 1λ L1Fλ L161λ4 L161λ2 L11λ L1Fλ 6 L11λ4 6 L11λ2 L11λ fx 6 x4141 6 x2121 x1111 fx 6 x33 6 x11 x00 fx 6 x36 6 x1 11 fx x3 6x 1 solução particular da equação diferencial y 3x2 6 sujeita à condição f0 1 RESPOSTA fx x3 6x 1 Exercício 3 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 1a Ordem y 9x² 8x 2 Resolução 1o y 9x3 8x 2 Ly λFλ y0 Lxn nλn1 λFλ y0 92λ3 81λ2 21λ1 λFλ C 92λ3 81λ2 21λ λFλ 18λ3 8λ2 2λ C Fλ 18λ3 8λ2 2λ C1λ Fλ 18λ4 8λ3 2λ2 Cλ 2o L1Fλ 18L11λ4 8L11λ3 2L11λ2 CL11λ fx 18x4141 8x3131 2x2121 Cx1111 fx 18x33 8x22 2x11 Cx00 fx 18x36 8x22 2x C fx 3x3 4x2 2x C RESPOSTA fx 3x3 4x2 2x C Exercício 4 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 1a Ordem y 2x Condição inicial y0 4 Resolução y 2x Ly L2x Ly 2Lx1 L y λFλ y0 Lxn nλn1 λFλ y0 211λ31 λFλ 4 21λ3 λFλ 2λ3 4 Fλ 2λ3 41λ Fλ 2λ4 4λ L1Fλ 2L11λ4 4L11λ fx 2x4141 4x1111 fx 2x33 4x00 fx 2x36 41 fx x2 4 y x2 4 RESPOSTA fx x2 4 é a solução geral da equação diferencial fx 2x sujeita à condição inicial f0 4 ΔyΔx 2x dydx 2x Δx0 Exercício 5 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 1a Ordem y 18x² 10x 3 Condição inicial y0 7 Resolução 1º y 18x2 10x 3 Ly 18Lx2 10Lx1 3Lx0 λFλ y0 18 2 λ3 10 1 λ2 3 0 λ1 λFλ 7 18 2 λ3 10 1 λ2 3 1 λ λFλ 7 36 λ3 10 λ2 3 λ λFλ 36 λ3 10 λ2 3 λ 7 Fλ 36 λ3 10 λ2 3 λ 7 1 λ Fλ 36 λ4 10 λ3 3 λ2 7 λ FUNÇÃO PRIMITIVA NA FORMA LAPLACIANA 2º L1 Fλ 36L1 1 λ4 10L1 1 λ3 3L1 1 λ2 7L1 1 λ fx 36 x41 41 10 x31 31 3 x21 21 7 x11 11 fx 36 x3 3 10 x2 2 3 x1 1 7 x0 0 fx 36 x3 6 10 x2 2 3x 7 1 fx 6x3 5x2 3x 7 FUNÇÃO PRIMITIVA SOLUÇÃO DA EDO dydx 18x2 10x 3 sujeita à condição inicial f0 7 Exercício 6 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 1a Ordem y 2x² 5x 2 Condição inicial y0 3 Resolução 1º Ly 2Lx2 5Lx1 2Lx0 λFλ y0 2 2 λ3 5 1 λ2 2 0 λ λFλ 3 2 2 λ3 5 1 λ2 2 1 λ λFλ 4 λ3 5 λ2 2 λ 3 Fλ 4 λ3 5 λ2 2 λ 3 λ Fλ 4 λ3 5 λ2 2 λ 3 1 λ Fλ 4 λ4 5 λ3 2 λ2 3 λ Fλ 4λ⁴ 5λ³ 2λ² 3λ 2º L1 Fλ 4 L1 1 λ⁴ 5 L1 1 λ³ 2 L1 1 λ² 3 L1 1 λ fx 4 x41 41 5 x31 31 2 x2 1 21 3 x11 11 fx 4 x³ 3 5 x² 2 2 x¹ 1 3 x⁰ 1 fx 2 x³ 3 5 x² 2 2x 3 Exercício 7 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 2a Ordem y y 2y 0 Condições iniciais y0 1 e y0 0 Exercício 7 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 2a Ordem y y 2y 0 Condições iniciais y0 1 e y0 0 Resolução y y 2y Ly y L2y Ly Ly 2 Ly λ²Fλ λy0 y0 λFλ y0 2 Fλ λ²Fλ λ1 0 λFλ 1 2 Fλ λ²Fλ λ λFλ 1 2Fλ λ²Fλ λFλ 2Fλ λ 1 Fλ λ² λ 2 λ 1 Fλ λ 1 λ² λ 2 Função primitiva na forma laplaciana y fx função primitiva y fx y f x Ly Fλ Ly λFλ y0 Ly λ²Fλ λy0 y0 2º Transformada Inversa de Laplace L1Fλ L1λ 1 λ² λ 2 L1Fλ L1λ 1 λ 2 λ 1 L1Fλ L1λ λ 2λ1 L11 λ 2λ1 λ² 1λ 2 somado produto A B 1 A B 2 A 2 B 1 λ 2 1 L1Fλ L1λ λ 2λ1 L11 λ 2λ1 a 2 b 1 a 2 b 1 ft 1 21 2 e2t 1 e1t 1 1 2 e2t e1t ft 1 3 2 e2t et 13 e2t et ft 1 3 2 e2t et e2t et ft 1 3 e2t 2et ft 1 3 e2t 2 et RESPOSTA Exercício 8 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 2a Ordem y y sen2t Condições iniciais y0 2 e y0 1 Resolução y y sen2t 1º Transformada de Laplace Ly y Lsen2t Ly Ly Lsen2t λ²Fλ λy0 y0 Fλ 2λ² 4 λ²Fλ λ2 1 Fλ 2λ² 4 λ²Fλ 1Fλ 2λ² 4 2λ 1 Fλ λ² 1 2λ² 4 2λ 1 Fλ 2λ² 4 2λ 1 λ² 1 Fλ 2λ² 4 2λ1 11 1λ² 1 Fλ 2λ² 4λ²1 2λλ²1 1λ² 1 Função primitiva na forma laplaciana Objetivo Isolar Fλ pois Fλ é a função primitiva na forma laplaciana solução da equação diferencial 35 2º Transformada Inversa de Laplace Fλ 2 2λλ²4 λ² 4λ² 4λ² 1 Fλ 2 2λ³ 8λ λ² 4λ² 4λ² 1 Fλ 2λ³ λ² 8λ 6λ² 4λ² 1 Obtemos as frações parciais que geram Fλ y ax b 2λ³ λ² 8λ 6λ² 4λ² 1 Aλ Bλ² 4 Cλ Dλ² 1 Aλ Bλ² 1 Cλ Dλ² 4λ² 4λ² 1 Aλ³ Aλ Bλ² B Cλ³ 4Cλ Dλ² 4Dλ² 4λ² 1 A Cλ³ B Dλ² A 4Cλ B 4Dλ² 4λ² 1 36 Comparamos os numeradores A Cλ³ B Dλ² A 4Cλ B 4D 2λ³ λ² 8λ 6 A C 2 B D 1 A 4C 8 B 4D 6 A C 2 1 A 4C 8 A C 2 A 4C 8 3C 6 c 2 A C 2 A 2 2 A 0 B D 1 1 B 4D 6 B D 1 B 4D 6 3D 5 D 53 B D 1 B 53 1 B 1 53 B 23 Assim Fλ 2λ³ λ² 8λ 6λ² 4λ² 1 0λ 23λ² 4 2λ 53λ² 1 23λ² 4 2λ 53λ² 1 L¹Fs L¹ 23 s²4 2s s²1 53 s²1 L¹Fs L¹ 23 s²4 L¹ 2s s²1 L¹ 53 s²1 L¹Fs 23 L¹ 1 s²4 2 L¹ s s²1 53 L¹ 1 s²1 1s² a² 1a senat ss² a² cosat ft 13 sen2t 2 cost 53 sent Exercício 9 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 2a Ordem y y 6y 0 Condições iniciais y0 1 e y0 1 Resolução 1º y y 6y Ly y L6y Ly Ly 6 Ly s² Fs s y0 y0 s Fs y0 6 Fs s² Fs s 1 1 s Fs 1 6 Fs s² Fs s 1 s Fs 1 6 Fs s² Fs s Fs 6 Fs s 2 Fs s² s 6 s 2 Fs s 2 s² s 6 Função primitiva na forma laplaciana 2 L¹Fs L¹ s 2 s 3s 2 L¹Fs L¹ s s 3s 2 2 s 3s 2 L¹Fs L¹ s s 3s 2 2 L¹ 1 s 3s 2 15 sasb 1abaeat bebt 1sasb 1baeat ebt ft 132 3 e3t 2 e2t 2 23 e3t e2t ft 15 3 e3t 2 e2t 25 e3t e2t ft 3 e3t 2 e2t 2 e3t 2 e2t 5 ft e3t 4 e2t 5 Função primitiva solução de EDO Exercício 10 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 2a Ordem y 3y 2y 0 Condições iniciais y0 1 e y0 0 FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA wwwfiapcombr Exercício 11 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 2a Ordem y 2y 2y 0 Condições iniciais y0 0 e y0 1 FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA wwwfiapcombr Exercício 12 Resolver a seguinte Equação Diferencial Linear de 4a Ordem yIV 4y 6y 4y y 0 Condições iniciais y0 0 y0 1 y0 0 e y0 1 FIAP A MELHOR FACULDADE DE TECNOLOGIA wwwfiapcombr Exercício 13 Carga do Capacitor Encontrar vt Como V R i v e i C dvdt V R C dvdt v dvdt 1RC v 1RC V Ldvdt L1RC v L1RC V sVs v0 1RC Vs 1RC Vs wwwfiapcombr Vs s 1RC v0 1RC Vs Vs 1RC Vs v0 RC RC s 1 1RC Vs v0 1s 1RC como v0 0 Vs VRC s 1s 1RC Na Tabela de Transformadas L1 Vs 1s a 1s b 1a b ea t eb t a b wwwfiapcombr Neste caso para b 1RC e a 0 L1 Vs L1 VRC s 0 1s 1RC VRC 1RC e0 e1RC t vt V 1 e1RC t wwwfiapcombr Exercício 14 Massamola Encontrar xt m d²xdt² kx 0 Lm d²xdt² Lkx 0 Ld²fdt² s²Lf s f0 f0 s² m Xs s m x₀ k Xs 0 s² m Xs s m x₀ k Xs 0 Xs s m x₀ s² m k x₀ s s² km Na Tabela de Transformadas L¹ss² ω² cos ω t assim para ω km L¹Xs x₀ cos km t Exercício 15 Descarga do capacitor Encontrar vct sendo vc0 V i C dvcdt vc R i 0 vc R C dvcdt 0 dvcdt 1R C vc 0 Ldvcdt L1R C vc 0 s Vcs vc0 1R C Vcs 0 Vcs vc0 s 1R C L¹ 1sa eᵃᵗ L¹Vcs vct vc0 e1R C t V e1R C t Respostas 1 Fx 3x² 5x C 2 Fx x³ 6x 1 3 Fx 3x³ 4x² 2x C Respostas 3 2x 2 x² 5 3 x³ 2 fx 6 y t 2t 2e 3 e 1 ft 7 y 3 sen2 t 1 3 sent 5 2cost ft 8 y 2t 3t 4e 5 e 1 ft 9 y 2t t e 2e ft 10 y 5 y fx 6x³ 5x² 3x 7 4 y fx x² 4 Respostas e sent ft 11 y t 2t³ 3 3t 3t 12 e 2 t 13 14 15